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河北省衡水中学2015届高三上学期期中考试数学理试题 Word版含解析


衡水中学 2014 2015 学年度上学期高三年级期中考试 数学试卷(理科)
【题文】第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

【试卷综述】试卷突出了学科的主干内容,集合与函数、不等式、数列、概率统计、立体几 何、 解析几何、 导数的应用等重点内容在试卷中占有较高的比例, 也达到了必要的考查深度. 其 中,函数与方程的数学思想方法、数形

结合的数学思想方法、化归与转化的数学思想方法体 现得较为突出. 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的) 【题文】 1.设集合 A ? {x | x ? ?1}, B ? {x | x ? 1} , 则 “ x ? A且 x ? B ” 成立的充要条件是 ( A. ?1 ? x ? 1 【知识点】集合.A1 【答案】 【解析】D 解析:由充要条件的意义可知,x 只属于 A 集合不属于 B 集合,所以 D 为 正确选项. 【思路点拨】根据题意可直接求出所应表示的部分 【题文】2、已知实数 1, m,9 成等比数列,则圆锥曲线 B. x ? 1 C. x ? ? 1 D. ?1 ? x ? 1 )

x2 ? y 2 ? 1的离心率为( m



A.

6 3

B.2

C.

6 或2 3

D.

2 或 3 2

【知识点】等比数列;圆锥曲线.D3,H8 【答案】 【解析】C ∴m=±3. 当 m=3 时,圆锥曲线 解析:解:∵1,m,9 构成一个等比数列,

x2 2 6 ? y 2 ? 1是椭圆,它的离心率是 ? m 3 3 x2 ? y 2 ? 1是双曲线,它的离心率是 2. m

当 m=-3 时,圆锥曲线

故答案为:

6 或 2. 3

【思路点拨】由 1,m,9 构成一个等比数列,得到 m=±3.当 m=3 时,圆锥曲线是椭圆;当

-1-

m=-3 时,圆锥曲线是双曲线,由此入手能求出离心率. 【典例剖析】主要考查等比数列的性质及圆锥曲线的概念. 【题文】3、已知 m, n 为不同的直线, ? , ? 为不同的平面,则下列说法正确的是( A. m ? ? , n // m ? n // ? C. m ? ? , n ? ? , n // m ? ? // ? B. m ? ? , n ? m ? n ? ? D. n ? ? , n ? ? ? ? ? ? )

【知识点】空间中的平行与垂直关系.G4,G5 【答案】 【解析】D 解析: m ? ? , n // m ? n // ? 错误的原因为 n 也可能属于 ? ,所以 A 不正

? 确 , m ? ? , n? m

? n? 错 误 的 原 因 为 n 也 可 能 与 m 都 在 平 面 ? 内 ,

m ? ? , n ? ? , n / / m? ? / 错误的原因为 ? / ? , ? 可能是相交平面,所以 C 不正确,只有 D 是
正确选项. 【思路点拨】由平行与垂直的判定定理与性质定理可得到正确结果. 【题文】4、一个锥体的正视图和侧视图如图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的 是( )

A 【知识点】三视图.G2 【答案】 【解析】C

B

C

D

解析:根据三视图的概念可知,当俯视图为 C 时,几何体为棱柱,所以

这时不可能是锥体,所以 C 正确. 【思路点拨】由三视图的概念可得选项. 【题文】5、要得到函数 f ? x ? ? cos(2 x ? ( )

?

) 的图象,只需将函数 g ? x ? ? sin(2 x ? ) 的图象 3 3

?

? 个单位长度 2 ? C.向左平移 个单位长度 4
A.向左平移 【知识点】三角函数图像的变换.C4

? 个单位长度 2 ? D.向右平移 个单位长度 4
B.向右平移

-2-

【答案】 【解析】C 为 g ? x ? ? sin ? 2 ? x ?

解析:当函数 g ? x ? ? sin(2 x ?

?
3

) 向左平移

? 个单位长度时,解析式变 4

? ? ? ?

?? ??

? ?? ?? ? ? 所以只有 C 为正确选项. ? ? ? ? sin ? 2 x ? ? ? ? cos ? 2 x ? ? , 4 ? 3? 2 3? 3? ? ?

