nbhkdz.com冰点文库

高中精品-数学:求递推数列通项公式的十种策略例析


3.3 递推数列
一、基本知识简述 1.有关概念:我们在研究数列{an}时,如果任一项 an 与它的前一项 a n ?1 (或几项)间的关 系可以用一个公式来表示,则此公式就称为数列的递推公式。通过递推公式给出的数列,一 般我们也称之为递推数列。 主要有以下几种方法: (1) 构造法:通过构造特殊的数列(一般为等差数列或等列) ,利用特殊数列的通项求递 推数列的通项.

(2) 迭代法:将递推式适当变形后,用下标较小的项代替某些下标较大的项,在一般项 和初始之间建立某种联系,从而求出通项. (3) 代换法:包括代数代换、三角代换等 (4) 待定系数法:先设定通项的基本形式,再根据题设条件求出待定的系数。 3.思想策略:构造新数列的思想。 4.常见类型: 类型Ⅰ: ?
?a n ?1 ? p(n)a n ? q(n) ( p(n) ? 0) (一阶递归) ?a1 ? a (a为常数)

类型 II:分式线性递推数列: a n ?1 ? 二、例题:

Ca n ? D ( A ? 0) Aan ? B

例 1: an ? 3an?1 ? 2 , a1 ? 2 ,求通项 an 分析:构造辅助数列, an ? 1 ? 3(an?1 ? 1) ,则 an ? 3n ? 1 求通项过程中, 多次利用递推的思想方法以及把一般数列转化为等差、 等比数列去讨论, 从而求出了通项公式 an 。 [一般形式] 已知 an ? pan?1 ? q , a1 ? a ,其中 p,q,a 为常数,求通项 an [同类变式]已知数列 {a n } 满足 an?1 ? 2an ? (2n ? 1) ,且 a1 ? 2 ,求通项 an

分析: (待定系数) ,构造数列 {an ? kn ? b} 使其为等比数列, 即 an?1 ? k (n ? 1) ? b ? 2(an ? kn ? b) ,解得 k ? 2, b ? 1 求得 an ? 5 ? 2 [归纳]: 类型Ⅰ: ?
?a n ?1 ? p(n)a n ? q(n) ( p(n) ? 0) (一阶递归) ?a1 ? a (a为常数)
52 求学网教育论坛 免费学习资料
n?1

? 2n ? 1

其特例为: (1) p(n) ? 1 时, an?1 ? an ? q(n) 利用累加法,将 an ? an?1 ? q(n ? 1) , an?1 ? an?2 + q(n ? 2) , a 2 ? a1 + q(1) ?,各式相加, 得 a n ? a1 +

? q(k ) (n ? 2)
k ?1

n ?1

(2) q(n) ? 0 时, an?1 ? p(n)an ;利用累乘法, a n ? a1 (3) p(n) ? p, q(n) ? q 时, an?1 ? pan ? q

? p(k )
k ?1

n ?1

( p ? 0)

解题方法:利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列 法 1 : ( 常 数 变 易 法 ) 设 an ? x ? p(an?1 ? x) 则 an ? pan?1 ? x( p ? 1) , 从 而

x?

q p ?1
亦即数列 ?an ?

? ?

q q ? 为首项,公比为 p 的等比数列, ? 是以 a n ? p ?1 p ? 1? q q ? (a1 ? ) p n ?1 , p ?1 p ?1

从而可得: a n ?

a n ? (a ?

q q [a( p ? 1) ? q] ? p n?1 ? q ) p n ?1 ? ? p ?1 p ?1 p ?1

法 2: an ? an?1 ? p(an?1 ? an?2 ) 利用 ?an ? an?1 ?成等比数列求出 an ? an?1 ,再利用迭代或迭另法求出 an 法 3:由 an ? pan?1 ? q ,则可得

a n ?1 q ? an ? p n ? p n ?1 ? p n ? ? a n ?1 a n?2 q a a q q q ? n ?1 ? n ? 2 ? n1? p p ,从而又可得 n ? 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ?p n p p p p p ?. . . . . . . . ? q ? a 2 a1 ? p2 ? p ? p2 ?
即 an ? p [
n

a1 q 1 1 q [a( p ? 1) ? q] ? p n?1 ? q ? ? ( ? 2 ? ... ? n?1 )] ? p p p p p ?1 p
52 求学网教育论坛 免费学习资料

