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【原创】人教2015初高中数学衔接教程:第十讲++一元二次方程


第十讲

一元二次方程

【要点归纳】 一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 1、实数根的判断 △>0 ? 方程(※)有两个不同的实数根 △= 0 ? 方程(※)有两个相同的实数根 △<0 ? 方程(※)没有实数根 2、求根公式与韦达定理 当 △≥0 时,方程(※)的实数根 x1, 2 ? 并且 x1 ? x 2 ?

? 【典例分析】 例 1、 (1)已知 2 ? 3 是方程 x ? mx ? 1 ? 0 的一个实根,求另一个根及实数 m 的值;
2

(※)

?b? ? 2a

b a

x1 x 2 ?

c a

(2)关于 x 的方程 (a 2 ? 1) x 2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 有实数根,求实数 a 的取值范围。

2 2 例 2 设实数 s,t 分别满足:19s ? 99s ? 1 ? 0 , t ? 99t ? 19 ? 0 ,并且 st ? 1 ,求

st ? 4 s ? 1 的值。 t

例 3 实数 x,y,z,满足:x+y+z=a,x2+y2+z2=

2 a2 (a>0),求证: 0 ? z ? a 3 2

例 4 求函数 y ?

2x 的最大值与最小值。 x ? x ?1
2

例 5 若关于 x 的方程 2 x ? 1 ? x ? m 有两个不同的实数根,求实数 m 的取值范围。

2 例 6 函数 f ( x) ? ax ? bx ? c ,其中 a, b, c 满足: a ? b ? c , a ? b ? c ? 0

(1)求证:方程 f ( x) ? 0 有两个不同的实数根 x1 , x2 ; (2)求 | x1 ? x2 | 的取值范围。

【反馈练习】 1、当 a,b 时,关于 x 的方程 x 2 ? 2(1 ? a) x ? (3a 2 ? 4ab ? 4b 2 ? 2) ? 0 有实数根?

a 6b 3 ? 1 2、已知 a ? 3a ? b ? 3b ? 1 ,且 a b ? 1 ,则 的值等于_______ b3
4 2 2 2

3、 设△ABC 的两边 AB 与 AC 长之和为 a, M 是 AB 的中点, MC=MA=5, 求 a 的取值范围。

4、设实数 a,b 满足: a ? ab ? b ? 1 ,求 a ? ab ? b 的取值范围。
2 2 2 2

5、求函数 y ?

x 的最值。 x ? x ?1
2

6、 若关于 x 的方程 2 x ? 1 ? x ? m 有唯一的实数根,求实数 m 的取值范围。

第十讲
【典例分析】 例 1 (1)另一个根 2 ? 3 ,m=-4 例2 -5

一元二次方程

(利用韦达定理)

(2) ? 1 ? a ?

5 3

(逆用韦达定理,构造方程)

例 3 法 1: 由 x+y+z=a,x2+y2+z2=

a2 a2 ? z 2 ? az 得:x+y =a-z,xy= 2 4

构造以 x,y 为实数根的二次方程,再利用△≥0 证得。 法 2:由 x+y+z=a,x2+y2+z2=

a2 a2 得:x2+(a-z-x)2+z2= 2 2

整理得: x ? ( z ? a) x ? (
2

a2 ? z 2 ? az) ? 0 ,再利用△≥0 证得。 4
2 2

a2 2 法 3:依题 直线 x+y+z-a=0 与圆 x +y = -z 有公共点。 2


| z?a| 2

2 a2 ? ? z 2 ,可证 0 ? z ? a 3 2 2 ;也可用不等式法。 3

例 4 (判别式法) ? 2 ? x ?

例5

法 1:令 2 x ? 1 ? t ,则 t ? 0 且 x ?

t 2 ?1 ,于是原方程化为: 2

t 2 ? 2t ? (2m ? 1) ? 0 有两个不同的非负实数根。
?? ? 4 ? 4(2m ? 1) ? 0 1 ? ? ? m ?1 故 ?t1 ? t 2 ? 2 ? 0 2 ?t t ? 2m ? 1 ? 0 ?1 2
法 2 :数形结合 例 6(1)略 【反馈练习】 1、 a ? 1, b ? ? (2)

3 ?| x1 ? x 2 |? 3 2

1 2

2、-36

3、 10 ? a ? 10 2 5、 (判别式法) [ ? ,1]

4、 [ ?3,? ]

1 3

1 3

6、数形结合 m ? 1 或 m ?

1 2


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