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2015-2016学年广东省实验中学、广雅中学、佛山一中联考高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)

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2015-2016 学年广东省实验中学、广雅中学、佛山一中联考高二 (下)期末数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设集合 A={x|0≤x≤6},集合 B={x|3x2+2x﹣8≤0},则 A∪B=( ) A.[0, ] B.[﹣2, ] 2.若 z=1+2i,则

=( C.[0,6] ) D.[﹣2,6]

A.1 B.﹣1 C.i D.﹣i 3.设随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,9) ,若 P(ξ>c)=P(ξ<c﹣2) ,则 c 的值是( A.1 B.2 C.3 D.4 4.已知实数 x,y 满足 1<ax<ay(0≤a≤1) ,则下列关系式恒成立的是( A. > B.ln(x2+1)>ln(y2+1) )



C.sinx>siny D.x2>y2 5.将序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券全部分给 4 人,每人至少 1 张.如果分给同 一人的 2 张参观券连号,那么不同的分法种数是( ) A.24 B.96 C.144 D.210 6. 已知等比数列{an}中, 各项都是正数, 且 a1, A.1+ B.1﹣ C.3+2 D.3﹣2 7.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是( 2a2 成等差数列, , 则 = ( )



A.16

B.17

C.14

D.15

第 1 页(共 21 页)

8.已知函数 f(x)=sin(x﹣φ)且|φ|< 的一条对称轴是( A.x= B.x= ) C.x=

,又

f(x)dx=0,则函数 f(x)的图象

D.x=

9.已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m) ,则该四 3 棱锥的体积为( )m .

A.4

B.

C.3

D.2

10.设图 F1、F2 分别为双曲线

的左、右焦点,双曲线上存在一

点 P 使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|?|PF2|= ab,则该双曲线的离心率为( A. B. C. D.3



11.如图,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记 t 时刻五角星露 出水面部分的图形面积为 S(t) (S(0)=0) ,则导函数 y=S′(t)的图象大致为( )

A.

B.

C.

D.

12.设直线 l1,l2 分别是函数 f(x)=

图象上点 P1,P2 处的切线,l1 与 )

l2 垂直相交于点 P, l2 分别与 y 轴相交于点 A, B, 且 l1, 则△PAB 的面积的取值范围是 ( A. D. (0,1) B. (0,2) C. (0,+∞) (1,+∞)

第 2 页(共 21 页)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知向量 夹角为 45°,且 ,则 = .

14. (x﹣y)2(x+y)7 的展开式中 x3y6 的系数为 15.记不等式组

(用数字作答)

所表示的平面区域为 D.若直线 y=a(x+1)与 D 有公共点,则

a 的取值范围是 . 16.在平面内,定点 A、B、C、D 满足:| |=| |=| |, = ,则| |的最大值是 ﹣2,动点 P、M 满足:| |=1,

?

=

= .

?

=

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. B, C 所对的边分别为 a, b, c, cosB=0. 在△ABC 中, 角 A, 已知 cosC+ (cosA﹣ sinA) (1)求角 B 的大小; (2)若 b= ,c=1,求△ABC 的面积. 18.正项数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn2﹣(n2+n﹣1)Sn﹣(n2+n)=0 (1)求数列{an}的通项公式 an; (2) 令 bn= , 求数列{bn}的前 n 项和 Tn, 证明: 对于任意的 n∈N*, 都有 Tn .

19.为了增强环保意识,我校从男生中随机抽取了 60 人,从女生中随机抽取了 50 人参加环 保知识测试,统计数据如下表所示: 优秀 非优秀 总计 40 20 60 男生 20 30 50 女生 60 50 110 总计 (Ⅰ)试判断是否有 99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关; (Ⅱ)为参加市里举办的环保知识竞赛,学校举办预选赛,已知在环保测试中优秀的同学通 过预选赛的概率为 ,现在环保测试中优秀的同学中选 3 人参加预选赛,若随机变量 X 表 示这 3 人中通过预选赛的人数,求 X 的分布列与数学期望. 附: K2= P(K2≥k) k 0.500 0.400 0.100 0.010 0.001

0.455

0.708

2.706

6.635

10.828

20. EF∥BD, EF=DE= BD, BD=BC=CD= 梯形 BDEF 所在平面垂直于平面 ABCD 于 BD, AB= AD=2,DE⊥BC. (Ⅰ) 求证:DE⊥平面 ABCD; (Ⅱ) 求平面 AEF 与平面 CEF 所成的锐二面角的余弦值.

