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2017高考一轮复习 导数综合复习题

时间:2016-08-20


2017 高考复习导数 1。
一.选择题(共 26 小题) 1. (2015?福建模拟)如图所示是某一容器的三视图,现向容器中匀速注水,容器中水面的 高度 h 随时间 t 变化的可能图象是( )

A.

B.

C.

D. )

2. (2015 秋?湖北期中) 已知

函数 y=f (1﹣x) 的图象如图所示, 则 y=f (1+x) 的图象为 (

A.

B.

C.

D.

3. (2015 秋?水富县校级月考)直角梯形 OABC,直线 x=t 左边截得面积 S=f(t)的图象大 致是( )

第 1 页(共 22 页)

A.

B.

C.

D. )

4. (2014?河东区一模) 若方程 f (x) ﹣2=0 在 (﹣∞, 0) 内有解, 则 y=f (x) 的图象是 (

A.

B.

C.

D. 5. (2014?东湖区校级三模)如图,在正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AA1=2,AB=1,M、 N 分别在 AD1,BC 上移动,并始终保持 MN∥平面 DCC1D1,设 BN=x,MN=y,则函数 y=f (x)的图象大致是( )

A.

B.

C.

D. )

6. (2014?河南模拟) 函数 ( f x) =xcosx 的导函数 f( ′ x) 在区间[﹣π, π]上的图象大致是 (

A.

B.

C.
第 2 页(共 22 页)

D.

7. (2014?安阳一模)已知 f(x)= ( )

,则下列叙述中不正确的一项是

A.

f(x﹣1)的图象 B.

|f(x)|的图象 C.

f(﹣x)的图象 D. f(|x|)的图象 8. (2014 春?三亚校级期末)给定一组函数解析式:① ④ ;⑤ ;⑥ ) ;⑦ ;② ;③ ;

,如图所示一组函数图象.图象对应的解

析式号码顺序正确的是(

第 3 页(共 22 页)

A.⑥③④②⑦①⑤B.⑥④②③⑦①⑤C.⑥④③②⑦①⑤D.⑥④③ ②⑦⑤① 9. (2013 秋?历下区校级期中)在下列各图中,y=ax +bx 与 y=ax+b(ab≠0)的图象只可能 是( )
2

A.

B.

C.

D.
2

10. (2013?东坡区校级一模)函数 f(x)=log2|x|,g(x)=﹣x +2,则 f(x)?g(x)的图 象只可能是( )

A.

B.

C.

D. ,则下列关于函数 y=f(f(x) )+1

11. (2012?安徽模拟)已知函数 f(x)= 的零点个数的判断正确的是( ) A.当 a>0 时,有 4 个零点;当 a<0 时,有 1 个零点 B.当 a>0 时,有 3 个零点;当 a<0 时,有 2 个零点 C.无论 a 为何值,均有 2 个零点 D.无论 a 为何值,均有 4 个零点 12. (2016 春?双鸭山校级期中) 设函数 ( f x) 可导, 则

等于 (



A.f′(1)B.3f′(1)C.

D.f′(3)

13. (2016 春?郑州校级期中)若函数 y=f(x)在区间(a,b)内可导,且 x0∈(a,b) ,则

的值为(


第 4 页(共 22 页)

A.f′(x0)B.2f′(x0)C.﹣2f′(x0)D.0 2 14. (2016 春?沈丘县期中)一个物体的运动方程为 s=1﹣t+t 其中 s 的单位是米,t 是单位 是秒,那么物体在 3 秒末的瞬时速度是( ) A.7 米/秒 B.6 米/秒 C.5 米/秒 D.8 米/秒 15. (2016 春?海淀区期中)若小球自由落体的运动方程为 s(t)= (g 为常数) ,该小 )