【思路点拨】由函数的图像移动法则及诱导公式可求出正确结果 【题文】6、如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则得到的这个新三角形的形状为 ( ) A.锐角三角形 C.钝角三角形 【知识点】余弦定理.C8 【答案】 【解析】A 解析:解:设增加同样的长度为 x,原三边长为 a、b、c,且 c =a +b , c 为最大边; 新的三角形的三边长为 a+x、b+x、c+x,知 c+x 为最大边,其对应角最大. 2 2 2 2 而(a+x) +(b+x) -(c+x) =x +2(a+b-c)x>0,
2 2 2

B.直角三角形 D.由增加的长度决定

? a ? x ? ? ?b ? x ? ? ?c ? x ? 由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦= 2 ? a ? x ?? b ? x ?
2 2

2

? 0 则为锐角,那么

它为锐角三角形.故选 A 【思路点拨】先设出原来的三边为 a、b、c 且 c =a +b ,以及增加同样的长度为 x,得到新的 三角形的三边为 a+x、b+x、c+x,知 c+x 为最大边,所以所对的角最大,然后根据余弦定理判 断出余弦值为正数,所以最大角为锐角,得到三角形为锐角三角形. 【题文】7、如图所示,医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体,开始输液时,滴 管内匀速滴下液体(滴管内液体忽略不计) ,设输液开始后 x 分钟,瓶内 液面与进气管的距离为 h 厘米,已知当 x ? 0 时, h ? 13 ,如果瓶内的药
2 2 2

液恰好 156 分钟滴完,则函数 h ? f ? x ? 的图象为(



-3-

【知识点】分段函数.B1 【答案】 【解析】A 解析:解:由题意知,每分钟滴下 π cm 药液,
2 3

x ,此时 0≤x≤144; 16 x 2 2 当 1≤h<4 时,xπ =π ?4 ?9+π ?2 ?(4-h),即 h ? 40 ? ,此时 144<x≤156. 4
当 4≤h≤13 时,xπ =π ?4 ?(13-h),即 h ? 13 ? ∴函数单调递减,且 144<x≤156 时,递减速度变快. 故选:A. 【思路点拨】每分钟滴下 π cm 药液,当液面高度离进气管 4 至 13cm 时,x 分钟滴下液体的体 积等于大圆柱的底面积乘以(13-h) ,当液面高 度离进气管 1 至 4cm 时,x 分钟滴下液体的体 积等于大圆柱的体积与小圆柱底面积乘以(4-h)的和,由此即可得到瓶内液面与进气管的距 离为 h 与输液时间 x 的函数关系. 【题文】 8、 已知直线 x ? y ? k ? 0(k ? 0) 与圆 x2 ? y 2 ? 4 交于不同的两点 A, B, O 是坐标点, 且有 OA ? OB ? A. ? 2, ??
3

3 AB ,那么 k 的取值范围是( 3
B. ? 2, 2 2



?

?

?

?

C.

?

3, ??

?

D. ? 3, 2 2

?

?

【知识点】向量及向量的模.F3 【答案】 【解析】B 解析:设 AB 的中点为 D,则

OD ? AB

OA ? OB ?

3 3 AB ? 2OD ? AB ? AB ? 2 3 OD , 3 3

OD ?

2

2 2 1 AB ? 4 , OD ? 1 ,直线 x ? y ? k ? 0(k ? 0) 与圆 x2 ? y 2 ? 4 交于不同的两点 4

? ?k ? A,B? OD ? 4 ? 4 ? OD ? 1? 4 ? ? ? ? 1 k ? 0 ? 2 ? k ? 2 2 ,所以答案为 B. ? 2?
2 2

2

【思路点拨】根据向量及向量模的运算可找到正确结果. 【题文】9、函数 f ? x ? ? ? 是( )

?2 x3 ? 3x 2 ? 1 x ? 0 ? ,在 ? ?2,2 ? 上的最大值为 2,则 a 的取值范围 ax x?0 ? ?e

A. ? ln 2, ?? ?

?1 ?2

? ?

B. ?0,

? 1 ? ln 2 ? ? 2 ?

C. ? ??,0?

D. ? ??,

? ?

1 ? ln 2 ? 2 ?