(4) p(n) ? p, q(n) ? q 时, an?1 ? pan ? q n
n

( p ? 0)

两边同除以 p n 例 2:数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,且 a1 ? 1 , S n = n 2 an (n ? N*) ,求数列 {a n } 的通 项公式. 例 3:数列 {a n } 中,且 a1 ? 1 , a n ?1 ? 3 [提示] 1

2a n ,求数列 {a n } 的通项公式. 2a n ? 1

a n ?1

? 1 1 ?1 2 an

[归纳]:类型 II:分式线性递推数列: a n ?1 ?

Ca n ? D ( A ? 0) Aan ? B

练习:1.已知数列 ?an ? 中, S n 是其前 n 项和,并且 Sn?1 ? 4an ? 2(n ? 1, 2,

⑴设数列 bn ? an?1 ? 2an (n ? 1,2,??) ,求证:数列 ?bn ? 是等比数列;

), a1 ? 1 ,

an , (n ? 1,2, ??) ,求证:数列 ?cn ? 是等差数列; 2n ⑶求数列 ?an ? 的通项公式及前 n 项和。
⑵设数列 c n ? 分析:由于{b n }和{c n }中的项都和{a n }中的项有关,{a n }中又有 S n?1 =4a n +2,可由 S n ? 2 -S n?1 作切入点探索解题的途径. 解 : (1) 由 S n?1 =4a n ?2 , S
n?2

=4a n?1 +2 , 两 式 相 减 , 得 S n ? 2 -S

n ?1

=4(a n?1 -a

n

),即

a n ? 2 =4a n?1 -4a n .(根据 b n 的构造,如何把该式表示成 b n?1 与 b n 的关系是证明的关键,注 意加强恒等变形能力的训练) a n ? 2 -2a n?1 =2(a n?1 -2a n ),又 b n =a n?1 -2a n ,所以 b n?1 =2b n ① ②
n ?1

已知 S 2 =4a 1 +2,a 1 =1,a 1 +a 2 =4a 1 +2,解得 a 2 =5,b 1 =a 2 -2a 1 =3 由① 和② 得,数列{b n }是首项为 3,公比为 2 的等比数列,故 b n =3·2



当 n≥2 时,S n =4a n?1 +2=2

n ?1

(3n-4)+2;当 n=1 时,S 1 =a 1 =1 也适合上式.
n ?1

综上可知,所求的求和公式为 S n =2

(3n-4)+2.

说明:1.本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差,等比数列,求数列
52 求学网教育论坛 免费学习资料

通项与前 n 项和。解决本题的关键在于由条件 S n?1 ? 4an ? 2 得出递推公式。 2.解综合题要总揽全局,尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件,在后 面求解的过程中适时应用. 练习:2.设二次方程 an x - an+1. x+1=0(n∈N)有两根α 和β ,且满足 6α -2α β +6β =3. (1)试用 an 表示 a n?1 ;
2

例 9.数列 ?an ? 中, a1 ? 8, a4 ? 2 且满足 an?2 ? 2an?1 ? an n ? N ⑴求数列 ?an ? 的通项公式; ⑵设 S n ?| a1 | ? | a2 | ??? | an | ,求 S n ;

*

1 (n ? N * ),Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn (n ? N * ) ,是否存在最大的整数 n(12 ? a n ) m 成立?若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理 m ,使得对任意 n ? N * ,均有 Tn ? 32
⑶设 bn = 由。 解: (1)由题意, an?2 ? an?1 ? an?1 ? an ,?{an } 为等差数列,设公差为 d , 由题意得 2 ? 8 ? 3d ? d ? ?2 ,? an ? 8 ? 2(n ? 1) ? 10 ? 2n . (2)若 10 ? 2n ? 0则n ? 5 , n ? 5时, S n ?| a1 | ? | a2 | ??? | an |
52 求学网教育论坛 免费学习资料

8 ? 10 ? 2n ? n ? 9n ? n 2 , 2 n ? 6 时, S n ? a1 ? a2 ? ? ? a5 ? a6 ? a7 ? ? an ? a1 ? a2 ? ? an ?