球在 t=1 到 t=3 的平均速度为 ,在 t=2 的瞬时速度为 v2,则 和 v2 关系为( A. >v2B. <v2C. =v2D.不能确定 16. (2015 春?山西校级月考)已知 f(x)= =( ) A.2015B.﹣2015C.2016D.﹣2016 17. (2015 春?兰山区期中)函数 y=xcosx﹣sinx 的导数为( A.xsinxB.﹣xsinxC.xcosxD.﹣xcosx 18. (2013 秋?沈阳期末)函数 f(x)= ?sinx 的导数为( A.f′(x)=2 C.f′(x)=2 ?cosxB.f′(x)= ?cosxD.f′(x)= ?cosx ?cosx

,则 f′(2015)

) )

19. (2013 春?抚顺县期中)在等比数列{an}中,a1=2,a4=8,函数 f(x)=x(x﹣a1) (x﹣ a2)…(x﹣a4) ,则 f′(0)=( ) 0 4 8 A.0B.2 C.2 D.2 20. (2011?湖南模拟)函数 f1(x)=cosx﹣sinx,记 f2(x)=f1′(x) ,f3(x)=f2′(x) ,…fn (x)=fn﹣1′(x) , (n∈N ,n≥2) ,则 A. B. C.0D.2008 )
*

=(



21. (2016 春?红桥区期中)下列函数求导运算正确的有( x x ①(3 )′=3 log3e; ②(log2x)′= ③(e )′=e ; ④(
x x x



)′=x;
x

⑤(x?e )=e (1+x) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 22. (2016?榆林二模)设曲线 ( ) D.﹣2 在点(3,2)处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直,则 a=

A.2B. C.

23. (2015 秋?陕西校级期末)已知函数 y=f(x)的图象如图,则 f′(xA)与 f′(xB)的大 小关系是( )

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A.f′(xA)>f′(xB)B.f′(xA)<f′(xB)C.f′(xA)=f′(xB)D.不能确定 24. (2014?郑州一模)已知曲线 ( ) 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为

A.3B.2C.1D. 25. (2014?上海二模)已知 f(x)=alnx+ x (a>0) ,若对任意两个不等的正实数 x1,x2,
2

都有

>2 恒成立,则 a 的取值范围是(



A. (0,1]B. (1,+∞)C. (0,1)D.[1,+∞) 26. (2014 春?宜城市校级期中)已知点 P 在曲线 y= 倾斜角,则 α 的取值范围是( A. (0, ]B.[ , )C. ( ) , ]D.[ ,π) 上,α 为曲线在点 P 处的切线的

二.选择题(共 4 小题) 27. (2012?长宁区二模)设定义域为 R 的函数 数 y=2f (x)﹣3f(x)+1 的零点的个数为 28. (2015?内江四模)已知 的个数为 个. ,则 f(f(2) )= ,
2

若关于 x 的函 . ,则函数 y=2f (x)﹣3f(x)+1 的零点
2

29. (2015?宁波模拟)设函数 f(x)=

函数 y=f(f(x) )的零点个数为 . 30.已知 f(x)=x(2015+lnx) ,若 f″(x0)=2016,则 x0=



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2017 高考复习导数 1。
参考答案与试题解析

一.选择题(共 26 小题) 1. (2015?福建模拟)如图所示是某一容器的三视图,现向容器中匀速注水,容器中水面的 高度 h 随时间 t 变化的可能图象是( )

A.

B.

C.

D.

【分析】 根据几何体的三视图确定几何体的形状是解决本题的关键, 可以判断出该几何体是 圆锥,下面细上面粗的容器,判断出高度 h 随时间 t 变化的可能图象. 【解答】解:该三视图表示的容器是倒放的圆锥,下面细,上面粗, 随时间的增加,可以得出高度增加的越来越慢. 刚开始高度增加的相对快些.曲线越“竖直”,之后,高度增加的越来越慢,图形越平稳. 故选 B. 【点评】本题考查函数图象的辨别能力,考查学生对两变量变化趋势的直观把握能力,通过 曲线的变化快慢进行筛选,体现了基本的数形结合思想. 2. (2015 秋?湖北期中) 已知函数 y=f (1﹣x) 的图象如图所示, 则 y=f (1+x) 的图象为 ( )

A.

B.

C.

D.

