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复习学案10抽象函数


学案十
一、 知识要求:

抽象函数

读不在三更五鼓,功只怕一曝十寒
2、抽象函数的奇偶性的判断方法——定义法 4、抽象函数的对称性 三、典例分析:

姓名:

1、抽象函数的单调性判断方法——定义法 3、抽象函数的周期性的判断方法——定义法 注意事项: 1、定义域优先考虑

/>
例 1 、 已 知 定 义 在 区 间 0, ) 的 函 数 ( +? 上

f ( x) 满 足 f (

x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 且 当 x ? 1 时 , x2

2、奇函数在其对称区间上具有相同的单调性,偶函数在其对称区间上具有相反的单调性. 3、函数的周期性 (1)对于函数 f(x),如果存在 ,使得当 x 取 时, 都成立,那么就把函数 y=f(x) 也是他的一个周期, 其中最小的一个正

f ( x) ? 0 。 (1)求 f (1) 的值。 (2)判断 f ( x ) 的单调性(3)若 f (3) ? ?1 ,求 f ( x ) 在 [2,9] 上的最
小值。

叫做周期函数。对于一个周期函数来说 T 是他的一个周期,则 数叫做

? 0 ),则 f(x)的周期为 (3)如果 y=f(x)满足 f ( x ? a ) ? 1 / f (x) 则 f(x)的周期为 4、若对 ?x ? R, f (a ? x) ? f (a ? x), 则 f ( x ) 关于____________对称 若对 ?x ? R, f (a ? x) ? ? f (a ? x), 则 f ( x ) 关于____________对称
(2)如果 y=f(x)满足 f(x+a)=-f(x)( a 二、课前练习: 1、若 f(x)为(-∞,+∞)上的减函数,a∈R,则( A.f(a)<f(2a) B.f(a )<f(a) 2、设函数 f(x)是减函数,且满足 A. (??,1) 3、设 A.3 B. (1, ??)
2 2


2

C.f(a +1)<f(a) D.f(a +a)<f(a) ) 例 2、已知函数

1 f ( ) ? f (1) 的实数 x 的取值范围是( x
C. (??,0)

f ( x) 对一切 x, y ? R 都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) 。
(2)若

?(0,1)

D. (??,0) ? (1, ??) )

(1)求证:

f ( x) 是奇函数;

f (?3) ? a, 用 a 表示

f (12)

,则 f ( x) 为定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 x ? 2 x ? b ( b 为常数) f (?1) =( B.1 C. ?1 D.-3

4、若函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,f(1)= A.0 B.1 C.

1 ,f(x+2)=f(x)+f(2),则 f(5)=( 2
D.5



5 2

5、定义在 R 上的奇函数

f (x ) 对任意 x ? R 都有 f ( x ) ? f ( x ? 4) ,当 x ? (?2,0) 时, f ( x ) ? 2 x ,则
) C.2 D. ? 2

f (2012 ) ? f (2011) 的值为( 1 1 A. ? B. 2 2

例 3. 设 时,

f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x ,恒满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,当 x ? ?2,0

?

?

4、 设偶函数

f ( x) 对任意都有 f ( x ? 3) ? ?

(2)当 x ?[2,4] 时,求 f ( x ) 的解析式。 f ( x) ? 2 x ? x 2 (1)求证 f ( x) 是周期函数。

1 且当 x ? [?3, ?2] 时, f ( x) ? 2 x, 则 f (113.5) 的值为 f ( x)

(3)计算

f (0) ? f (1) ? f (2) ? ? ? f (2004) ? ? f (2009)

__________________________ 5、已知函数

f ( x) 是 R 上 的 偶 函 数 , 且 f (1 ? x) ? f (1 ? x), 当 x ? ? 0,1? 时 , f ( x) ? x 2 y ? f ( x) ? log5 x 的零点个数是_______________________________
(2) 判断 f(x)的奇偶性 (3) 判断 f(x)的单调性

,则函数

6、定义在 R 上的 f(x)满足:(1)对任意 x、y∈R,都有 f(x+y)=f(x)+ f(y) (2)当 x>0 时 f(x)<0 且 f(1)=-2 (1)求证: f(0)=0 (4)解不等式

f ( x 2 ? 2 x) ? f ( x) ? ?8

四、巩固练习: 1、已知函数

f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,当 x >0 时, f ? x ? ? 1 ? 2? x ,则不等式 f ? x ? < ?
B.

1 的解集是 2
7、 (选做)已知函数 y=f(x) 的对于任意的

A.

? ??, ?1?

? ??, ?1?

C.

?1, ?? ?

D.

?1, ?? ?

x, y ? R 都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? 1, 并且当 x ? 0 时,

2、已知定义在 R 上的函数 任意的 0 ? 正确的是 A. C.

y ? f (x ) 满足下列三个条件:①对任意的 x ? R 都有 f ( x ? 2) ? ? f ( x); ②对于

f ( x) ? 1

。 (1)求证

2 (2)若 f (4) ? 5 ,解不等式 f (3m ? m ? 2) ? 3 。 f ( x) 是 R 上的增函数;

x1 ? x2 ? 2 ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ), ③ y ? f ( x ? 2) 的图象关于 y 轴对称,则下列结论中,
f (4.5) ? f (7) ? f (6.5) f (7) ? f (6.5) ? f (4.5)

f (4.5) ? f (6.5) ? f (7) f (7) ? f (4.5) ? f (6.5)

B. D.

3、

f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,当 x ? 0 时 f ( x) ? xf ?( x) ? 0 且 f (?4) ? 0 ,则不等式 xf ( x) ? 0 的解
集为( ) B. (?4,0) ? (0,4) C. (??,?4) ? (4,??) D. (??,?4) ? (0,4)

A. (?4,0) ? (4,??)


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