? S5 ? (S n ? S5 ) ? 2S5 ? S n ? n 2 ? 9n ? 40
n ? 9n ? 40 n ? 6 1 1 1 1 1 (3)? bn ? ? ? ( ? ) n(12 ? an ) 2n(n ? 1) 2 n n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n ? )?( ? )] ? . ? Tn ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( 2 2 2 3 3 4 n ?1 n n n ?1 2(n ? 1) m n m * * ? 若 Tn ? 对任意 n ? N 成立,即 对任意 n ? N 成立, 32 n ? 1 16 n 1 m 1 ? (n ? N * ) 的最小值是 ,? ? , ?m 的最大整数值是 7。 2 n ?1 16 2 m * . 即存在最大整数 m ? 7, 使对任意 n ? N ,均有 Tn ? 32
2

故 Sn ?

9n ? n 2

n?5

说明:本例复习数列通项,数列求和以及有关数列与不等式

构建新数列巧解递推数列竞赛题
递推数列是国内外数学竞赛命题的“热点”之一,由于题目灵活多变,答 题难度较大。 本文利用构建新数列的统一方法解答此类问题,基本思路是根据题 设提供的信息,构建新的数列,建立新数列与原数列对应项之间的关系,然后通 过研究新数列达到问题解决之目的。其中,怎样构造新数列是答题关键。 1 求通项 求通项是递推数列竞赛题的常见题型,这类问题可通过构建新数列进行代 换,使递推关系式简化,这样就把原数列变形转化为等差数列、等比数列和线性 数列等容易处理的数列,使问题由难变易,所用的即换元和化归的思想。 例 1、数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a n ?1 ?
1 1 ? 4a n ? 1 ? 24 a n 。求 an 。 16

?

?

(1981 年第 22 届 IMO 预选题) 分析 本题的难点是已知递推关系式中的 1 ? 24a n 较难处理,可构建新数

列 ?bn ? ,令 bn ? 1 ? 24an ,这样就巧妙地去掉了根式,便于化简变形。

52 求学网教育论坛 免费学习资料

解:构建新数列 ?bn ? ,使 bn ? 1 ? 24an ? 0 则
2 b1 ? 5 , bn ? 1 ? 24an ,即 a n ?
2 bn ?1 24

?

2 2 ? bn bn ?1 1? ?1 ? 1 ? ? ?1 ? 4 ? ? bn ? ? 24 16 ? 24 ?

化简得

?2bn?1 ?2 ? ?bn ? 3?2

?

1 ?bn ? 3? 2 1 数列 ?bn ? 3? 是以 2 为首项, 为公比的等比数列。 2

2bn?1 ? bn ? 3 ,即 bn ?1 ? 3 ?

?1? bn ? 3 ? 2 ? ? ? ? 2?

n ?1

? 2 2? n

即 bn ? 22?n ? 3

?
2

2 bn ? 1 2 2 n ?1 ? 3 ? 2 n ?1 ? 1 an ? ? 24 3 ? 2 2 n ?1

证明不等式 这类题一般先通过构建新数列求出通项,然后证明不等式或者对递推关系

式先进行巧妙变形后再构建新数列, 然后根据已经简化的新数列满足的关系式证 明不等式。 例 2、设 a0 ? 1 , a n ?
2 1 ? an ?1 ? 1

a n ?1

?n ? N ? ,求证: a n

?