【知识点】函数的最值.B3 【答案】 【解析】D 解析:由题意,当 x≤0 时,f(x)=2x +3x +1, 2 可得 f′(x)=6x +6x,解得函数在[-1,0]上导数为负,在[-∞,-1]上导数为正,故函数在
-43 2

[-2,0]上的最大值为 f(-1)=2;

?2 x3 ? 3x 2 ? 1 x ? 0 ? 2a 要使函数 f ? x ? ? ? ax 在[-2,2]上的最大值为 2,则当 x=2 时,e 的值必须 x?0 ? ?e
小于等于 2,即 e ≤2,解得 a ? (??, ln 2] .
2a

1 2

故答案为: (??,

1 ln 2] . 2
3 2 ? ?2 x ? 3x ? 1 x ? 0 在[-2, ax e x ? 0 ? ?

【思路点拨】 当 x∈[-2, 0]上的最大值为 2;欲使得函数 f ? x ? ? ?
2a

2]上的最大值为 2,则当 x=2 时,e 的值必须小于等于 2,从而解得 a 的范围 【题文】10、抛物线的弦与过弦的断点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形, 阿基米德三角形有一些有趣的性质,如:若抛物线的弦过焦点,则过弦的断点的来两条切线 的交点在其准线上, 设抛物线 y 2 ? 2 px( x ? 0) , 弦 AB 过焦点,?ABQ 且其阿基米德三角形, 则 ?ABQ 的面积的最小值为( )

p2 A. 2

B. p 2

C. 2 p2

D. 4 p 2

【知识点】直线与圆锥曲线.H8 【答案】 【解析】B 解析:由于若抛物线的弦过焦点,则过弦的端点的两条切线的交点在其

准线上,且△PAB 为直角三角型,且角 P 为直角. S ? AB 最小,故选 B.

1 AB 2 PA ? PB ? ,由于 AB 是通径时, 2 4

【思路点拨】由于若抛物线的弦过焦点,则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上,且△ PAB 为直角三角型,且角 P 为直角.又面积是直角边积的一半,斜边是两直角边的平方和,故 可求 【题文】11、四面体 ABCD 的四个顶点都在球 O 的表面上, AB ? 平面 ABCD, ?BCD 是边 长为 3 的等边三角形,若 AB ? 2 ,则球 O 的表面积为( A. 4? B. 12? C. 16? D. 32? )

【知识点】几何体的体积与表面积.G8 【答案】 【解析】C 面 BCD, △BCD 是边长为 3 的等边三角形. 解析:解:取 CD 的中点 E,连结 AE,BE,∵在四面体 ABCD 中,AB⊥平

-5-

∴Rt△ABC≌Rt△ABD,△ACD 是等腰三角形, △BCD 的 中 心 为 G , 作 OG∥AB 交 AB 的 中 垂 线 HO 于 O , O 为 外 接 球 的 中 心 ,

BE ?

3 3 ?1 ? , BG ? 3, R ? BG 2 ? ? AB ? ? 3 ? 1 ? 2 . 2 ?2 ?
2

2

四面体 ABCD 外接球的表面积为:4π R =16π . 故选:C. 【思路点拨】取 CD 的中点 E,连结 AE,BE,作出外接球的球心,求出半径,即可求出表面积 【题文】 12、 若定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? ?x ? ? f ? x ? , f ? 2 ? x ? ? f ? x ? , 且当 x ??0,1?
2 时, f ? x ? ? 1 ? x ,则函数 H ( x ) ? xe ? f ? x ? 在区间 ? ?5,1? 上的零点个数为(

2



A.4

B.6

C.8

D.10

【知识点】函数的零点.B9 【答案】 【解析】B 解析:解:定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=f(x),f(2-x)=f (x), x x x ∴函数是偶函数, 关于 x=1 对称, ∵函数 f (x) =xe 的定义域为 R, f′ (x) = (xe ) ′=x′e +x x x x x x x (e )′=e +xe 令 f′(x)=e +xe =e (1+x)=0,解得:x=-1. 列表:

由表可知函数 f(x)=xe 的单调递减区间为(-∞,-1),单调递增区间为(-1,+∞). 当 x=-1 时,函数 f(x)=xe 的极小值为 f ? ?1? ? ?
x

x

1 1 x .y=|xe |,在 x=-1 时取得极大值: , e e

x∈(0,+∞)是增函数,x<0 时有 5 个交点,x>0 时有 1 个交点. 共有 6 个交点故选:C. 【思路点拨】求出函数 f(x)=xe 的导函数,由导函数等于 0 求出 x 的值,以求出的 x 的值 为分界点把原函数的定义域分段,以表格的形式列出导函数在各区间段内的符号及原函数的 增减性,从而得到函数的单调区间及极值点,把极值点的坐标代入原函数求极值.然后判断 y=|xe |的极值与单调性,然后推出零点的个数 【题文】第Ⅱ卷(非选择题
x x

共 90 分)

【题文】二、填空题:每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷的横线上。. 【题文】13、已知

?
2

? ? ? ? ,3sin 2? ? 2 cos ? ,则 cos(? ? ? ) ?