第 3 页(共 21 页)

21.已知椭圆 C 的中心在坐标原点,离心率 点重合. (1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 S(

,且其中一个焦点与抛物线

的焦

,0)的动直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点,试问:在坐标平面上是否存在

一个定点 T,使得无论 l 如何转动,以 AB 为直径的圆恒过点 T,若存在,求出点 T 的坐标; 若不存在,请说明理由. 22.已知函数 f(x)=alnx﹣x2,a∈R, (Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若 x≥1 时,f(x)≤0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)设 a>0,若 A(x1,y1) ,B(x2,y2)为曲线 y=f(x)上的两个不同点,满足 0<x1 <x2,且? x3∈ (x1,x2) ,使得曲线 y=f(x)在 x=x3 处的切线与直线 AB 平行,求证:x3< .

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2015-2016 学年广东省实验中学、广雅中学、佛山一中联 考高二(下)期末数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设集合 A={x|0≤x≤6},集合 B={x|3x2+2x﹣8≤0},则 A∪B=( ) A.[0, ] B.[﹣2, ] C.[0,6] D.[﹣2,6]

【考点】并集及其运算. 【分析】求出集合的等价条件,根据集合的基本运算进行求解即可. 【解答】解:集合 A={x|0≤x≤6}=[0,6],B={x|3x2+2x﹣8≤0}=(x|﹣2≤x≤ }=[﹣2, ], ∴A∪B=[﹣2,6], 故选:D.

2.若 z=1+2i,则 A.1

=(



B.﹣1 C.i D.﹣i

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】利用复数的乘法运算法则,化简求解即可. 【解答】解:z=1+2i,则 故选:C. 3.设随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,9) ,若 P(ξ>c)=P(ξ<c﹣2) ,则 c 的值是( A.1 B.2 C.3 D.4 ) = = =i.

【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 【分析】随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,9) ,得到曲线关于 x=2 对称,根据 P(ξ>c)=P (ξ<c﹣2) ,结合曲线的对称性得到点 c 与点 c﹣2 关于点 2 对称的,从而做出常数 c 的值 得到结果. 【解答】解:随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,9) , ∴曲线关于 x=2 对称, ∵P(ξ>c)=P(ξ<c﹣2) , ∴ ∴c=3 故选:C. ,

第 5 页(共 21 页)

4.已知实数 x,y 满足 1<ax<ay(0≤a≤1) ,则下列关系式恒成立的是( A. > B.ln(x2+1)>ln(y2+1)



C.sinx>siny D.x2>y2 【考点】指数函数的图象与性质. 【分析】实数 x,y 满足 1<ax<ay(0<a<1) ,得到 y<x<0,对于 B.C.D 分别举反例 2 即可否定,对于 A:由于 y=x 在(﹣∞,0)上单调递减,即可判断出正误 【解答】解:∵实数 x,y 满足 1<ax<ay(0<a<1) , y x 0 ∴ < < , A.若 > ,则等价为 x2+1<y2+1,即 x2<y2,恒成立

B.若 ln(x2+1)>ln(y2+1) ,则等价为 x2>y2 成立,当 x=﹣1,y=﹣2,满足 x>y 时,但 x2>y2,不成立, C.当 x=﹣ π,y=﹣π 时,满足 x>y,但 sinx>siny 不成立.

D.当 x=﹣1,y=﹣2,满足 x>y 时,但 x2>y2,不成立, 故选:A 5.将序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券全部分给 4 人,每人至少 1 张.如果分给同 一人的 2 张参观券连号,那么不同的分法种数是( ) A.24 B.96 C.144 D.210 【考点】排列、组合及简单计数问题. 【分析】求出 5 张参观券全部分给 4 人,每人至少 1 张,如果分给同一人的 2 张参观券连号 的组数,然后分给 4 人排列即可. 【解答】解:5 张参观券全部分给 4 人,分给同一人的 2 张参观券连号, 方法数为:1 和 2,2 和 3,3 和 4,4 和 5,四种连号,其它号码各为一组,分给 4 人,共有 4×A44=96 种. 故选:B.