【分析】带入特殊点即可选出答案. 【解答】解:因为 y=f(1﹣x)的图象过点(1,a) , 所以 f(0)=a,
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所以 y=f(1+x)的图象过点(﹣1,a) . 故选 B. 【点评】本题考查了函数图象变换,是基础题. 3. (2015 秋?水富县校级月考)直角梯形 OABC,直线 x=t 左边截得面积 S=f(t)的图象大 致是( )

A.

B.

C.

D.

【分析】本题考查的是函数的图象和分段函数的综合类问题.在解答的过程当中,首先应该 直线 l 的运动位置分析面积的表达形式,进而得到分段函数: 后分情况即可获得问题的解答. 【解答】解:由题意可知:当 0<t≤1 时, 当 1<t≤2 时, ; , 然

所以



当 0<t≤1 时,函数的图象是一段抛物线段;当 1<t≤2 时,函数的图象是一条线段. 结合不同段上函数的性质,可知选项 C 符合. 故选 C. 【点评】 本题考查的是函数的图象和分段函数的综合类问题. 在解答的过程当中充分体现了 分段函数的知识、分类讨论的思想以及函数图象的知识.值得同学们体会和反思. 4. (2014?河东区一模) 若方程 f (x) ﹣2=0 在 (﹣∞, 0) 内有解, 则 y=f (x) 的图象是 ( )

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A.

B.

C.

D. 【分析】根据方程 f(x)﹣2=0 在(﹣∞,0)内有解,转化为函数 f(x)的图象和直线 y=2 在(﹣∞,0)上有交点. 【解答】解:A:与直线 y=2 的交点是(0,2) ,不符合题意,故不正确; B:与直线 y=2 的无交点,不符合题意,故不正确; C:与直线 y=2 的在区间(0,+∞)上有交点,不符合题意,故不正确; D:与直线 y=2 在(﹣∞,0)上有交点,故正确. 故选 D. 【点评】考查了识图的能力,体现了数形结合的思想,由方程的零点问题转化为函数图象的 交点问题,体现了转化的思想方法,属中档题. 5. (2014?东湖区校级三模)如图,在正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AA1=2,AB=1,M、 N 分别在 AD1,BC 上移动,并始终保持 MN∥平面 DCC1D1,设 BN=x,MN=y,则函数 y=f (x)的图象大致是( )

A.

B.

C.

D.

【分析】 由 MN∥平面 DCC1D1, 我们过 M 点向 AD 做垂线, 垂足为 E, 则 ME=2AE=2BN, 由此易得到函数 y=f(x)的解析式,分析函数的性质,并逐一比照四个答案中的图象,我 们易得到函数的图象. 【解答】解:若 MN∥平面 DCC1D1,
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则|MN|=

=

即函数 y=f(x)的解析式为 f(x)= (0≤x≤1)

其图象过(0,1)点,在区间[0,1]上呈凹状单调递增 故选 C 【点评】本题考查的知识点是线面平行的性质,函数的图象与性质等,根据已知列出函数的 解析式是解答本题的关键. 6. (2014?河南模拟) 函数 ( f x) =xcosx 的导函数 f( ′ x) 在区间[﹣π, π]上的图象大致是 ( )

A.

B.

C.

D.

【分析】 判断一个函数在定区间上的图象形状, 我们可以根据函数的解析式分析函数的性质, 由函数 f(x)=xcosx 的解析式,我们求出导函数 f′(x)的解析式,将 x=0 代入,判断是否 经过原点,可以排除到两个答案,再利用导函数的最值,对剩余的两个答案进行判断,即可 得到答案. 【解答】解:∵f(x)=xcosx, ∴f‘(x)=xcosx=cosx﹣xsinx, ∵f‘(0)=1,可排除 C、D; 又∵f‘(x)在 x=0 处取最大值; 故排除 B 故选 A 【点评】本题考查的知识点是函数的图象与图象的变化,其中分析函数的性质,及不同性质 在图象上的表现是解答本题的关键.

7. (2014?安阳一模)已知 f(x)= ( )

,则下列叙述中不正确的一项是

A.

