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第五节 函数的图像及其变换-高考状元之路


第五节

函数的图像及其变换

1

预习设计 基础备考
知识梳理
1.描点法作圈通过 2.图像变换法作图(1)平移变换: ①函数 y ? f ( x) 的图像 三个步骤画出函数的图像. 平移 a(a ? 0) 个单位得到函数 y ? f ( x ? a) 的图像, 平移 6 个单位得到.


②y ? f ( x ? b)(b ? 0) 的图像可由 y ? f ( x) 的图像向
(2)对称变换(在 f (? x) 有意义的前提下) : ①函数 y ? f (? x) 与 y ? f ( x) 的图像 ②函数 y ? ? f ( x) 与 y ? f ( x) 的图像 ③函数 y ? ? f ( x) ? hy ? f (? x) 的图像 对称; 对称; 对称;

④函数作 y ?| f ( x) | 的图像可将 y ? f ( x) 的图像在 x 轴下方的部分

,其余部分不变.

⑤作 y ? f | x | 的图像可先作出 y ? f ( x) 当 x ? 0 时的图像, 再利用偶函数的图像关于 y 轴对称, 作出 的图像. (3)伸缩变换: ①函数 y ? Af ( x)( A ? 0) 的图像,可将 y ? f ( x) 的图像上所有点的 不变而得到; ②函数 y ? f (ax)(a ? 0) 的图像,可将 y ? f ( x) 的图像上所有点的 不变而得到. 变为原来的 变为原来的 A 倍,横坐标

1 倍, a

典题热身
1.函数 f ( x) ? ln | x ? 1 | 的图像大致是 ( )

2.为了得到函数 y ? 3 ? ( ) 的图像,可以把函数 y ? ( ) 的图像(
x x

1 3

1 3

)

A.向左平移 3 个单位长度 C.向左平移 1 个单位长度
x 3.函数 y ? 5 与函数 y ? ?

B.向右平移 3 个单位长度 D.向右平移 1 个单位长度 ( ) D.直线 y-x 对称

1 的图像关于 5x

A.x 轴对称

B.y 轴对称

C.原点对称

4.设函数 y ? f ( x) 的定义域为 R,则函数 y ? f ( x ? 1) 与 y ? f (1 ? x) 的图像关于 A.直线 y=0 对称 B.直线 x-0 对称 C.直线 y=l 对称 D.直线 x-1 对称 的图像.

2

5.把函数 y ? log2 (?2 x ? 3) 的图像向左平移 1 个单位长度得到函数

课堂设计 方法备考
题型一 作图
x3 ; |x|
x?2 ; x ?1
【倒 1】作出下列函数的图像.

(1) y ?

( 2) y ?

(3) y ?| log2 x ? 1 | .

题型二 识图
【例 2】(1)(2010.山东高考)函数 y ? 2 x ? x 2 的图像大致是( )

2 (2)(2010.湖南高考)函数 y ? ax ? bx 与 y ? log |

b | x(ab ? ? 0, | a |? ? | b |) 在同一直角坐标系中的图 a

像可能是

(

)

题型三




2

【例 3】已知函数 f ( x) ?| x ? 4 x ? 3 | . (1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)求 m 的取值范围,使得方程 f ( x) ? m x 有四个不等实根.

技法巧点
(1)作函数的图像一般要将函数解析式“分解”出基本初等函数,在“分解”中认清各步的图像变换 类型与次序,最后由基本初等函数的图像和图像变换作出函数的图像. (2)函数图像的识别要多方面考虑.如:函数的定义域、值域;函数的奇偶性、单调性、最值、渐近 线等诸多方面进行分析与排除. (3)函数图像的应用主要是将函数方程根的问题或不等式解的问题转化为两个函数图像的交点或图 像间的关系问题求解.

失误防范
1.作函数的图像时,一定要注意图像的平滑性和对称性. 2.函数图像的左、右平移变换,函数的解析式中 z 的系数必须为 l,这样才能正确找到平移量. 当 x 的系 数不是 1 时,必须通过提取 x 的系数才能实现左、右平移.