6. 已知等比数列{an}中, 各项都是正数, 且 a1, A.1+ B.1﹣ C.3+2 D.3﹣2

2a2 成等差数列, , 则

= (



【考点】等差数列的性质;等比数列的性质. 【分析】先根据等差中项的性质可知得 2×( q2=1+2q,求得 q,代入 )=a1+2a2,进而利用通项公式表示出

中即可求得答案.

【解答】解:依题意可得 2×( 即,a3=a1+2a2,整理得 q2=1+2q,

)=a1+2a2,

第 6 页(共 21 页)

求得 q=1± , ∵各项都是正数 ∴q>0,q=1+ ∴ 故选 C 7.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是( ) = =3+2

A.16

B.17

C.14

D.15

【考点】程序框图. 【分析】通过分析循环,推出循环规律,利用循环的次数,求出输出结果. 【解答】解:第一次循环:S=log2 ,n=2; 第二次循环:S=log2 +log2 ,n=3; 第三次循环:S=log2 +log2 +log2 ,n=4; … 第 n 次循环:S=log2 +log2 +log2 +…+log2 令 log2 <﹣3,解得 n>15. =log2 ,n=n+1;

∴输出的结果是 n+1=16. 故选:A.

8.已知函数 f(x)=sin(x﹣φ)且|φ|< 的一条对称轴是( )

,又

f(x)dx=0,则函数 f(x)的图象

第 7 页(共 21 页)

A.x=

B.x=

C.x=

D.x=

【考点】正弦函数的图象. 【分析】利用 f(x)dx=0 求出 φ 值,然后找出使三角函数 f(x)取得最值的 x 即可.

【解答】解:函数 f(x)=sin(x﹣φ)且|φ|<



所以

f(x)dx=

sin(x﹣φ)dx=﹣cos(x﹣φ)

=﹣cos (

﹣φ)+cosφ=0,

所以 tanφ= 又|φ|≤

,解得 φ= ,∴φ= ;

+kπ,k∈Z;

所以 f(x)=sin(x﹣

) ; =kπ+ ,k∈Z;

所以函数 f(x)的图象的对称轴是 x﹣ 即 x=kπ+ ,k∈Z; .

所以 f(x)其中一条对称轴为 x= 故选:A.

9.已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m) ,则该四 棱锥的体积为( )m3.

A.4

B.

C.3

D.2

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】由三视图可知:该四棱锥的底面是底边为 2,高为 1 的平行四边形,四棱锥的高为 3.利用体积计算公式即可得出. 【解答】解:由三视图可知:该四棱锥的底面是底边为 2,高为 1 的平行四边形,四棱锥的 高为 3.

第 8 页(共 21 页)

∴该四棱锥的体积 V= 故选:D.

×3=2m3.

10.设图 F1、F2 分别为双曲线

的左、右焦点,双曲线上存在一

点 P 使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|?|PF2|= ab,则该双曲线的离心率为( A. B. C. D.3



【考点】双曲线的简单性质. 【分析】要求离心率,即求系数 a,c 间的关系,因此只需用系数将题目已知的条件表示出 来即可.本题涉及到了焦点弦问题,因此注意结合定义求解. 【解答】解:由双曲线的定义得:|PF1|﹣|PF2|=2a, (不妨设该点在右支上) 又|PF1|+|PF2|=3b,所以 两式相乘得 故 e= . 故选 B 11.如图,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记 t 时刻五角星露 出水面部分的图形面积为 S(t) (S(0)=0) ,则导函数 y=S′(t)的图象大致为( ) .结合 c2=a2+b2 得 . ,

A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象. 【分析】 本题利用逐一排除的方法进行判断, 结合选项根据最初零时刻和最后终点时刻没有 变化,导数取零,以及总面积一直保持增加,没有负的改变量,考虑到导数的意义,判断此 时面积改变为突变,产生中断进行判定即可. 【解答】解:最初零时刻和最后终点时刻没有变化,导数取零,排除 C; 总面积一直保持增加,没有负的改变量,排除 B; 考察 A、D 的差异在于两肩位置的改变是否平滑,考虑到导数的意义,判断此时面积改变为 突变,产生中断,选择 A. 故选 A.
第 9 页(共 21 页)