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f(x﹣1)的图象 B.

|f(x)|的图象 C.

f(﹣x)的图象 D. f(|x|)的图象 【分析】作出函数 f(x)的图象,利用函数与 f(x)之间的关系即可得到结论. 【解答】解:作出函数 f(x)的图象如图: A.将 f(x)的图象向右平移一个单位即可得到 f(x﹣1)的图象,则 A 正确. B.∵f(x)>0,∴|f(x)|=f(x) ,图象不变,则 B 错误. C.y=f(﹣x)与 y=f(x)关于 y 轴对称,则 C 正确. D.f(|x|)是偶函数,当 x≥0,f(|x|)=f(x) ,则 D 正确, 故错误的是 B, 故选:B

【点评】本题主要考查函数图象之间的关系的应用,比较基础.

8. (2014 春?三亚校级期末)给定一组函数解析式:① ④ ;⑤ ;⑥ )
第 11 页(共 22 页)

;②

;③



;⑦

,如图所示一组函数图象.图象对应的解

析式号码顺序正确的是(

A.⑥③④②⑦①⑤B.⑥④②③⑦①⑤C.⑥④③②⑦①⑤D.⑥④③ ②⑦⑤① 【分析】分别判断每一个幂函数的性质,即可得到对应的函数图象关系. 【解答】解:观察前三个图象,由于在第一象限内,函数值随 x 的增大而减小,知幂指数应 小于零,其中第一个函数图象关于原点对称, 第二个函数图象关于 y 轴对称,而第三个函数的定义域为 x>0, 因此,第一个图象应对应函数 ,第三个图象对应 ;

后四个图象都通过(0,0)和(1,1)两点,故知幂指数应大于 0, 第四个图象关于 y 轴对称,第五个图象关于原点对称,定义域都是 R, 因此,第四个图象对应函数 ;第五个图象对应 ,

由最后两个图象知函数定义域为 x≥0,而第六个图象呈上凸状,幂指数应小于 1,第七个图 象呈下凹状,幂指数应大于 1,故第六个图象对应 第七个图象对应 . ,

故选:C. 【点评】本题主要考查幂函数的图象和性质,比较基础. 9. (2013 秋?历下区校级期中)在下列各图中,y=ax +bx 与 y=ax+b(ab≠0)的图象只可能 是( )
2

A.

B.
2

C.

D.

【分析】 要分析满足条件的 y=ax +bx 与 y=ax+b (ab≠0) 的图象情况, 我们可以使用排除法, 由二次项系数 a 与二次函数图象开口方向及一次函数单调性的关系,可排除 A,C;由二次 函数常数项 c 为 0,函数图象过原点,可排除 B. 【解答】解:在 A 中,由二次函数开口向上,故 a>0 故此时一次函数应为单调递增,故 A 不正确; 2 在 B 中,由 y=ax +bx,则二次函数图象必过原点 故 B 也不正确;
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在 C 中,由二次函数开口向下,故 a<0 故此时一次函数应为单调递减,故 C 不正确; 故选 D. 【点评】根据特殊值是特殊点代入排除错误答案是选择题常用的技巧,希望大家熟练掌握. 10. (2013?东坡区校级一模)函数 f(x)=log2|x|,g(x)=﹣x +2,则 f(x)?g(x)的图 象只可能是( )
2

A.

B.

C.

D.

【分析】要判断 f(x)?g(x) ,我们可先根据函数奇偶性的性质,结合 f(x)与 g(x)都 是偶函数,则 f(x)?g(x)也为偶函数,其函数图象关于 Y 轴对称,排除 A,D;再由函 数的值域排除 B,即可得到答案. 【解答】解:∵f(x)与 g(x)都是偶函数, ∴f(x)?g(x)也是偶函数,由此可排除 A、D. 又由 x→+∞时,f(x)?g(x)→﹣∞,可排除 B. 故选 C 【点评】要判断复合函数的图象,我们可以利用函数的性质,定义域、值域,及根据特殊值 是特殊点代入排除错误答案是选择题常用的技巧,希望大家熟练掌握.

