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重庆市第一中学2014-2015学年高二数学下学期期末考试试题 理


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2015 年重庆一中高 2016 级高二下期期末考试 数 学 试 题 卷(理科)
数学试题共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的

答案标号涂黑,如需改动,用橡 皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。 第 I 卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。

1. 设集合 A ? ?4,5,7,9?, B ? ?3,4,7,8,9?,全集 U ? A ? B ,则集合 CU ? A ? B ? 的子集共有
( ) A. 4 个
2

B. 7 个 B.0.2

C. 8 个 C.0.6

D. 16 个 ) D.0.8

2. 已知 ξ ~N(0, 6 ),且 P(-2≤ξ ≤0)=0.4,则 P(ξ >2)等于(
A.0.1

) 3. 下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( 1 x 1 A. y ? ( ) , x ? R B. y ? , x ?1 2 x ?1 3 C. y ? x ? sin x, x ? R D. y ? ? x ? x, x ? R 4. 设某中学的女生体重 y(kg)与身高 x(cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i ^ =1,2,?,n),用最小二乘法建立的线性回归直线方程为y=0.85x-85.71,给出下列结论, 则错误的是( ) A.y 与 x 具有正的线性相关关系; B.回归直线至少经过样本数据(xi,yi)(i=1,2,?,n)中的一个; C.若该中学某女生身高增加 1 cm,则其体重约增加 0.85 kg; D.回归直线一定过样本点的中心点 x, y 。

? ?

? 1 x ?( ) , x ? 4 ,则 f (1 ? log 2 5) 的值为( 5. 已知函数 f ( x) ? ? 2 ? ? f ( x ? 1), x ? 4
A.

)

1 4

B. ? ?

?1? ?2?

1? log 2 5

C.

1 2

D.

1 20

) 6. 下列命题中的真命题的个数是( ① a ? b 成立的一个充分不必要的条件是 a ? b ? 1 ; ② 已知命题 p∨q 为真命题,则 p∧q 为真命题;

-1-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ③ 命题“ ? x∈R,x -x>0”的否定是“ ? x∈R,x -x≤0”;
2 2

④ 命题“若 x<-1,则 x -2x-3>0”的否命题为:“若 x ? -1,则 x -3x+2≤0”。
2 2

A. 1 个

B. 2 个

C. 3 个

D. 4 个

7. (原创)2015 年 6 月 20 日是我们的传统节日——”端午节”,这天小明的妈妈为小明煮了
5 个粽子,其中两个腊肉馅三个豆沙馅,小明随机取出两个,事件 A ? “取到的两个为同一种 馅”,事件 B ? “取到的两个都是豆沙馅”,则 P ( B | A) ? ( A. ) D.

3 4

B.

1 4

C.

1 10

3 10

8.对于定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,满足 f ?? x ? ? f ?3 ? x ? ? 0 ,若 f (?1) = 1 ,则

??( f ?1? ? f ?2? ? f ?3? ? ? ? f ?2015
A. ? 1 B. 0

) C. 1 D. 2

9.(原创)某高中的 4 名高三学生计划在高考结束后到西藏、新疆、香港等 3 个地区去旅游, 要求每个地区都要有学生去,每个学生只去一个地区旅游,且学生甲不到香港,则不同的出 行安排有( )

A. 36 种 B. 28 种 C. 24 种 D. 22 种 10. (原创)进入高三,为加强营养,某同学每天早餐有四种互不相同套餐可供选择,每天使 用其中的一种套餐,且每天都是从头一天中未使用的三种套餐中等可能地随机选用一种。在 一周内,现已知他星期一使用A种套餐,那么星期六他也使用A种套餐的概率是( ) A.

58 243

B.

37 102

C.

7 27

D.

20 81

11. 定义在 R 上的函数 f ( x) 满足: f ?( x) ? 1 ? f ( x) ,f(0)=3, f ?( x) 是 f ( x) 的导函数,则
不等式 e f ?x ? ? e ? 2 (其中 e 为自然对数的底数)的解集为(
x x

) D.{x|x<-1 或 0<x<1}

A.{x|x>0}

B.{x|x<0}

C.{x|x<-1 或 x>1}

x ) ?0 12. 已知 f ?x? ? a ? 2 x ? x 2 ? bx ,若 ? x f (
范围是( )

?? x ?

f (f ( x )) 0 ?