随堂反馈
1. 函数 y ? f ( x) 与函数 y ? g ( x) 的图像分别如图①②所示.

3

则函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的图像可能是





2.为了得出函数 y ? lg

x?3 的图像,只需把函数 y ? lg x 的图像上所有的点 10

(

)

A.向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 B.向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 C.向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 D.向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 3.(2011.威海模拟)若方程 f(x) -2=O 在(- 1,+ 00)内有两个解,则 y ? f ( x) 的大致图像为 ( )

?| lg x |,0 ? x ? 10, ? 4. (2011. 课标全国卷)已知函数 f ( x) ? ? 1 若 a, b, c 互不相等, 且 f (a) ? f (b) ? f (C ), ? x ? 6 , x ? 10 . ? ? 2
则 abc 的取值范围是( )

A.(1,10)

B.(5,6)

C.(10,12)

D.(20,24)

5.若 x ? (1,2) 时,不等式 ( x ? 1) 2 ? loga x 恒成立,则 a 的取值范围是

高效作业
一、选择题 1.函数 y ? ln

技能备考

1 的大致图像为 | x ?1|

(

)

2.函数 y ?

e x ? e?x 的图像大致为 e x ?e? x

(

)

4

3. (2011.临沂模拟)若函数 y ? ? ( )

? g ( x), x ? 0 是奇函数,当 x ? 0 时,其对应的图像如图,则 f ( x) ? ? f ( x), x ? 0

A. ? 2 x ? 3

B. ? 2 x ? 3

C .2 x ? 3

D.2 x ? 3

4 .( 2011 . 天 津 高 考 ) 对 实 数 a 和 b , 定 义 运 算“?”: a ? b ? ?

?a, a ? b ? 1, 设函数 ?b, a ? b ? 1.

则实数 c 的取值 f ( x) ? ( x 2 ? 2) ? ( x ? 1), x ? R. 若函数 y ? f ( x) ? c 的图像与 x 轴恰有两个公共点, 范围是 ( )

A.(?1,1]?[2,??)

B.(?2,?1] ? ?(1,2]

c.(??,?2)?(1,2]

D.[?2,?1]

5.函数 g ( x) 与函数 f ( x) ? lg( x ? 1)(x ? 1) 的图像关于原点对称,则函数 g ( x) 的大致图像是下列图像中 的 ( )

6. (2011.平顶山模拟)厂(x)的定义域为 R,且 f ( x) ? ? 同实根,则 a 的取值范围为( )

? 2 ? x ? 1 ( x ? 0), 若方程 f ( x) ? x ? a 有两不 ? f ( x ? 1) ( x ? 0),

A.(??,1)
二、填空题

B.(??,1]

c.(0,1)

D.(??,??)

7.使 log2 (? x) ? x ? 1 成立的 x 的取值范围是 8.函数 f ( x) 与 g ( x) 的定义域为[m,n],它们的图像如图所示,则不等式 f ( x) g ( x) ? 0 的解集是

2 9.(2011.漳州模拟)已知函数 y ? f ( x)(x ? R) 满足 f ( x) ? f ( x ? 2), 且 x ? [?1,1] 时, f ( x) ? x , 则函

数 f ( x) 与 y ? log sx 的图像的交点个数为 三、解答题 10.若 1 ? x ? 3, a 为何值时, x ? 5x ? 3 ? a ? 0 有两解、一解、无解.
2

11.若直线 y ? 2a 与函数 y ?| a x ? 1 |? a ? 0 且 a ? ? 1) 的图像有两个公共点,求 a 的取值范围. 12.已知函数 f ( x) 的图像与函数 h( x) ? x ? (1)求 f ( x) 的解析式; (2)若 g ( x ) ? f ( x ) ?

5

1 ? 2 的图像关于点 A(O,1)对称. x

a , 且 g ( x) 在区间(0,2]上为减函数,求实数 a 的取值范围. x


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