11. (2012?安徽模拟)已知函数 f(x)=

,则下列关于函数 y=f(f(x) )+1

的零点个数的判断正确的是( ) A.当 a>0 时,有 4 个零点;当 a<0 时,有 1 个零点 B.当 a>0 时,有 3 个零点;当 a<0 时,有 2 个零点 C.无论 a 为何值,均有 2 个零点 D.无论 a 为何值,均有 4 个零点 【分析】因为函数 f(x)为分段函数,函数 y=f(f(x) )+1 为复合函数,故需要分类讨论, 确定函数 y=f(f(x) )+1 的解析式,从而可得函数 y=f(f(x) )+1 的零点个数 【解答】解:分四种情况讨论. (1)x>1 时,log2x>0,∴y=f(f(x) )+1=log2(log2x)+1,此时的零点为 (2)0<x<1 时,log2x<0,∴y=f(f(x) )+1=alog2x+1,则 a>0 时,有一个零点,a<0 时,没有零点, 2 (3)若 x<0,ax+1≤0 时,y=f(f(x) )+1=a x+a+1,则 a>0 时,有一个零点,a<0 时, 没有零点, (4)若 x<0,ax+1>0 时,y=f(f(x) )+1=log2(ax+1)+1,则 a>0 时,有一个零点,a <0 时,没有零点, 综上可知,当 a>0 时,有 4 个零点;当 a<0 时,有 1 个零点 故选 A

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【点评】本题考查分段函数,考查复合函数的零点,解题的关键是分类讨论确定函数 y=f(f (x) )+1 的解析式.

12. (2016 春?双鸭山校级期中) 设函数 ( f x) 可导, 则

等于 (



A.f′(1)B.3f′(1)C. 【分析】利用导数的定义即可得出. 【解答】解:

D.f′(3)

=

=



故选 C. 【点评】本题考查了导数的定义,属于基础题. 13. (2016 春?郑州校级期中)若函数 y=f(x)在区间(a,b)内可导,且 x0∈(a,b) ,则

的值为(



A.f′(x0)B.2f′(x0)C.﹣2f′(x0)D.0 【分析】由题意,根据导数的定义,可知 f′(x0)= 出结论. 【解答】解:由题意,根据导数的定义,可知 f′(x0)= , ,即可得



=2f′(x0) ,

故选 B. 【点评】本题主要考查导数的定义,考查函数的极限,比较基础. 14. (2016 春?沈丘县期中)一个物体的运动方程为 s=1﹣t+t 其中 s 的单位是米,t 是单位 是秒,那么物体在 3 秒末的瞬时速度是( ) A.7 米/秒 B.6 米/秒 C.5 米/秒 D.8 米/秒 【分析】求导数,把 t=3 代入求得导数值即可. 2 【解答】解:∵s=1﹣t+t ,∴s′=﹣1+2t, 把 t=3 代入上式可得 s′=﹣1+2×3=5 由导数的意义可知物体在 3 秒末的瞬时速度是 5 米/秒, 故选 C 【点评】本题考查导数的意义,瞬时速度即为此处的导数值,属基础题.
2

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15. (2016 春?海淀区期中)若小球自由落体的运动方程为 s(t)=

(g 为常数) ,该小 )

球在 t=1 到 t=3 的平均速度为 ,在 t=2 的瞬时速度为 v2,则 和 v2 关系为( A. >v2B. <v2C. =v2D.不能确定 【分析】求函数的导数,根据导数的物理意义进行求解即可. 【解答】解:平均速度为 = ∵s(t)= ∴s′(t)=gt, t=2 的瞬时速度为 v2, ∴v2=s′(2)=g×2=2g, ∴ =v2 故选:C. 【点评】本题主要考查导数的计算和函数的变化率,比较基础. , = =2g,

16. (2015 春?山西校级月考)已知 f(x)=

,则 f′(2015)