12.设直线 l1,l2 分别是函数 f(x)=

图象上点 P1,P2 处的切线,l1 与 )

l2 垂直相交于点 P, l2 分别与 y 轴相交于点 A, B, 且 l1, 则△PAB 的面积的取值范围是 ( A. D. (0,1) B. (0,2) C. (0,+∞) (1,+∞)

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】设出点 P1,P2 的坐标,求出原分段函数的导函数,得到直线 l1 与 l2 的斜率,由两 直线垂直求得 P1,P2 的横坐标的乘积为 1,再分别写出两直线的点斜式方程,求得 A,B 两 点的纵坐标,得到|AB|,联立两直线方程求得 P 的横坐标,然后代入三角形面积公式,利 用基本不等式求得△PAB 的面积的取值范围. 【解答】解:设 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2) (0<x1<1<x2) , 当 0<x<1 时,f′(x)= ∴l1 的斜率 ,当 x>1 时,f′(x)= , ,

,l2 的斜率

∵l1 与 l2 垂直,且 x2>x1>0, ∴ 直线 l1: ,即 x1x2=1. ,l2: .

取 x=0 分别得到 A(0,1﹣lnx1) ,B(0,﹣1+lnx2) , |AB|=|1﹣lnx1﹣(﹣1+lnx2)|=|2﹣(lnx1+lnx2)|=|2﹣lnx1x2|=2. 联立两直线方程可得交点 P 的横坐标为 x= ,



|AB|?|xP|=

=



∵函数 y=x+ 在(0,1)上为减函数,且 0<x1<1, ∴ ,则 ,





∴△PAB 的面积的取值范围是(0,1) . 故选:A. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知向量 夹角为 45°,且 ,则 = 3 .

【考点】平面向量数量积的运算;平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.
第 10 页(共 21 页)

【分析】由已知可得, = 【解答】解:∵ ∴ ∴|2 解得 故答案为:3 |= = = = , =1 =

= 可求

,代入|2

|=

=

=

14. (x﹣y)2(x+y)7 的展开式中 x3y6 的系数为 0 (用数字作答) 【考点】二项式系数的性质. 【分析】由题意依次求出(x+y)7 中 xy6,x2y5,x3y4 项的系数,求和即可. 【解答】解:多项式(x﹣y)2(x+y)7=(x2﹣2xy+y2) (x+y)7, 设(x+y)7 的通项公式为 Tr+1=C7rx7﹣ryr, 令 r=6,则 T7=C76xy6=7xy6, 令 r=5,则 T6=C75x2y5=21x2y5, 令 r=4,则 T5=C74x3y4=35x3y4. ∴(x﹣y)2(x+y)7 的展开式中 x3y6 的系数为:1×7﹣2×21+1×35=0, 故答案为:0.

15.记不等式组

所表示的平面区域为 D.若直线 y=a(x+1)与 D 有公共点,则

a 的取值范围是 [ ,4] . 【考点】简单线性规划. 【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用,我们要先画出满足约束条件 的平面区域,然后分析平面区域里各个角点,然后将其代入 y=a(x+1)中,求出 y=a(x+1) 对应的 a 的端点值即可. 【解答】解:满足约束条件 的平面区域如图示:

因为 y=a(x+1)过定点(﹣1,0) . 所以当 y=a(x+1)过点 B(0,4)时,得到 a=4, 当 y=a(x+1)过点 A(1,1)时,对应 a= . 又因为直线 y=a(x+1)与平面区域 D 有公共点.
第 11 页(共 21 页)

所以 ≤a≤4. 故答案为:[ ,4]

16.在平面内,定点 A、B、C、D 满足:| ﹣2,动点 P、M 满足:| |=1, =

|= |

|=|

|,

?

= .

=

?

=

,则|

|的最大值是

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】根据条件可知 A,B,C 三点共圆,M 为 PC 的中点,于是 平面直角坐标系得出 的坐标,计算 = ( ) .建立

得出模长关于 α 的函数,利用三角函数的恒

等变换得出模长的最大值. 【解答】解:∵| |=| |=| ∵ ? = = ?

|,∴A,B,C 在以 D 为圆心的圆 D 上, 两两夹角相等均为 120°,∴|DA|=2, ) ,C(﹣1, ) ,

=﹣2,∴

以 D 为原点建立平面直角坐标系,设 A(2,0) ,则 B(﹣1,﹣ ∴ =(0,2 ) . ∵| |=1,∴P 在以 A 为圆心,以 1 为半径的圆 A 上, ∵ = ,∴M 为 PC 的中点,∴ = ( ) . ) ,

设 P(2+cosα,sinα) ,则 ∴ ∴ ∴| =( cosα+ ,

=(3+cosα,sinα+ ) , )2=

sinα+

=( cosα+ )2+( sinα+ |的最大值为 = .