? ?

? ,则 a ? b 的取值

A.?0,1?

B.?? 1,4?

C.?0,4?

D.?? 1,3?

第 II 卷(非选择题,共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题 ~ 第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作 答。第 22 题 ~ 第 24 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13. 已知随机变量 X , Y 满足,X+Y=8,且 X~B(10,0.6),则 D? X ? ? E ?Y ? ? ______

-2-

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14. 在 ?1 ? 2 x ?

? ?

3 ? 2 的展开式中, x 项的系数为 2016 ? x ?

8

(结果用数值表示)

15. 已知直线 ax ? by ? c ? 0 中的 a, b, c 是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的 3 个不同的元
素,并且该直线的斜率为正,则符合这些条件的直线的条数是

16. (原创)已知函数 f ( x ) ?

2ax ? a 2 ? 1 ,其中 a ? R ,在 x ? [0, ??) 上存在最大值和最小 x2 ? 1

值,则 a 的取值范围是 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分 12 分)甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为
与 p ,且乙投球 2 次均未命中的概率为 (1).求乙投球的命中率 p ; (2).求甲投球 2 次,至少命中 1 次的概率; (3).若甲、乙两人各投球 2 次,求两人合计共命中 2 次的概率。

1 2

1 。 16

18. (本小题满分 12 分)已知命题 p:关于 x 的不等式 x2+2ax+4 ? 0 在 R 上无解,命题 q: x?a 实数 x 满足 1 ? ? 2。 2 (1).若 p ? (?q ) 是真命题,求实数 a 的取值范围;
(2).若“ ? p”是“ ? q”的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围。

19 . (本小题满分 12 分)一个盒子装有六张卡片,上面分别写着如下六个定义域为 R 的函数:

f1 ?x ? ? x ? 1 ,

f 2 ( x) ? x 2 ,
f5 ( x) ? cos x ? x ,

f3 ?x? ? log2

? x ? 1 ? x ?,
2

f 4 ( x) ? sin x ,

f 6 ?x ? ? x ? sin x ? 2 .

(1).现从盒子中任取两张卡片,将卡片上的函数相加得一个新函数,求所得函数是奇函数 的概率; (2).现从盒子中进行逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一张记有偶函数的卡 片则停止抽取,否则继续进行,求抽取次数 ? 的分布列和数学期望。

-3-

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20 . (本小题满分 12 分)设定义在 R 上的函数 f ( x) 对于任意 x, y 都有

f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) 成立,且 f (1) ? ?2 ,当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 。
(1).判断 f(x)在 R 上的单调性,并加以证明; (2).当 ? 2015≤ x ≤2015 时,不等式 f ( x) ? k 恒成立,求实数 k 的取值范围。

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ?x ? ? 1 ? ax ? ln x ,
(1).若函数在 x ? 2 处的切线斜率为 ?

1 ,求实数 a 的值; 2

(2).若存在 x ? ?0,??? 使 f ?x ? ? 0 成立,求实数 a 的范围; (3).证明对于任意 n ? N , n ? 2 有:

ln 2 ln 3 ln 4 ln n n2 1 ? ? ? ? ? ? ? 。 2 2 2 2 2 3 4 n 2?n ? 1? 4

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。作答时 请写清题号 22. (本小题满分 10 分)选修 4 - 1:几何证明选讲 如图所示,AB 是半径为 1 的圆 O 的直径,过点 A,B 分别引弦 AD 和 BE, 相交于点 C,过点 C 作 CF⊥AB,垂足为点 F. (1).求证: AE ? BC ? AC ? BD ; (2).求 BC·BE+AC·AD 的值。

23. (本小题满分 10 分)选修 4 - 4:坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴的正半轴重合.若曲线 C1 的极 坐标方程为 ρ =8ρ sin θ -15,曲线 C2 的参数方程为 ? (1).将 C1 的极坐标方程化为直角坐标方程;
-42

? x ? 2 2 cos? ? y ? 2 sin a

(α 为参数).