=( ) A.2015B.﹣2015C.2016D.﹣2016 【分析】对函数 f(x)的解析式求导,得到其导函数,把 x=2015 代入导函数中,列出关于 f'(2015)的方程,进而得到 f'(2015)的值 【解答】解:求导得:f′(x)=x+2f′(2015)+ 令 x=2015,得到 f′(2015)=2015+2f′(2015)+1, 解得:f′(2015)=﹣2016, 故选:D. 【点评】本题考查了导数的运算,以及函数的值.运用求导法则得出函数的导函数,属于基 础题 17. (2015 春?兰山区期中)函数 y=xcosx﹣sinx 的导数为( ) A.xsinxB.﹣xsinxC.xcosxD.﹣xcosx 【分析】直接利用积的求导法则进行计算,其中 x′=1,sin′x=cosx,cos'x=﹣sinx 【解答】解:y′=(xcosx)′﹣(sinx)' =(x)′cosx+x(cosx)′﹣cosx =cosx﹣xsinx﹣cosx =﹣xsinx. 故选 B. 【点评】计算时对基本函数的求导公式和法则的掌握是做题的关键. 18. (2013 秋?沈阳期末)函数 f(x)= A.f′(x)=2 ?sinx 的导数为( ?cosx )

?cosxB.f′(x)=
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C.f′(x)=2

?cosxD.f′(x)=

?cosx

【分析】利用导数的乘法法则(uv)′=u′v+uv′计算出即可. 【解答】解:∵( ∴f′(x)=( = 故选 B. 【点评】熟练掌握导数的运算法则是解题的关键. 19. (2013 春?抚顺县期中)在等比数列{an}中,a1=2,a4=8,函数 f(x)=x(x﹣a1) (x﹣ a2)…(x﹣a4) ,则 f′(0)=( ) 0 4 8 A.0B.2 C.2 D.2 【分析】由题意可得函数 f(x)展开式是一个关于 x 的多项式,共有 5 项,x 的幂指数最高 为 5,x 的幂指数最低为 1, 且含 x 的系数为 a1a2 a3a4,从而求得 f′(0)=a1a2a3a4= 的值. )′= , (sinx)′=cosx, ×cosxx

)′×sinx+

【解答】解:在等比数列{an}中,a1=2,a4=8,∴a1a4=a2a3=16. 函数 f(x)展开式是一个关于 x 的多项式,共有 9 项,x 的幂指数最高为 5,x 的幂指数最 低为 1, 且含 x 的系数为 a1a2…a4, 故 f′(0)=a1a2a3a4= =16 =2 ,
2 8

故选 D. 【点评】本题主要考查等比数列的性质,求函数的导数,以及求函数值,属于中档题. 20. (2011?湖南模拟)函数 f1(x)=cosx﹣sinx,记 f2(x)=f1′(x) ,f3(x)=f2′(x) ,…fn (x)=fn﹣1′(x) , (n∈N ,n≥2) ,则 A. B. C.0D.2008
*

=(



【分析】先求出 f2(x) 、f3(x) 、f4(x) ,观察所求的结果,归纳其中的周期性规律,求解 即可. 【解答】解:由题意,f2(x)=f1′(x)=﹣sinx﹣cosx f3(x)=f2′(x)=﹣cosx+sinx, f4(x)=(﹣cosx+sinx)′=sinx+cosx, f5(x)=cosx﹣sinx, 以此类推,可得出 fn(x)=fn+4(x) 又∵f1(x)+f2(x)+f3(x)+f4(x)=0, ∴ = =﹣
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故选 B. 【点评】本题以三角函数为载体,考查三角函数的导数、周期性、及观察归纳思想的运用, 解题的关键是判断出函数导数变化的周期性. . 21. (2016 春?红桥区期中)下列函数求导运算正确的有( x x ①(3 )′=3 log3e; ②(log2x)′= ③(e )′=e ; ④(
x x x





)′=x;
x

⑤(x?e )=e (1+x) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【分析】根据(a )′=a lna, (loga )′= 【解答】解:①(3 )′=3 ln3,故错误; ②(log2x)′=
x x x x x x x

, (lnx)′= 即可作出判断.