+

sinα+

=3sin(α+

)+



故答案为: .

第 12 页(共 21 页)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. B, C 所对的边分别为 a, b, c, cosB=0. 在△ABC 中, 角 A, 已知 cosC+ (cosA﹣ sinA) (1)求角 B 的大小; (2)若 b= ,c=1,求△ABC 的面积. 【考点】正弦定理;余弦定理. 【分析】 (1)利用诱导公式、两角和的余弦公式、商的关系化简已知的式子,根据内角的范 围和特殊角的三角函数值求出 B 的值; (2)由条件和余弦定理列出方程求出 a 的值,由三角形的面积公式求出△ABC 的面积. 【解答】解: (1)在△ABC 中,∵C=π﹣(A+B) ,cosC+(cosA﹣ sinA)cosB=0, ∴﹣cos(A+B)+cosAcosB﹣ sinAcosB=0﹣﹣ 即 sinAsinB﹣ sinAcosB=0﹣﹣ ∵sinA≠0,∴sinB﹣ cosB=0,即 tanB= ,﹣﹣ ∵0<B<π,∴ ﹣﹣

(2)由余弦定理得,b2=a2+c2﹣2ac?cosB, 把 b= ,c=1 代入得,3=a2+1﹣a,﹣﹣ 即 a2﹣a﹣2=0,解得 a=2﹣﹣ ∴ ﹣﹣

18.正项数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn2﹣(n2+n﹣1)Sn﹣(n2+n)=0 (1)求数列{an}的通项公式 an; (2) 令 bn= , 求数列{bn}的前 n 项和 Tn, 证明: 对于任意的 n∈N*, 都有 Tn .

【考点】数列的求和;数列递推式. 【分析】 (1)因式分解可得(Sn﹣(n2+n) ) (Sn+1)=0,从而求得 Sn=n2+n,从而判断出{an} 为等差数列,从而解得; (2)裂项 bn= = ( ﹣ ) ,从而求其前 n 项和前证明不等式即可.

第 13 页(共 21 页)

【解答】解: (1)∵Sn2﹣(n2+n﹣1)Sn﹣(n2+n)=0, ∴(Sn﹣(n2+n) ) (Sn+1)=0, 2 ∴Sn=n +n,或 Sn=﹣1(舍去) , 故正项数列{an}为等差数列, 其中 a1=1+1=2,a2=S2﹣S1=4, 故 an=2+2(n﹣1)=2n; (2)∵bn= ∴Tn= = = (1﹣ + ﹣ ﹣ + = ( ﹣ +…+ ) ) ; ﹣ ) , )

+ ﹣

(1+ ﹣ ﹣ ( .

故 Tn<

19.为了增强环保意识,我校从男生中随机抽取了 60 人,从女生中随机抽取了 50 人参加环 保知识测试,统计数据如下表所示: 优秀 非优秀 总计 40 20 60 男生 20 30 50 女生 60 50 110 总计 (Ⅰ)试判断是否有 99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关; (Ⅱ)为参加市里举办的环保知识竞赛,学校举办预选赛,已知在环保测试中优秀的同学通 过预选赛的概率为 ,现在环保测试中优秀的同学中选 3 人参加预选赛,若随机变量 X 表 示这 3 人中通过预选赛的人数,求 X 的分布列与数学期望. 附: K2= 0.500 0.400 0.100 0.010 0.001

P(K2≥k) k 0.455 0.708 2.706 6.635 10.828 【考点】离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差. 【分析】 (Ⅰ)由题意求出 K2,由此得到有 99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关. (II)由题意 X 的可能取值为 0,1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出 X 的分布列 和 E(X) . 【解答】解: (I)由题意: ∴有 99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关. (II)由题意 X 的可能取值为 0,1,2,3, K2≈7.822K2≈7.822>6.635,

第 14 页(共 21 页)

, , , , ∴X 的分布列为: X 0 P E(X)= =2.