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 3π (2).若 C2 上的点 Q 对应的参数为 α = ,P 为 C1 上的动点,求 PQ 的最小值。 4

(原创)选修 4 - 5:不等式选讲 24. (本小题满分 10 分) 设关于 x 的不等式 2x ?1 ? t x . (1).当 t ? 2 时,不等式 2x ?1 ? t x ? a 对 ?x ? R 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2).若原不等式的解中整数解恰有 2 个,求实数 t 的取值范围。

2015 年重庆一中高 2016 级高二下期期末考试 数学试题参考答案(理科) 2015.7 一.选择题.(每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 C 2 A 3 D 4 B 5 D 6 B 7 A 8 B 9 C 10 D 11 A 12 C

二.填空题.(每小题 5 分,共 20 分) 13. 4.4 14. 112 15. 43 16.

(??, ?1] ? (0,1]

三.解答题.(共 75 分) 17.解: (1)设“甲投球一次命中”为事件 A, “乙投球一次命中”为事件 B.

1 3 5 3 解得 p ? 或 (舍去) ,所以乙投球的命中率为 . 16 4 4 4 1 1 (2)由 题 设 和 ( 1 ) 知 P? A? ? , P A ? . 故 甲 投 球 2 次 至 少 命 中 1 次 的 概 率 为 2 2 3 1? P A? A ? 4 1 1 3 1 (3)由题设和(1)知, P? A? ? , P A ? , P?B ? ? , P B ? 2 2 4 4
由题意得 ?1 ? P ?B ?? ? ?1 ? p ? ?
2 2

??

?

?

??

??

甲、乙两人各投球 2 次,共命中 2 次有三种情况:甲、乙两人各中一次;甲中两次,乙两次 均不中;甲两次均不中,乙中 2 次。概率分别为

3 1 9 , P? A ? A?P B ? B ? , P A ? A P ?B ? B ? ? 16 64 64 3 1 9 11 所以甲、乙两人各投两次,共命中 2 次的概率为 ? ? ? . 16 64 64 32
1 1 C2 P? A?P A ? C 2 P?B ?P B ?

??

??

?

?

?

?

18.解:依题意,命题 p 成立则-2< x <2,命题 q:2- a < x <4- a (1)若 p ? (?q ) 是真命题,则 p, q 都是真命题有:{a|-2<a≤1}. (2)若“ ? p”是“ ? q”的充分不必要条件,可知 q 是 p 的充分不必要条件.
-5-

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只需 ?

?2 ? a ? ?2 解得 2≤ a ≤4.所以实数 a 的取值范围是[2,4]. ? 4?a ? 2

19 .解(1)记事件 A 为“任取两张卡片,将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数” , 由题意知 P? A? ?
2 C2 1 ? 2 C6 15 1 1 1 C3 C3 C3 1 3 ? , P(? ? 2) ? 1 ? 1 ? , 1 C6 2 C6 C5 10

(2)易知 ? 可取 1, 2,3, 4 . P(? ? 1) ?

P(? ? 3) ?

1 1 1 1 1 1 1 C3 C3 C3 C3 C2 C2 C1 3 1 ; ? ? ? , P ( ? ? 4) ? ? ? ? ? 1 1 1 1 1 1 1 C6 C5 C4 20 C6 C5 C4 C3 20

故 ? 的分布列为

?
P
E? ? 1 ?

1
1 2

2

3
3 20

4
1 20

3 10

1 3 3 1 7 7 ? 2 ? ? 3? ? 4? ? . 答: ? 的数学期望为 . 2 10 20 20 4 4

20.解 (1) 任意的 x1 , x2 ? R , x1 ? x2 则 f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1), 因为 x>0 时, f(x)<0,故 f(x2-x1)<0,即 f(x2)-f(x1)<0。∴f(x2)<f(x1),f(x)在 R 上单调递减 (2)f(x)在区间[-2015,2015]上单调递减∴x=-2015 时,f(x)有最大值 f(-2015)=-f(2015)=-f(2014+1)=-[f(2014)+f(1)]=-[f(2013)+f(1)+f(1)]=? =-2015f(1)=4030,所以 k ? 4030 。 21.解(1)..由已知: f ?( x) ? (2).由已知 f ?? x ? ?