,故正确;

③(e )'=e ,故正确; ④(
x

)′=﹣
x x

,故错误;

⑤(x?e )′=e +x?e ,故正确. 故选:C. 【点评】本题考查了导数的运算法则,熟练掌握公式是解题的关键,本题是一道基础题. 22. (2016?榆林二模)设曲线 ( ) D.﹣2 在点(3,2)处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直,则 a=

A.2B. C.

【分析】 (1)求出已知函数 y 在点(3,2)处的斜率; (2)利用两条直线互相垂直,斜率之间的关系 k1?k2=﹣1,求出未知数 a. 【解答】解:∵y= ∴y′=﹣

∵x=3∴y′=﹣ 即切线斜率为﹣ ∵切线与直线 ax+y+1=0 垂直 ∴直线 ax+y+1=0 的斜率为﹣a. ∴﹣ ?(﹣a)=﹣1 得 a=﹣2 故选 D. 【点评】函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数的几何意义,就是曲线 y=f(x)在点 P(x0,y0) 处的切线的斜率,过点 P 的切线方程为:y﹣y0=f′(x0) (x﹣x0)
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23. (2015 秋?陕西校级期末)已知函数 y=f(x)的图象如图,则 f′(xA)与 f′(xB)的大 小关系是( )

A.f′(xA)>f′(xB)B.f′(xA)<f′(xB)C.f′(xA)=f′(xB)D.不能确定 【分析】根据导数的几何意义,判断在 A,B 两处的切线斜率即可得到结论. 【解答】解:由图象可知函数在 A 处的切线斜率小于 B 处的切线斜率, ∴根据导数的几何意义可知 f′(xA)<f′(xB) , 故选:B. 【点评】 本题主要考查导数的几何意义, 根据导数和切线斜率之间的关系是解决本题的关键, 比较基础.

24. (2014?郑州一模)已知曲线 ( )

的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为

A.3B.2C.1D. 【分析】根据斜率,对已知函数求导,解出横坐标,要注意自变量的取值区间. 【解答】解:设切点的横坐标为(x0,y0) ∵曲线 的一条切线的斜率为 ,

∴y′=



= ,解得 x0=3 或 x0=﹣2(舍去,不符合题意) ,即切点的横坐标为 3

故选 A. 【点评】 考查导数的几何意义, 属于基础题, 对于一个给定的函数来说, 要考虑它的定义域. 比 如,该题的定义域为{x>0}. 25. (2014?上海二模)已知 f(x)=alnx+ x (a>0) ,若对任意两个不等的正实数 x1,x2,
2

都有

>2 恒成立,则 a 的取值范围是(



A. (0,1]B. (1,+∞)C. (0,1)D.[1,+∞)

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【分析】先将条件“对任意两个不等的正实数 x1,x2,都有

>2 恒成立”转

换成当 x>0 时,f'(x)≥2 恒成立,然后利用参变量分离的方法求出 a 的范围即可. 【解答】解:对任意两个不等的正实数 x1,x2,都有 则当 x>0 时,f'(x)≥2 恒成立 f'(x)= +x≥2 在(0,+∞)上恒成立 则 a≥(2x﹣x )max=1 故选 D. 【点评】本题主要考查了导数的几何意义,以及函数恒成立问题,同时考查了转化与划归的 数学思想,属于基础题.
2

>2 恒成立

26. (2014 春?宜城市校级期中)已知点 P 在曲线 y= 倾斜角,则 α 的取值范围是( A. (0, ]B.[ , )C. ( ) , ]D.[

上,α 为曲线在点 P 处的切线的

,π)

【分析】先根据导数运算对函数进行求导,再由切线斜率的值等于该点导函数的值,可求得 切线斜率的范围,进而可得到倾斜角 α 的范围. 【解答】解:∵y= ,

∴y′=

=





∵α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角, ∴tanα≤ , ∴0<α≤ .