1

2

3

20. EF∥BD, EF=DE= BD, BD=BC=CD= 梯形 BDEF 所在平面垂直于平面 ABCD 于 BD, AB= AD=2,DE⊥BC. (Ⅰ) 求证:DE⊥平面 ABCD; (Ⅱ) 求平面 AEF 与平面 CEF 所成的锐二面角的余弦值.

【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定. 【分析】 (Ⅰ)连接 AC,交 BD 于 O,推导出 AC⊥BD,从而 AC⊥平面 BDEF,进而 DE ⊥AC,再由 DE⊥BC,能证明 DE⊥平面 ABCD. (Ⅱ)分别以 OA,OB,OC 为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,利用向量法能求出 平面 AEF 与平面 CEF 所成的锐二面角的余弦值. 【解答】证明: (Ⅰ)连接 AC,交 BD 于 O, ∵BD=BC=CD,且 AB=AD,∴AC⊥BD, ∵平面 BDEF⊥平面 ABCD,交线为 BD,且 AC? 平面 ABCD, ∴AC⊥平面 BDEF, ∵DE? 平面 BDEF,∴DE⊥AC, 又 DE⊥BC,且 AC∩BC=C,∴DE⊥平面 ABCD. … 解: (Ⅱ)∵EF∥BD,EF= BD,且 O 是 BD 中点,∴ODEF 是平行四边形, ∴OF∥DE,∴OF⊥平面 ABCD,… 分别以 OA,OB,OC 为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系, A(1,0,0) ,C(﹣ ,0,0) ,E(0,﹣1,1) ,F(0,0,1) ,
第 15 页(共 21 页)

=(﹣1,0,1) , =(0,1,0) , 设平面 AEF 的法向量 =(x,y,z) , 则

=(

) ,

,取 x=1,得 =(1,0,1) ,…

设平面 CEF 的法向量





,取 a=1,得 =(1,0,﹣

) ,…

∴cos<

>=

=

=



即平面 AEF 与平面 CEF 所成的锐二面角的余弦值为

.…

21.已知椭圆 C 的中心在坐标原点,离心率 点重合. (1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 S(

,且其中一个焦点与抛物线

的焦

,0)的动直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点,试问:在坐标平面上是否存在

一个定点 T,使得无论 l 如何转动,以 AB 为直径的圆恒过点 T,若存在,求出点 T 的坐标; 若不存在,请说明理由. 【考点】椭圆的标准方程;直线与圆锥曲线的综合问题. 【分析】 (1)先设处椭圆的标准方程,根据离心率求的 a 和 c 的关系,进而根据抛物线的焦 点求得 c,进而求得 a,则 b 可得,进而求的椭圆的标准方程. (2)若直线 l 与 x 轴重合,则以 AB 为直径的圆是 x2+y2=1,若直线 l 垂直于 x 轴,则以 AB 为直径的圆是(x+ )2+y2= .联立两个圆的方程求得其交点的坐标,推断两圆相切,进

而可判断因此所求的点 T 如果存在,只能是这个切点.证明时先看直线 l 垂直于 x 轴时,以 AB 为直径的圆过点 T(1,0) .再看直线 l 不垂直于 x 轴,可设出直线方程,与圆方程联立 消去 y,记点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,根据伟大定理求得 x1+x2 和 x1x2 的表达式,代入 ? 的表达式中,求得 ? =0,进而推断 TA⊥TB,即以 AB 为直径的圆恒过点 T(1,0) .
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【解答】解: (Ⅰ)设椭圆的方程为

,离心率



,抛物

线

的焦点为(0,1) ,所以

,椭圆 C 的方程是 x2+

=1

(Ⅱ)若直线 l 与 x 轴重合,则以 AB 为直径的圆是 x2+y2=1,若直线 l 垂直于 x 轴,则以 AB 为直径的圆是(x+ )2+y2= .



解得

即两圆相切于点(1,0) .

因此所求的点 T 如果存在,只能是(1,0) . 事实上,点 T(1,0)就是所求的点.证明如下: 当直线 l 垂直于 x 轴时,以 AB 为直径的圆过点 T(1,0) . 若直线 l 不垂直于 x 轴,可设直线 l:y=k(x+ ) .