?
2 n?2



(1990 年匈牙利数学奥林匹克试题) 分析
2 利用待证的不等式中含有 ? 及递推关系式中含有 1 ? a n ?1 这两个信

息,考虑进行三角代换,构建新数列 ? ? n ?,使 an ? tg? n ,化简递推关系式。
? ?? 证明:易知 an ? 0 ,构建新数列 ? ? n ?,使 an ? tg? n , ? n ? ? 0, ? ? 2?

则 an ?

1 ? tg 2? n ?1 ? 1 tg? n ?1

?

1 ? cos? n ?1 ? ? tg n ?1 sin ? n ?1 2

?

tg? n ? tg

? n?1
2

,? n ?

? n ?1
2
52 求学网教育论坛 免费学习资料

又 a0 ? 1 , a1 ? 2 ? 1 ? tg

?
8

,从而 ? 1 ?

? 8

因此,新数列 ? ? n ?是以

? 1 为首项, 为公比的等比数列。 2 8

?1? ?n ? ? ? ? 2?

n ?1

?

?
8

?

?
2 n?2

? 考虑到当 x ? (0, ) 时,有 tgx ? x 。 2 ? ? 所以, a n ? tg n ? 2 ? n ? 2 2 2
注:对型如 3 证明是整数 这类题把递推数列与数论知识结合在一起,我们可以根据题目中的信息, 构建新数列,找到新的递推关系式直接解决,或者再进行转化,结合数论知识解 决。 例 3、设数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an?1 ? 求证:
1 1 an ? 2 an
(n ? N )
2 1 ? an , 1 ? an ,

a n ?1 ? a n 都可采用三角代换。 1 ? a n a n ?1

2
2 an ?2

?N

?n ? N , n ? 1? 。

( 《中学数学教学参考》2001 年第 8 期第 53 页,高中数学竞赛模拟试题) 分析 直接令 bn ?

2 a ?2
2 n

,转化为证明 bn ? N

(n ? N , n ? 1)

证明:构建新数列 ?bn ? ,令 bn ?
4 4 2 ? 2 , an ?2 ?1 ? 2 2 bn bn ?1
?1 1 ? ? ?? a ? n ?2 ? a n ? ?
2

2
2 an ?2

?0

2 ? 则 an

代入 a

2 n ?1

整理得

2 2 2 bn ?1 ? bn 4 ? 2bn

?

?
52 求学网教育论坛 免费学习资料

2 2 2 从而 bn ? bn ?1 4 ? 2bn?1

?

?

(n ? 3)

2 2 2 2 2 于是 bn ?1 ? bn 4 ? 2bn ?1 ?4 ? 2bn ?1 ? ? 2bn ?bn ?1 ? 1?

?

? ?

?

2

(n ? 3)

?

2 bn?1 ? 2bn bn ?1 ? 1

?

?

(n ? 3)

由已知,b2 ? 4 ,b3 ? 24 , 由上式可知,b4 ? N ,b5 ? N , 依次类推,bn ? N
(n ? 1) ,即

2 a ?2
2 n

?N 。
nan ? 2(n ? 1) 2 r n?2

例 4、设 r 为正整数,定义数列 ?an ? 如下: a1 ? 1 , a n ?1 ?
(n ? N )

求证: a n ? N 。 (1992 年中国台北数学奥林匹克试题)

分析

把条件变形为 ?n ? 2?an?1 ? nan ? 2?n ? 1? 比较 a n ?1 与 an 前的系数及
2r
2r

a n ?1 与 an 的足码,考虑到另一项为 2?n ? 1? ,等式两边同乘以 ?n ? 1? ,容易想到
构新数列 ?bn ? ,使 bn ? n?n ? 1?an 。 证明:由已知得 ?n ? 2?an?1 ? nan ? 2?n ? 1?
2r

? ?n ? 1??n ? 2?an?1 ? n?n ? 1?an ? 2?n ? 1?2r ?1
构建新数列 ?bn ? , bn ? n?n ? 1?an 则 b1 ? 2 , bn?1 ? bn ? 2?n ? 1?
2r ?1

? bn ? b1 ? ? ?bk ?1 ? bk ?
k ?1

n ?1

? 2 1 ? 2 2r ?1 ? 32r ?1 ? ? ? n 2r ?1

?