【知识点】三角函数的诱导公式.C2
-6-

【答案】 【解析】

2 2 3

解析:由已知条件可得

1 2 2 ,又因为 3sin 2? ? 2cos ? ,? 6sin ? ? cos ? ? 2cos ? ,?sin ? ? ,? cos ? ? ? 3 3 cos ?? ? ? ? ? cos ?? ? a ? ? ? cos ? ? 2 2 3

【思路点拨】根据已知条件进行化简,再利用同角三角函数的关系进行化简求值.

y2 ? 1 与椭圆 C2 的公共焦点,点 A 是 C1 , C2 在第 【题文】14、已知 F1 , F2 是双曲线 C1 : x ? 3
2

一象限的公共点,若 F 1F 2 ? F 1 A ,则 C2 的离心率是 【知识点】直线与双曲线.H6 【答案】 【解析】

2 解析:解:由题意知,|F1F2|=|F1A|=4, 3

∵|F1A|-|F2A|=2,∴|F2A|=2,∴|F1A|+|F2A|=6,∵|F1F2|=4, ∴C2 的离心率是

4 2 2 ? .故答案为 . 6 3 3

【思路点拨】利用双曲线的定义,可求出|F2A|=2,|F1F2|=4,进而有|F1A|+|F2A|=6,由此可求 C2 的离心率.

?3 x ? y ? 2 ? 0 ? 【题文】15、设 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,若目标函数 z ? ax ? 2by(a ? 0, b ? 0) 的 ? x ? 0, y ? 0 ?
最大值为 1, 则

1 1 ? 2 的最小值为 2 a 4b

【知识点】线性规划与不等式.E1,E5

【答案】 【解析】8 解析:

-7-

由约束条件可作出可行域,由图可知,目标函数 z ? ax ? 2by(a ? 0, b ? 0) 取得最大值的点为

B ?1,1? ? a ? 2b ? 1 , 则

1 1 1 1 1 ( 当 且 仅 当 a=2b 时 取 等 号 ) 由 ? 2?2 ? ? 2 2 2 a 4b a 4b ab

1 ? a? ? a ? 2 b ? 1 ? 1 1 1 1 ? 2 ?? 所以 2 ? 2 的最小值为 ? ?8 ? a 4b ab 1 ? 1 ? a ? 2b ?b ? 1 ? 2 4 ? 4
【思路点拨】根据条件列出可行域,再利用不等式求出最小值. 【题文】16、在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3) ,直线 l : y ? 2 x ? 4 ,设圆 C 的半径为 1, 圆心在 l 上,若圆 C 上存在点 M,使 MA ? 2 MO ,则圆心 C 的横坐标 a 的取值范围为 【知识点】直线与圆.H4 【答案】 【解析】? 0,
2

2 ? 12 ? 2 2 2 解析: 解: 设点 M (x, y) , 由 MA=2MO, 知, x ? ? y ? 3? ? 2 x ? y ? ? 5?
2

化简得:x +(y+1) =4, ∴点 M 的轨迹为以(0,-1)为圆心,2 为半径的圆,可记为圆 D, 又∵点 M 在圆 C 上, ∴圆 C 与圆 D 的关系为相交或相切,

?1 ? CD ? 3, CD ? a 2 ? ? 2a ? 3? ?1 ? a 2 ? ? 2a ? 3? ? 3 ? 0 ? a ?
2 2

12 5

故答案为: ? 0,

? 12 ? . ? 5? ?