即(k2+2)x2+ k2x+ k2﹣2=0.

记点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则

又因为

=(x1﹣1,y1) ,

=(x2﹣1,y2) ,

?

=(x1﹣1) (x2﹣1)+y1y2=(x1﹣1)

(x2﹣1)+k2(x1+ ) (x2+ ) =(k2+1)x1x2+( k2﹣1) (x1+x2)+ k2+1 =(k2+1) +( k2﹣1) +1=0,

+

所以 TA⊥TB,即以 AB 为直径的圆恒过点 T(1,0) . 所以在坐标平面上存在一个定点 T(1,0)满足条件 22.已知函数 f(x)=alnx﹣x2,a∈R, (Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若 x≥1 时,f(x)≤0 恒成立,求实数 a 的取值范围;

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(Ⅲ)设 a>0,若 A(x1,y1) ,B(x2,y2)为曲线 y=f(x)上的两个不同点,满足 0<x1 <x2,且? x3∈ (x1,x2) ,使得曲线 y=f(x)在 x=x3 处的切线与直线 AB 平行,求证:x3< .

【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程;导数在最大值、 最小值问题中的应用. 【分析】 (Ⅰ)求函数 f(x)的导数,利用导数来判断 f(x)的增减性,从而求出单调区间; (Ⅱ)根据 f(x)的单调区间,求出 f(x)在(1,+∞)上的最大值,令最大值小于或等于 0,求出 a 的取值范围; (Ⅲ)当 a>0 时,求出直线 AB 的斜率 kAB,由直线 AB 与切线平行,得出 x3 与 x1+x2 的 关系式; 构造函数 g(t) ,利用函数的单调性证明不等式 x3< 【解答】解: (Ⅰ)∵函数 f(x)=alnx﹣x2,x>0,a∈R, ∴f′(x)= ﹣2x= ; 恒成立即可.

当 a≤0 时,∵x>0,∴f′(x)<0,∴f(x)在定义域上是减函数; 当 a>0 时,令 f′(x)=0,即 a﹣2x2=0,解得 x= ∴x> 0<x< 时,f′(x)<0,f(x)是减函数, 时,f′(x)>0,f(x)是增函数; ,

综上,a≤0 时,f(x)的减区间是(0,+∞) , a>0 时,f(x)的减区间是( ,+∞) ,增区间是(0, ) ;

(Ⅱ)根据(Ⅰ)知,a≤0 时,f(x)的减区间是(0,+∞) , 2 令 f(1)<0,则﹣x <0 恒成立,∴a≤0 满足题意; a>0 时,f(x)的减区间是( 当 当 ,+∞) ,增区间是(0, ) ;

≤1,即 0<a≤2 时,f(x)在(1,+∞)上是减函数,∴0<a≤2 满足题意; >1,即 a>2 时,f(x)的最大值是 f( ) ,令 f( )≤0,

即 a?ln



≤0,解得 a≤2e,即 2<a≤2e 满足题意;

综上,a 的取值范围是 a≤2e; (Ⅲ)当 a>0 时,A(x1,y1) ,B(x2,y2)为曲线 y=f(x)上的两个不同点,满足 0<x1 <x2 时,

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∴? x3∈(x1,x2) ,使得曲线 y=f(x)在 x=x3 处的切线与直线 AB 平行,如图所示;

∴kAB=

=



又∵f′(x)= ﹣2x, ∴kl=f′(x3)= ∴ ﹣2x3. = ﹣2x3.

∵f′(x)= ﹣2x 在(0,+∞)上是减函数, ∴欲证:x3< 即 ,即证明 f′(x3)>f′( > ) ,

﹣(x1+x2) ,

变形为





∴ln

>2?



∴ln

>2?





=t(t>1) ,

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则上述不等式等价于 lnt>2? 即(t+1)lnt>2(t﹣1) ; 构造函数 g(t)=lnt+ ﹣1,



当 t>1 时,g′(t)= ﹣

=



∴g′(t)在(1,+∞)上为增函数; ∴g′(t)>g′(1)=0, ∴g(t)在 t>1 时是增函数, ∴g(t)>g(1)=0; ∴g(t)>0 在(1,+∞)上恒成立, 即(t+1)lnt>2(t﹣1)恒成立. ∴x3< 恒成立.

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2016 年 8 月 6 日

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