?

? ?

bn ? N
bn ? 2n 2 r ?1 ? ? k 2 r ?1 ? (n ? k ) 2 r ?1
k ?1 n ?1 n ?1

?

?
?

1 2r 2 2 r ?1 2 2r 2r ? 2n 2 r ?1 ? ? n 2 r ?1 ? C 2 k ? ? ? C2 r ?1 n k ? C 2 r ?1 n r ?1 n ? k k ?1

?

52 求学网教育论坛 免费学习资料

?

n bn
n n n

又 bn ? ? k 2 r ?1 ? ? (n ? 1 ? k ) 2 r ?1 ? ? k 2 r ?1 ? ?n ? 1 ? k ?
k ?1 k ?1 k ?1

?

2 r ?1

? ?

? ? ?n ? 1?
k ?1

n

?

2 r ?1

1 2 ? C2 r ?1 ?n ? 1? ? k ? C 2 r ?1 ?n ? 1? 2r

2 r ?1

2r 2r k 2 ? ? ? C2 r ?1 ?n ? 1?k

? ?n ? 1? ? n?n ? 1?
4

| bn | bn ,从而 a n ? N 。

解决整除问题 一般通过构建新数列求出通项,再结合数论知识解决,也可用数学归纳法

直接证明。 例 5、设数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , a2 ? 3 ,对一切 n ? N ,有

an?2 ? ?n ? 3?an?1 ? ?n ? 2?an ,求所有被 11 整除的 an 的一切 n 值。
(1990 年巴尔干地区数学奥林匹克试题) 分析 变形递推关系式为 an?2 ? an?1 ? ?n ? 2??an?1 ? an ? ,就容易想到怎样构

建新数列了。 解:由已知 an?2 ? an?1 ? ?n ? 2??an?1 ? an ? 构建新数列 ?bn ??n ? 2?,

bn?1 ? an?1 ? an

?n ? 1? ?n ? 2? ?n ? 2?

则 b2 ? 2 , bn?1 ? ?n ? 1??an ? an?1 ? ? ?n ? 1?bn

? ?

bn ? nbn?1 ? n?n ? 1?bn?2 ? ? ? n?n ? 1??3b2 ? n!
an ? a1 ? ? ?an ? an?1 ? ? 1 ? ? bk ?? k!
k ?2 k ?2 k ?1 n n n

从而 a4 ? 11? 3 ,a8 ? 11? 4203,a10 ? 11? 367083 , 当 n ? 11 时, 由于 ? k! 被
k ?1

10

11 整除,因而 a n ? ? k! ? ? k! 也被 11 整除。
k ?1 k ?11

10

n

所以,所求 n 值为 n ? 4 ,8,及 n ? 10 的一切自然数。
52 求学网教育论坛 免费学习资料

5

证明是完全平方数 这类题初看似乎难以入手,但如能通过构建新数列求出通项 an ,问题也就

迎刃而解了。 例 6、设数列 ?an ? 和 ?bn ? 满足 a0 ? 1 , b0 ? 0 ,且

?an?1 ? 7an ? 6bn ? 3 ? ?bn?1 ? 8an ? 7bn ? 4

① ②

?n ? 0,1,2,??

求证: an 是完全平方数。 (2000 年全国高中联赛加试题) 分析 先用代入法消去 bn 和 bn ?1 ,得 an?2 ? 14an?1 ? an ? 6 ? 0 ,如果等式中

没有常数项 6,就可以利用特征根方法求通项,因此可令 Cn ? an ? a ,易求得
1 a?? 。 2

证明:由①式得 bn , bn ?1 代入②得

an?2 ? 14an?1 ? an ? 6 ? 0
1? 1? ? 1? ? ? 化为 ? a n? 2 ? ? ? 14? a n?1 ? ? ? ? a n ? ? ? 0 2? 2? ? 2? ? ?

