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选修1-2


1.分类变量

复习

变量的不同取“值”表示个体所属的不同 类别,这类变量称为分类变量

2.列联表:
设有两个分类变量X和Y它们的值域分别为{x1,x2}和 {y1,y2}其样本频数列表为 y1 x1 x2
总计 a c a+c

y2
b d b+d
<

br />总计 a+b c+d a+b+c+d

称为2×2列联表

反证法原理与独立性检验原理
在假设H0下,如果 推出一个矛盾, 就证明了H0不成 立.
在假设H0 下,如果 出现一个与H0相 矛盾的小概率事 件,就推断H0 不 成立,且该推断 犯错误的概率不 超过这个小概率.

3.利用随机变量K2来确定在多大程度上可以认 为”两个分类变量有关系”的方法称为两个分 类变量的独立性检验.(为假设检验的特例) (1)提出假设H0 :两个分类变量没有关系; 2 k (2)根据2× 2列联表与公式计算 的值;

n(ad - bc) K = (a + b)(c + d)(a + c)(b + d)
2

2

(3)查对临界值,作出判断。 由于抽样的随机性,由样本得到的推断 2 k 有可能正确,也有可能错误。利用 进 行独立性检验,可以对推断的正确性的概 率作出估计,样本量n越大,估计越准确。

P( K 2 ? k )

0.50 0.455

0.40 0.708

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k

(1)如果k ? 10.828, 就有99.9%的把握认为" X 与Y 有关系" (2)如果k ? 7.879, 就有99.5%的把握认为" X 与Y 有关系" (3)如果k ? 6.635, 就有99%的把握认为" X 与Y 有关系" (4)如果k ? 5.024, 就有97.5%的把握认为" X 与Y 有关系" (5)如果k ? 3.841, 就有95%的把握认为" X 与Y 有关系" (6)如果k ? 2.706, 就有90%的把握认为" X 与Y 有关系" (7)如果k ? 2.706, 就认为没有充分的证据显示 " X 与Y
有关系"

例 1. 在某医院 , 因为患心脏病而住院的 665
名男性病人中 , 有 214 人秃顶 , 而另外 772 名 不是因为患心脏病而住院的男性病人中有 175 人秃顶 . 分别利用图形和独立性检验方 法判断是否有关 ?你所得的结论在什么范围 内有效? 患心脏病 患其他病 总计
秃顶 214 175 389

不秃顶 总计
600 500 400 300 200 100 0 秃顶

451 665

597 772

1048 1437

患心脏病 患其他病 患其他病 患心脏病 不秃顶

相应的三维柱形图如下:
600 500 400 300 200 100 0 秃顶 不秃顶 患其他病 患心脏病 患心脏病 患其他病

比较来说,副对角线上两个柱体高度的乘积要大一些, 因此可以在某种程度上认为”秃顶与患心脏病有关”

解:根据题目所得数据得到列联表:
秃顶与患心脏病列联表 患心脏病 214 451 665 患其他病 175 597 772 总计 389 1048 1437

秃顶 不秃顶 总计

根据列联表中的数据, 得K 2的观测值为 1437 ? ? 214 ? 597 ? 175 ? 451? k? ? 16.373 ? 6.635 389 ?1048 ? 665 ? 772
2

所以有99%的把握认为”秃顶与患心脏病有关”

例2.在研究某种新药对小白兔的防治效果时,得到下表 数据:
未用新药 用新药 总计

存活数 101
129 230

死亡数 38
20 58

总计 139
149 288

试分析新药对防治小白兔是否有效?

288 ? ?101? 20 ? 38 ?129 ? k? ? 8.658 ? 7.879 139 ?149 ? 230 ? 58
2

99.5%的把握判定新药对防治小白兔是有效的.

?.为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的
关系,在某城市的某校高中生中随机抽取300名学生, 得到如下列联表:
性别与喜欢数学课程列联表: 男 女 总计 喜欢数学课程 37 35 72 不喜欢数学课程 85 143 228 总计 122 178 300

由表中数字计算K2的观测值,在多大程度上可以认为 高中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系? 为什么? k≈4.513

有95%的把握认为”性别与是否喜欢数学课程之间有关系

独立性检验
第一步:提出假设H0 :两个分类变量没有关系;
第二步: 列联表
第三步:计算K2的值---观测值k

卡方统计量

n(ad ? bc) K ? , (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2 2

其中n ? a ? b ? c ? d为样本容量。
第四步:查临界值表

临界值表

第五步:下结论

P(k≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828


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