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上海市八校2013届高三下学期联合调研考试数学(文)


上海市八校 2013 届联合调研考试数学(文)试题
一、填空题(本题满分 56 分)本大题共有 14 题,要求在答题纸相应题序的空格内直接填写 结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分。 1.若 z ? C ,且 (3 ? z )i ? 1 ,则 z ? ________________。 2.函数 y ? log0.5 x 的定义域为_______________

___ 。 3.已知 f ( x) ? 2 ? 2 ,那么 f
x
?1

(2) 的值是__________________。

4. 已知 {an } 为等差数列, 其前 n 项和为 Sn , 若 a3 ? 6 ,S3 ? 12 , 则公差 d =_____________。 5.函数 y ?

3 cos x cos x

sin x cos x

的最小正周期__________________。

6. ?an ? 是无穷数列,已知 an 是二项式 (1 ? 2 x)n (n ? N*) 的展开式各项系数的和,记

Pn ?

1 1 ? ? a1 a2

?

1 ,则 lim Pn ? __________。 n ?? an

7.若双曲线的渐近线方程为 y ? ?3x ,它的一个焦点与抛物线 y 2 ? 4 10x 的焦点重合,则 双曲线的标准方程为__________________。 8. 已知正方形 ABCD 的边长为 1, 点 E 是 AB 边上的动点, DE ? DC 的最大值为_________。 9.△ ABC 中,三内角 A 、 B 、 C 所对边的长分别为 a 、 b 、 c ,已知 ?B ? 60 ,不等式
?

? x 2 ? 6 x ? 8 ? 0 的解集为 {x | a ? x ? c} ,则 b ? ______。
10.如图为一几何体的的展开图,其中 ABCD 是边长 S 为 6 的正方形, SD=PD = 6 , CR=SC , AQ=AP ,点 S,D,A,Q 及 P,D,C,R 共线,沿图中虚线将它们折叠,使 P , Q , R , S 四点重合,则这样的几何体的体积为 ________。 11.从 1,2,3,4,5 这 5 个数中任意抽取三个数,其中仅有 两个数是连续整数的概率是_________。 Q A B P D C R

12. 已知数列 {an } , {bn } 满足 a1 ? 1 , a2 ? 2 , b1 ? 2 ,且对任意的正整数 i , j , k , l ,当 i ? j ? k ? l 时, 都有 ai b j ? ak bl ,则 a10 ? b10 的值是_________。 13 . f ( x) 为 R 上的偶函数, g ( x) 为 R 上的奇函数且过 ?? 1,3? , g ( x) ? f ( x ? 1) ,则

f (2012 ) ? f (2013 ) ? __________________。
14.曲线 C 是平面内与两个定点 F1(-1,0)和 F2(1,0)的距离的积等于常数 a 2 (a ? 1) 的 点的轨迹.给出下列三个结论: ① 曲线 C 过坐标原点; ② 曲线 C 关于坐标原点对称; ③若点 P 在曲线 C 上,则△F 1 PF 2 的面积大于

1 2 a 。 2

其中,所有正确结论的序号是__________________。 二. 选择题(本题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结 论是正确的, 必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑, 选对得 5 分, 否则一律得零分。 15.设等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,则“ a1 ? 0 ”是“ S3 ? S2 ”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件 ( )

16.右图给出了一个程序框图,其作用是输入 x 的值,输 出相应的 y 值,若要使输入的 x 值与输出的 y 值相等,则 这样的 x 值有 (A)1 个; (C)3 个; (B)2 个 (D)4 个 ( )

17.若点 M ( a, ) 和 N (b, ) 都在直线 l : x ? y ? 1 上, 则点 P(c, ) , Q( , b) 和 l 的关系是 (A)P 和 Q 都在 l 上