构建新数列 ?cn ? , c n ? a n ?

1 1 ,且 c 0 ? , 2 2 1 1 7 c1 ? a1 ? ? ?7a0 ? 6b0 ? 3? ? ? 2 2 2

cn?2 ? 14?cn?1 ? ? cn ? 0
由特征方程

?2 ? 14? ? 1 ? 0 得两根

?1 ? 7 ? 4 3 , ?2 ? 7 ? 4 3
所以
n cn ? m1?1 ? m2 ?n 2

1 ? m1 ? m2 ? ? ? 2 当 n ? 0 ,1 时,有 ? ?m 7 ? 4 3 ? m 7 ? 4 3 ? 1 1 2 ? 2 ?

?

?

?

?

52 求学网教育论坛 免费学习资料

解得: m1 ? m2 ? 则 cn ?

n n 1 1 7?4 3 ? 7?4 3 4 4 2n 2n 1 1 ? 2? 3 ? 2? 3 4 4

? ?

1 4

?

?

?

?

?

?

则 an ? cn ?

n n 2 1 1? ? 2? 3 ? 2? 3 ? ? ? ? 2 4?

?

? ?

?

因为 2 ? 3 ? 2 ? 3

?

? ?
n

?

n

为正偶数,所以, an 是完全平方数。

从上述各题构建新数列的过程中,可以看出对题设中递推式的观察、分析, 并据其结构特点进行合理变形, 是成功构建新数列的关键。构建新数列的目的是 为了化繁为简、化未知为已知、化不熟悉为熟悉,这也是解答数学问题的共性之 所在。
本文由 52 求学网论坛微光整理

52 求学网教育论坛 免费学习资料


高中精品-数学:求递推数列通项公式的十种策略例析

高中精品-数学:求递推数列通项公式的十种策略例析_数学_高中教育_教育专区。有效帮助学生提升3.3 递推数列一、基本知识简述 1.有关概念:我们在研究数列{an}时...

递推数列通项公式的十种策略例析

递推数列通项公式的十种策略例析_数学_高中教育_教育专区。求递推数列通项公式的十种策略例析递推数列的题型多样,求递推数列的通项公式的方法也非常灵活,往往...

高考数学求递推数列通项公式的十种策略例析(全面)

递推数列通项公式的探求例析递推数列的题型多样,求递推数列的通项公式的方法也非常灵活,往往可以通过适当的策略将问题化归为 等差数列或等比数列问题加以解决,亦可...

求递推数列通项公式的十种策略例析

求递推数列通项公式的十种策略例析_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档求递推数列通项公式的十种策略例析_数学_高中教育_教育专区。求...

求递推数列通项公式的十种策略例析(高考)

百度文库 教育专区 高中教育 数学 高三数学上传文档支持以下设备:扫二维码下载 ...求递推数列通项公式的十种策略例析(高考求递推数列通项公式的十种策略例析(高考...

求递推数列通项公式的十种策略例析(高考)

高考数学150分的关键!隐藏>> 求递推数列通项公式的十种策略例析 递推数列的题型多样,求递推数列的通项公式的方法也非常灵活,往往可以通过适当的 策略将问题化归...

求递推数列通项公式的十种策略例析1

百度文库 专业资料 自然科学 数学专题推荐 北师大二附理科学霸高中... 东北师大...求递推数列通项公式的几种策略例析一、利用公式法求通项公式 例 1 已知数列...

递推数列通项公式的十种策略例析

百度文库 教育专区 高中教育 数学 高三数学上传文档支持以下设备:扫二维码下载 ...求递推数列通项公式的十种策略例析 一、利用公式法求通项公式 {a } a = ...

求递推数列通项公式的十种策略例析

百度文库 教育专区 高中教育 数学 高三数学上传文档支持以下设备:扫二维码下载 ...求递推数列通项公式的十种策略例析求递推数列通项公式的十种策略例析隐藏>> ...