【思路点拨】设 M(x,y) ,由 MA=2MO,利用两点间的距离公式列出关系式,整理后得到点 M 的轨迹为以(0,-1)为圆心,2 为半径的圆,可记为圆 D,由 M 在圆 C 上,得到圆 C 与圆 D 相交或相切,根据两圆的半径长,得出两圆心间的距离范围,利用两点间的距离公式列出不 等式,求出不等式的解集,即可得到 a 的范围 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 【题文】17、 (本小题满分 12 分) 如图,在 ?ABC 中, BC 边上的中线 AD 长为 3,且 cos B ? (1)求 sin ?BAD 的值; (2)求 AC 边的长。 【知识点】解三角形.C8

1 10 , cos ?ADC ? , 4 8

-8-

【答案】 【解析】(1) 分)

(2) AC=4 解析:解: (Ⅰ)因为 cosB=

,所以 sinB=

…(2

又 cos∠ADC=﹣ ,所以 sin∠ADC= 所以 sin∠BAD=sin(∠ADC﹣∠B)= (Ⅱ)在△ABD 中,由正弦定理,得

…(4 分) × ﹣(﹣ )× = …(7 分)

,解得 BD=2…(10 分)

故 DC=2,从而在△ADC 中,由余弦定理,得 AC =9+4﹣2×3×2× 【思路点拨】 (Ⅰ)根据 cosB=

2

=16,所以 AC=4…

,cos∠ADC=﹣ ,利用平方关系,可得 sinB、sin∠ADC

的值,利用 sin∠BAD=sin(∠ADC﹣∠B) ,即可求得结论; (Ⅱ)在△ABD 中,由正弦定理,求 BD=2,故 DC=2,在△ADC 中,由余弦定理,可求 AC 的长 【题文】18、 (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形, ?BAD ? 60 , Q 是 AD 的中点 (1)若 PA ? PD ,求证:平面 PQB ? 平面 PAD ; (2)若平面 APD ? 平面 ABCD ,且 PA ? PD ? AD ? 2 , 在线段 PC 上是否存在点 M ,使二面角 M ? BQ ? C 的大小为 60 , 若存在,试确定点 M 的位置,若不存在,请说明理由。

【知识点】空间角与空间中的位置关系.G4,G5,G11 【答案】 【解析】 (1) 略 (2) 略 解析: ( 1 )证明:∵ PA=PD , Q 为 AD 的中点,∴ PQ ⊥ AD ,

又∵底面 ABCD 为菱形,∠BAD=60°,∴BQ⊥AD, 又 PQ∩BQ=Q,∴AD⊥平面 PQB, 又∵AD?平面 PAD, ∴平面 PQB⊥平面 PAD. (2)解:∵平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,PQ⊥AD, ∴PQ⊥平面 ABCD,

-9-

以 Q 为坐标原点,分别以 QA,QB,QP 为 x,y,z 轴, 建立空间直角坐标系,如图

,0 3 , C ,B(0, ? ?2 ? ?? ?) 设 PM ? ? PC 0<λ <1,则 M ? ?2? , 3? , 3 ?1 ? ? ? ? 平面 CBQ 的一个法向量 , 3, 0 ,0 3 ,B , 则 Q(0,0,0) ,P 0
,设平面 MBQ 的法向量为 n2 =(x,y,z) , n1 =(0,0,1) 由?

?

? ?QM ? n2 ? 0 ? 3 ? 3? ? ? n2 ? ? , 0, 3 ? ,∵二面角 M-BQ-C 的大小为 60°, ? 2? ? ? ? QB ? n2 ? 0
1 1 PM 1 ? 解得 λ = ,? 2 3 PC 3

cos 60? ? cos n1 , n 2 ?

∴存在点 M 为线段 PC 靠近 P 的三等分点满足题意 【思路点拨】1)由已知得 PQ⊥AD,BQ⊥AD,由此能证明平面 PQB⊥平面 PAD. (2)以 Q 为坐标原点,分别以 QA,QB,QP 为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量 法能求出存在点 M 为线段 PC 靠近 P 的三等分点满足题意. 【题文】19、 (本小题满分 12 分)

?x ? 4 ? 设不等式组 ? y ? 0 所表示的平面区域 Dn ,记 Dn 内整点的个数为 an (横纵坐标 ? y ? nx(n ? N ? ) ?
均为整数的点称为整点) 。 (1) n ? 2 式,先在平面直角坐标系中做出平面区域 Dn ,在求 a2 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)记数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,试证明:对任意 n ? N ,恒有
?

S1 S ? 22 ? 2 2 S1 3 S2

?