1 b

1 c

1 a

1 c





(B) P 和 Q 都不在 l 上

(C)P 在 l 上,Q 不在 l 上 (D)P 不在 l 上,Q 在 l 上

18.受全球金融危机和国家应对金融危机政策的 影响,某公司 2012 年一年内每天的利润 Q (t ) (万 元 ) 与时间 t ( 天 ) 的关系如图所示,已知该公司 2012 年的每天平均利润为 35 万元, 令 C (t ) (万元) 表示时间段 [0, t ] 内该公司的平均利润,用图像描 述 C (t ) 与 t 之间的函数关系中较准确的是 ( )

三. 解答题: (本题满分 74 分) 本大题共有 5 题, 解答下列各题必须在答题纸的规定区域 (对 应的题号)内写出必要的步骤。 19.(本题满分 12 分;第(1)小题 6 分,第(2)小题 6 分) 如图,已知点 P 在圆柱 OO1 的底面圆 O 上, AB 为圆 O 的直径,OA ? 2 ,?AOP ? 120? , 三棱锥 A 1 ? APB 的体积为

8 3。 3

A1

O1

B1

(1)求圆柱 OO1 的表面积; (2)求异面直线 A 1B 与 OP 所成角的大小。 (结果用反三角函数值表示) A O

B

20.(本题满分 14 分;第(1)小题 8 分,第(2)小题 6 分) 如图,有一块边长为 1(百米)的正方形区域 ABCD,在点 A 处 D Q C 有一个可转动的探照灯,其照射角 ?PAQ 始终为 45 (其中 点 P、Q 分别在边 BC、CD 上),设 ?PAB ? ? , tan ? ? t , P A 45° θ B 探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S (平方百米)。 (1) 将 S 表示成 t 的函数; (2) 求 S 的最大值。

21. (本题满分 14 分;第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分)

P(? 已知椭圆 C 以 F 1 ? ?2,0? , F 2 ? 2,0? 为焦点且经过点
(1)求椭圆 C 的方程;

5 3 , )。 2 2

(2) 已知直线 l 过点 P , 且直线 l 的一个方向向量为 m ? ? 3,3? 。 是否存在平行于 l 的直线 l1 , 使得直线 l1 与椭圆 C 有公共点,且直线 l1 与 l 的距离等于 2 ?若存在,求出直线 l1 的方程; 若不存在,说明理由。

22.(本题满分 16 分;第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 6 分. ) 已知下表为函数 f ( x) ? ax3 ? cx ? d (a ? 0) 部分自变量取值及其对应函数值 ,为了便于研 究,相关函数值取非整数值时,取值精确到 0.01。

x
y

-0.61 0.07

-0.59 0.02

-0.56 -0.03

-0.35 -0.22

0 0

0.26 0.21

0.42 0.20

1.57 -10.04

3.27 -101.63

根据表中数据,研究该函数的一些性质: (1) 判断 f ( x) 的奇偶性,并证明; (2) 判断 f ( x) 在 ?? 0.6,?0.55? 上是否存在零点,并说明理由; (3) 判断 f ( x) 在 ?? ?,?0.35? 的单调性, 并说明理由。

23. (本题满分 18 分;第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 8 分) 对 于 数 列 A: a ? N ,? i 1, 2,, 3)定 义 “ T 变 换 ” : T 将 数 列 A 变 换 成 数 列 1, a 2, a 3 ( ia , 其中 bi ? | ai ? ai ?1 | (i ? 1, 2) , 且 b3 ? | a 这种“ T 变换”记作 B ? T ( A) 。 B: b 1,b 2,b 3 3 ? 1a | 。 继续对数列 B 进行“ T 变换”, 得到数列 C : c1 , c2 , c3 , 依此类推, 当得到的数列各项均为 0 时 变换结束。 (1)试问 A : 2, 6, 4 经过不断的“ T 变换”能否结束?若能,请依次写出经过“ T 变换”得到的 各数列;若不能,说明理由; (2)设 A : a1, a2, a3 , B ? T ( A) 。若 B : b,2, a ( a ? b) ,且 B 的各项之和为 20。求 a , b ; (3)在(2)的条件下,若数列 B 再经过 k 次“ T 变换”得到的数列各项之和最小,求 k 的最 小值,并说明理由。

上海市八校 2013 届联合调研考试数学(文)参考答案

B

(3)


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