故选:A. 【点评】本题主要考查函数的求导运算和导数的几何意义,属于基础题. 二.选择题(共 4 小题) 27. (2012?长宁区二模)设定义域为 R 的函数 数 y=2f (x)﹣3f(x)+1 的零点的个数为 7 .
2

若关于 x 的函

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【分析】题中关于 x 的函数 y=2f (x)﹣3f(x)+1 的零点问题,即要求方程 2f (x)﹣3f (x)+1=0 的解的个数,对应于函数 f(x)=1 或 f(x)= 的解的个数.故先根据题意作出 f(x)的简图,由图可知,函数 f(x)=1 或 f(x)= 的解的个数,可以得出答案. 【解答】解:根据题意,令 2f (x)﹣3f(x)+1=0 得 f(x)=1 或 f(x)= . 作出 f(x)的简图:
2

2

2

由图象可得当 f(x)=1 或 f(x)= 时,分别有 3 个和 4 个交点, 若关于 x 的函数 y=2f (x)﹣3f(x)+1 的零点的个数为 7. 故答案为:7. 【点评】本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识,属于难题,采用数形结合 的方法解决,使本题变得易于理解.数形结合是数学解题中常用的思想方法,能够变抽象思 维为形象思维,有助于把握数学问题的本质;另外,由于使用了数形结合的方法,很多问题 便迎刃而解,且解法简捷.
2

28. (2015?内江四模)已知

,则函数 y=2f (x)﹣3f(x)+1 的零点

2

的个数为 5 个. 2 【分析】原问题可转化为求方程 2f (x)﹣3f(x)+1=0 的解的个数,根据题意作出 f(x) 的简图,结合图象分析即可以得出答案. 2 【解答】解:根据题意,令 2f (x)﹣3f(x)+1=0, 解得得 f(x)=1 或 f(x)= ,作出 f(x)的简图: 由图象可得当 f(x)=1 或 f(x)= 时,分别有 3 个和 2 个交点, 若关于 x 的函数 y=2f (x)﹣3f(x)+1 的零点的个数为 5.
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2

故答案为:5.

【点评】 本题考查函数的图象与一元二次方程根的分布的知识, 采用数形结合的方法是解决 问题的关键,属中档题,

29. (2015?宁波模拟)设函数 f(x)=

,则 f(f(2) )=

0 ,函数 y=f

(f(x) )的零点个数为 5 . 2 【分析】由题意先求 f(2)=﹣2 +2=﹣2,再求 f(f(2) )=f(﹣2)即可; 解 f(x)=0 得 x=﹣2,x=0 或 x=1;故 f(f(x) )=0 可化为 f(x)=﹣2,f(x)=0 或 f(x) =1;从而确定函数零点的个数. 【解答】解:∵f(2)=﹣2 +2=﹣2, ∴f(f(2) )=f(﹣2)=|﹣2+1|﹣1=0; 当 x<0 时,由 f(x)=|x+1|﹣1=0 解得, x=﹣2; 2 当 x≥0 时,由 f(x)=﹣x +x=0 解得,x=0 或 x=1; 则 f(f(x) )=0 可化为 f(x)=﹣2,f(x)=0 或 f(x)=1; 由 f(x)=﹣2 得, |x+1|﹣1=﹣2 或﹣x +x=﹣2, 解得,x=2; 由 f(x)=0 解得,x=﹣2,x=0 或 x=1; 2 由 f(x)=1 得,|x+1|﹣1=1 或﹣x +x=1; 解得,x=﹣3; 综上所述,函数 y=f(f(x) )的零点个数为 5; 故答案为:0,5. 【点评】本题考查了分段函数的应用,属于中档题.
2 2

30.已知 f(x)=x(2015+lnx) ,若 f″(x0)=2016,则 x0= 【分析】根据导数的运算法则,求导,再代指计算即可. 【解答】解:f(x)=x(2015+lnx) , ∴f′(x)=(2015+lnx)+x(2015+lnx)′=2016+lnx,
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∴f″(x)= , ∵f″(x0)=2016, ∴ ∴x0= 故答案为: =2016, , .

【点评】本题考查了导数的运算法则,属于基础题.

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