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2.3幂函数课件

时间:2011-10-19


数学是思维的体操,是符号的游戏, 是一切科学之基础.函数是数学的重 要工具,具有重要的位置。

马克锋

临沂第二十四中学

教学目标:

1.知识与技能:
通过具体实例了解幂函数的图象和性质,并能进 行简单的应用 。

2.过程与方法:
能够类比研究一般函数

、指数函数、对数函数的 过程与方法,来研究幂函数的图象和性质,体会 幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性。 3.情感态度与价值观: 通过学习培养学生细心观察、认真分析、严谨论 证的良好的自主探究学习习惯,增强合作意识, 形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神,构

一、新课引入
我们先来看看几个具体的问题:
(1)如果张红买了每千克1元的蔬菜W千克,那么她需要支付 P=W 元 __________ p是w的函数

S=a? (2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积_____ S 是a的函数 V=a? (3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积___________ V是a的函数 1 (4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的边长 a ? S2 ________,这里 a是S的函数
(5)如果某人 t s内骑车行进1 km,那么他骑车的平均速度___ _____________ V=t?? km/s V是t 的函数

以上问题中的函数有什么共同特征?
(1)

(2)

(3)
(4) (5)

y=x y=x2 y=x3 y=x1/2 y=x-1

(1)都是函数;
(2)均是以自变量为底的幂; (3)指数为常数; (4)自变量前的系数为1; (5)幂前的系数也为1。

上述问题中涉及的函数,都是形如y=xa的函数。

二、新知探究 1.幂函数的定义:
形如 y = xa 的函数叫做幂函数, 其中 a 是常数且 a ∈ R 。

2.幂函数的定义域:
使 x a 有意义的实数的集合。

函数y=x的图象和性质

定义域: 值 域:

R R

在R 奇偶性: 上是奇函数
在R 单调性: 上是增函数

函数y=x2的图象 和性质

定义域:

R

值 域: [0,??)

奇偶性:在R上是偶函数
在(??,0]上是减函数

单调性: 在[0,??)上是增函数

函数y=x3的图 象和性质

定义域:

值 域:

R R

在R 奇偶性: 上是奇函数
在R 单调性: 上是增函数

函数y=x0.5的图象和性 质

定义域:[0,??) 值 域: [0,??)

非奇非偶函数 奇偶性: 在[0,??)上是增函数 单调性:

函数y=x-1的图象和性质

定义域:{x x ? 0}

值 域: { y

y ? 0}

在{x x ? 0}上是奇函数 奇偶性:

单调性:

在(0,??)上是减函数

在 ? ??,0? 上是减函数

作出下列函数的图象: 3
y ? x2 y?x
(-2,4)
4

(2,4)

3

y?x
y?x
(1,1)
1 2

2

(-1,1)

1

-4

-2

2

4

6

(-1,-1)

-1

-2

从图象能得出他们的性 质吗?

-3

几个幂函数的性质:
y?x
y?x

y ? x2
定义域 R R

y ? x3
值域 R

y?x
奇偶性 奇函数 偶函数

1 2

y ? x ?1
单调性 公共点 增函数 (0,0),(1,1)
(0,0),(1,1)

y?x 3 y?x
2

? y | y ? 0?
R

R

奇函数
非奇非 偶

增函数 (0,0),(1,1)
增函数 (0,0),(1,1)
(1,1)

y?x

1 2

?x | x ? 0? ? y | y ? 0?

y ? x ?1

?x | x ? 0? ? y | y ? 0?

奇函数

y

y=x3 y=x2 y=x-2

y

y=x-1

1

y=x1/2
1

1

y=x-1/2
1

0

X

0

X

a>0
(1)图象都过(0,0)点和 (1,1)点; (2)在第一象限内,函数值 随x 的增大而增大,即 在(0,+∞)上是增函 数。

a<0
(1)图象都过(1,1)点; (2)在第一象限内,函数值随 x 的增大而减小,即在 (0,+∞)上是减函数。 (3)在第一象限,图象向上与 y 轴无限接近,向右与 x 轴无限接近。

幂函数在第一象限的性质小结

当α>0

y

α

>1

y=x

1

0< α <1

O

x
1

(1) 图象必经过点(0 , 0)和(1 , 1); (2) 在第一象限内,函数值随着 x 的增大而增大。

幂函数在第一象限的性质小结
y
y=x

当a<0
1

O

1

(1) 图象必经过点(1 , 1); (2) 在第一象限内,函数值随着 x 的增大而减小 ; (3) 在第一象限内,图象向上与 y 轴无限地接近, 图象向右与 x 轴无限地接近 。

x

一般幂函数的性质:
★幂函数的定义域、奇偶性,单调性,

因函数式中α的不同而各异.
? ★所有的幂函数在(0,+∞)都有定

义,并且函数图象都通过点(1,1).
? ★如果α>0,则幂函数的图象过点

(0,0),(1,1)并在(0,+∞)上 为增函数.

一般幂函数的性质:
? ★如果α<0,则幂函数的图象过

?

点(1,1),并在(0,+∞)上为 减函数. ★当α为奇数时,幂函数为奇函数, ★当α为偶数时,幂函数为偶函数.

例1、 比较大小:
(1)1.51/2 < 1.71/2 (2)0.15-1

>

0.17-1

练习:
判断下列函数哪些是幂函数: (1)y =5x X (2)y =2x x (4)y =x+1 (5)y =1 / x4

x



(3)y =x0.5 √ (6)y =xx

x

例2.证明幂函数f ( x) ? x在[0, ??)上是增函数.
证明:任取x1、x 2 ? ?0,? ?,且x1 <x 2 , 则f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 +
= ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) x1 ? x2 x1 ? x2 = , x1 ? x2

Q 0 ? x1 <x 2 ,? x1 ? x2 ? 0,

x1 ? x2 x1 ? x2 ? 0,? ? 0, x1 ? x2

方法技巧:分子有理化

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, 即f ( x1 ) ? f ( x2 ). ? 幂函数f ( x) ? x在[0, ??)上是增函数.

三、精彩一练
1.求下列幂函数的定义域: 3 0 3/2 (1)y=x ?x | x ? 0? (2)y=x = x ?x | x ? 0?
1

(3)y=x-2/3 =

3

?x | x ? 0? x
2

四、归纳反思
1. 了解幂函数的性质(单调性、奇偶性、对称性、最 值和图象变换). 2.比较三类基本初等函数:指数、对数、幂函数的区 别与联系.

五、激励评价
心灵寄语:
为了既定目标奋力进取,不管结果如何,快乐 充实每一天,生命之花将大放异彩。——马克锋


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