SN 5 ? 成立。 2 (n ? 1) S N 12

【知识点】数列的应用.D5 【答案】 【解析】(1)25(2) 10n+5 (3) 略 解析:解: (1)D2 如图中阴影部分所示, ∵在 4×8 的矩形区域内有 5×9 个整点,对角线上有 5 个整点, ∴a2= =25. (3 分)

(另解:a2=1+3+5+7+9=25) (2)直线 y=nx 与 x=4 交于点 P(4,4n) , 据题意有 an= =10n+5. (6 分)

- 10 -

(另解:an=1+(n+1)+(2n+1)+(3n+1)+(4n+1)=10n+5) (3)Sn=5n(n+2) . (8 分) ∵ = , = ? <



+

+…+



+

+…+

= ( ﹣ +…+



)= ( + ﹣



)<

(13 分)

【思路点拨】 (1)在 4×8 的矩形区域内有 5×9 个整点,对角线上有 5 个整点,可求 a2 的值; (2)直线 y=nx 与 x=4 交于点 P(4,4n) ,即可求数列{an}的通项公式; (3)利用裂项法,放缩,求和即可证明结论 【题文】20、 (本小题满分 12 分) 已知定圆 M : ( x ? 3)2 ? y 2 ? 16 ,动圆 N 过点 F ( 3,0) 且与圆 M 相切,记圆心 N 的轨 迹为 E (1)求轨迹 E 的方程; (2)设点 A, B, C 在 E 上运动, A 与 B 关于原点对称,且 AC ? CB ,当 ?ABC 的面积最 小时,求直线 AB 的方程。 【知识点】直线与圆锥曲线.H8 【答案】 【解析】(1) 圆 轨迹 E 为椭圆,且 (2) y=x 或 y=﹣x 解析:解: (Ⅰ)因为点 在

内,所以圆 N 内切于圆 M,因为|NM|+|NF|=4>|FM|,所以点 N 的 ,所以 b=1,所以轨迹 E 的方程为 .…(4 分)

(Ⅱ) (i)当 AB 为长轴(或短轴)时,依题意知,点 C 就是椭圆的上下顶点(或左右顶点) , 此时 |AB|=2.…(5 分)

(ii)当直线 AB 的斜率存在且不为 0 时,设其斜率为 k,直线 AB 的方程为 y=kx,

联立方程





所以|OA| =

2

.…(7 分)

由|AC|=|CB|知, △ABC 为等腰三角形, O 为 AB 的中点, OC⊥AB, 所以直线 OC 的方程为



- 11 -



解得



=



,…(9 分)

S△ABC=2S△OAC=|OA|×|OC|=



由于 ,…(11 分)

,所以

当且仅当 1+4k =k +4,即 k=±1 时等号成立,此时△ABC 面积的最小值是 , 因为 ,所以△ABC 面积的最小值为 ,此时直线 AB 的方程为 y=x 或 y=﹣x. ,所

2

2

【思路点拨】 (I)因为|NM|+|NF|=4>|FM|,所以点 N 的轨迹 E 为椭圆,且 以 b=1,从而可求求轨迹 E 的方程;

( Ⅱ ) 分 类 讨 论 , 直 线 AB 的 方 程 为 y=kx , 代 入 椭 圆 方 程 , 求 出 |OA| , |OC| , 可 得 S△ABC=2S△OAC=|OA|×|OC|,利用基本不等式求最值,即可求直线 AB 的方程. 【题文】21、 (本小题满分 12 分) 已 知 函 数 f ? x ? ? x ? a ln x , 在 x ? 1 处 的 切 线 与 直 线 x ? 2 y ? 0 垂 直 , 函 数

1 g ? x ? ? f ? x ? ? x 2 ? bx 2
(1)求实数 a 的值; (2)若函数 g ? x ? 存在单调递减区间,求实数 b 的取值范围; (3)设 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 是函数 g ? x ? 的两个极值点,若 b ? 【知识点】导数与函数.B11,B12 【答案】 【解析】(1) a=1(2){b|b>3}(3) ﹣2ln2 解析:解: (1)∵f(x)=x+alnx,

7 ,求 g ? x1 ? ? g ? x2 ? 的最小值。 2

∴f′(x)=1+ ,∵f(x)在 x=1 处的切线 l 与直线 x+2y=0 垂直, ∴k=f′(x)|x=1=1+a=2,解得 a=1. (2)∵g(x)=lnx+ ﹣(b﹣1)x,

∴g′(x)=

,x>0,由题意知 g′(x)<0 在(0,+∞)上有解,

- 12 -

即 x+ +1﹣b<0 有解,∵定义域 x>0,∴x+ ≥2,x+ <b﹣1 有解, 只需要 x+ 的最小值小于 b﹣1,∴2<b﹣1,解得实数 b 的取值范围是{b|b>3}. (3)∵g(x)=lnx+ ﹣(b﹣1)x,

∴g′(x)=

=0,∴x1+x2=b﹣1,x1x2=1

∴g(x1)﹣g(x2)=ln

﹣ (





∵0<x1<x2,∴设 t=

,0<t<1,令 h(t)=lnt﹣ (t﹣ ) ,0<t<1,

则 h′(t)=﹣
2

<0,∴h(t)在(0,1)上单调递减,
2

又∵b≥ ,∴(b﹣1) ≥ ﹣2ln2,故所求的最小值为

,∵0<t<1,∴4t ﹣17t+4≥0,∴0<t ,h(t)≥h( )= ﹣2ln2.