1 1 1 ? a ,∴由题知 f ?(2) ? ? a ? ? ,解得 a ? 1 , x 2 2

1 ? ax , x

当 a ? 0 时, f ?? x ? ? 0 ,所以 f ?x ? 在 ?0,??? 单调递增, f ?x ? ? 0 ,一定符合题意; 当 a ? 0 时, f ?? x ? ? 0 ? x ? ? 0,

? ?

1? ? 1? ? ,所以 f ?x ? 单调递增区间为 ? 0, ? ,单调递减区间为 a? ? a?

1 ?1 ? ?1? ? ,?? ? 。? f ?x ?max ? f ? ? ? ln ,由题意知, a ?a ? ?a?

-6-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 只需满足? f ? x ?max ? f ?

1 ?1? ? ? ln ? 0 ? 0 ? a ? 1 综上: a ? 1 . a ?a?

(3)要证明

ln 2 ln 3 ln 4 ln n n2 1 ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 3 4 n 2?n ? 1? 4

只需证

ln 2 ln 3 ln n 2n 2 ? n ? 1 ? ? ? ? ? (n∈N*,n≥2). 22 32 n2 4(n ? 1)

2 2ln 3 2ln n 2n 2 ? n ? 1 只需证 2ln , ? 2 ?? ? 2 ? 2 2 3 n 2(n ? 1)

只需证

ln 22 ln 32 ln n2 2n2 ? n ? 1 . ? ? ? ? ? 22 32 n2 2(n ? 1)

由(1)当 x ? ?1, ? ? ? 时, f ?( x) ? 0 ,f(x)为减函数, f ?x ? ? 1 ? x ? ln x ? 0 即 ln x ? x ? 1 ,∴ 当 n≥2 时, ln n2 ? n2 ? 1 ,
ln n 2 n 2 ? 1 1 1 1 1 , ? 2 ?1? 2 ?1? ?1? ? 2 n n n n(n ? 1) n n ?1

ln 22 ln32 ln n2 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? <? ? ? ? ? ? ? 2 2 ?1 ? 22 32 n2
? n ?1? 1 1 2n 2 ? n ? 1 , ? ? 2 n ?1 2(n ? 1)

1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ?1 ? 3 ? 3 ? 1 ? ? ??? ? ?1 ? n ? n ? 1 ? ? ? ? ?



ln 2 ln 3 ln n 2n 2 ? n ? 1 ? 2 ?? ? 2 ? . 2 2 3 n 4(n ? 1)



ln 2 ln 3 ln 4 ln n n2 3 ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 3 4 n 2?n ? 1? 4

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。作答时 请写清题号 22.解(1)连接 BD, ?AEC ? ?ADB, ?ACE ? ?BCD ,? ?AEC ∽ ?BDC

? AE ? BC ? AC ? BD
(2)由题意知∠AEC+∠AFC=180°,故 A,F,C,E 四点共圆, 所以 BC·BE=BF·BA,①易知∠ADB=90°, 同理可得 AC·AD=AF·AB,② 联立①②,知 BC·BE+AC·AD=(BF+AF)·AB=AB =2 =4.
2 2

23.解(1)x +y -8y+15=0.

2

2

-7-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 3π (2)当 α = 时,得 Q(-2,1),点 Q 到 C1 的圆心(0,4)的距离为 13, 4 所以 PQ 的最小值为 13-1.

24.解(1). 当 t ? 2 时, 2x ?1 ? 2x ? 2x ?1 ? 2x ? 1 ,? a ? 1 。 (2)此不等式有解,所以 t ? 0, 由 2x ?1 ? t x ? ?2x ?1? ? t 2 x 2 ? 4 ? t 2 x 2 ? 4x ? 1 ? 0 ,因为不等式整数解有限个,
2

?

?

1 1 1 1 1 ?x? ? ,所以一定 ,又 ? 2?t 2?t 4 2?t 2 1 3 5 ? 3 ,所以 ? t ? 。 有整数解 1,2,所以 2 ? 2 3 2?t
2 所以 4 ? t ? 0 , ? ? 0 ,所以, 0 ? t ? 2 ,

-8-


重庆市部分区县2014-2015学年高二数学下学期期末联考试题 理

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