【思路点拨】 (1)求导数,利用导数的几何意义能求出实数 a 的值. (2) ) ,由题意知 g′(x)<0 在(0,+∞)上有解,即 x+ +1﹣b<0 有解,由此能求出实数 b 的取值范围. (3)g(x1)﹣g(x2)=ln ﹣g(x2)的最大值. 【题文】请考生在第(22) 、 (23)两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分, 作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑,把答案填在答题卡上. 【题文】22、 (本小题满分 10 分) 如图,点 A 是线段 BC 为直径的圆 O 上一点, AD ? BC 于点 D,过点 B 作圆 O 的切线与 CA 的延长线交于点 E,点 G 是 AD 的中点,连接 CG 并延长与 BE 相交于点 F,延长 AF 与 CB 的延 长线相交于点 P。 (1)求证: BF ? EF (2)求证:PA 是圆 O 的切线。 【知识点】直线与圆.H4 ﹣ ( ﹣ ) ,由此利用构造成法和导数性质能求出 g(x1)

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【答案】 【解析】略 解析:证明: (1)∵BC 是圆 O 的直径,BE 是圆 O 的切线,∴EB⊥BC. 又∵AD⊥BC,∴AD∥BE. 可得△BFC∽△DGC,△FEC∽△GAC.∴ ,得 .

∵G 是 AD 的中点,即 DG=AG.∴BF=EF. (2)连接 AO,AB. ∵BC 是圆 O 的直径,∴∠BAC=90°.由(1)得:在 Rt△BAE 中,F 是斜边 BE 的中点, ∴AF=FB=EF,可得∠FBA=∠FAB.又∵OA=OB,∴∠ABO=∠BAO.∵BE 是圆 O 的切线, ∴∠EBO=90°,得∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°, ∴PA⊥OA,由圆的切线判定定理,得 PA 是圆 O 的切线.

【思路点拨】1)利用平行线截三角形得相似三角形,得△BFC∽△DGC 且△FEC∽△GAC,得到 对应线段成比例,再结合已知条件可得 BF=EF; (2)利用直角三角形斜边上的中线的性质和等边对等角,得到∠FAO=∠EBO,结合 BE 是圆的 切线,得到 PA⊥OA,从而得到 PA 是圆 O 的切线. 【题文】23、 (本小题满分 10 分) 已知函数 f ? x ? ? x ?1 (1)解不等式 f ? x ? ? f ? x ?1? ? 2 ; (2)当 a ? 0 时,不等式 2a ? 3 ? f ? ax ? ? af ? x ? 恒成立,求实数 a 的取值范围。 【知识点】不等式.E2 【答案】 【解析】(1) ? x | 时,-2x+3≤2,即

? ?

1 5? (Ⅰ)原不等式等价于:当 x≤1 ? x ? ? (2) a≥2 解析:解: 2 2?

1 ? x ? 1 , 当 1<x≤2 时,1≤2,即 1<x≤2. 2 5 5? ? 1 .综上所述,原不等式的解集为 ? x | ? x ? ? . 2 2? ? 2

当 x>2 时,2x-3≤2,即 2 ? x ?

(Ⅱ)当 a>0 时,f(ax)-af(x)=|ax-1|-|ax-a|=|ax-1|-|a-ax|≤|ax-1+a-ax|=|a-1|, 所以,2a-3≥|a-1|,解得 a≥2. 【思路点拨】 (Ⅰ)分当 x≤1 时、当 1<x≤2 时、当 x>2 时三种情况,分别求得原不等式的 解集,再取并集,即得所求.

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(Ⅱ)当 a>0 时,利用绝对值三角不等式可得 f(ax)-af(x)≤|a-1|,结合题意可得 2a-3≥|a-1|,由此解得 a 的范围

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