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学案4.2同角三角函数的基本关系式及诱导公式


4.2 同角三角函数的基本关系式及诱导公式
学习目标 π 1.能利用单位圆中的三角函数线推导出 ± α,π±α 的正弦、余弦、正切的诱导公式. 2 sin x 2.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1, =tan x. cos x 学习过程 探究点一 利用同角三角函数基本关系式化简、求值 π 1 例 1 已知- <x<0,sin x+co

s x= . 2 5 tan x (1)求 sin2x-cos2x 的值; (2)求 的值. 2sin x+cos x

探究点二 利用诱导公式化简、求值 π? 5 例 2 (2011· 合肥模拟)已知 sin? ?α+2?=- 5 ,α∈(0,π). π? ?3π ? sin? ?α-2?-cos? 2 +α? 3π 2α- ?的值. (1)求 的值; (2)求 cos? 4? ? sin?π-α?+cos?3π+α?

2sin?π+α?cos?π-α?-cos?π+α? 变式迁移 2 设 f(α)= (1+2sin α≠0), 3π ? 2 2?π ? ? 1+sin α+cos? 2 +α?-sin ?2+α? 23π? 则 f? ?- 6 ?=________.

3π ? 变式迁移 1 已知 sin(3π+α)=2sin? ? 2 +α?,求下列各式的值. sin α-4cos α (1) ; 5sin α+2cos α (2)sin2α+sin 2α. 探究点三 综合应用 例 3 在△ABC 中,若 sin(2π-A)=- 2sin(π-B), 3cos A=- 2cos(π-B),求△ABC 的三个 内角.

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转化与化归思想的应用 1 例 (12 分)已知 α 是三角形的内角,且 sin α+cos α= . 5 (1)求 tan α 的值; 1 (2)把 2 用 tan α 表示出来,并求其值. cos α-sin2α 1 多角度审题 由 sin α+cos α= 应联想到隐含条件 sin2α+cos2α=1,要求 tan α,应当切化弦,所 5 以只要求出 sin α,cos α 即可. 【答题模板】 1 ? 2 ① α+cos2α=1, ② 解 (1)联立方程?sin α+cos α=5, ? 1 由①得 cos α= -sin α,将其代入②,整理得 25sin2α-5sin α-12=0.[2 分] 5 4 3 ? α=- ,[4 分] ∵α 是三角形的内角,∴?sin α=5 5 ? 4 ∴tan α=- .[6 分] 3 sin2α+cos2α cos2α sin2α+cos2α tan2α+1 1 (2) 2 ,[8 分] 2 = 2 2 = 2 2 = cos α-sin α cos α-sin α cos α-sin α 1-tan2α 2 cos α tan2α+1 4 1 ∵tan α=- ,∴ 2 = [10 分] 3 cos α-sin2α 1-tan2α ?-4?2+1 ? 3? 25 = =- .[12 分] 4 7 ?2 1-? ?-3? 【突破思维障碍】 1 由 sin α+cos α= 及 sin2α+cos2α=1 联立方程组,利用角 α 的范围,应先求 sin α 再求 cos α.(1) 5 问切化弦即可求.(2)问应弦化切,这时应注意“1”的活用. 【易错点剖析】 在求解 sin α,cos α 的过程中,若消去 cos α 得到关于 sin α 的方程,则求得两解,然后应根据 α 角的范围舍去一个解,若不注意,则误认为有两解. 1.由一个角的三角函数值求其他三角函数值时,要注意讨论角的范围. 2.注意公式的变形使用,弦切互换、三角代换、消元是三角代换的重要思想,要尽量少开方运 算,慎重确定符号.注意“1”的灵活代换. 3.应用诱导公式,重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断. 当堂检测 1.(2010· 全国Ⅰ)cos 300° 等于 3 A.- 2 1 C. 2 ( 1 B.- 2 3 D. 2 )

2.若 3sin α+cos α=0,则 10 A. 3 2 C. 3

1 的值为 cos2α+sin 2α 5 B. 3 D.-2

(

)

3 3.(2014 福建龙岩一中高三第三次月考)α 是第一象限角,tan α= ,则 sin α 等于( 4 4 3 A. B. 5 5 4 3 C.- D.- 5 5 17 17 4.cos(- π)-sin(- π)的值是 ( 4 4 A. 2 B.- 2 2 C.0 D. 2 π 2 2π 5.(2014.清远月考)已知 cos( -α)= ,则 sin(α- )=________. 6 3 3 诱导公式应用提升 6.若 cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ ,请结合诱导公式推导出: (1)sin(α -β )= 理由: ;

)

)

2

例 1 解题导引 学会利用方程思想解三角函数题,对于 sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α 这三个式子,已知其中一个式子的值,就可以求出其余二式的值,但要注意对符号的判断. 1 解 由 sin x+cos x= 得, 5 1 24 1+2sin xcos x= ,则 2sin xcos x=- . 25 25 π ∵- <x<0,∴sin x<0,cos x>0, 2 即 sin x-cos x<0. 则 sin x-cos x =- sin2x-2sin xcos x+cos2x 24 7 =- 1+ =- . 25 5 (1)sin2x-cos2x=(sin x+cos x)(sin x-cos x) 7 1 7 - ?=- . = ×? 5 ? 5? 25 1 sin x+cos x= 5 (2)由 , 7 sin x-cos x=- 5

? ? ?

?sin x=-5 得? 4 ?cos x=5

3 3 ,则 tan x=- . 4

3 - 4 tan x 15 即 = = . 6 4 8 2sin x+cos x - + 5 5 3π ? 变式迁移 1 解 ∵sin(3π+α)=2sin? ? 2 +α?, ∴-sin α=-2cos α. ∴sin α=2cos α,即 tan α=2. 方法一 (直接代入法): 2cos α-4cos α 1 (1)原式= =- . 6 5×2cos α+2cos α 2 sin α+2sin αcos α sin2α+sin2α 8 (2)原式= = = . 1 5 sin2α+cos2α sin2α+ sin2α 4 方法二 (同除转化法): tan α-4 2-4 1 (1)原式= = =- . 6 5tan α+2 5×2+2 2 (2)原式=sin α+2sin αcos α sin2α+2sin αcos α tan2α+2tan α 8 = = = . 5 sin2α+cos2α tan2α+1 例2 k ? 解题导引 三角诱导公式记忆有一定规律:? ?2π+α?的本质是:奇变偶不变(对 k 而言,指

k 取奇数或偶数),符号看象限(看原函数,同时可把 α 看成是锐角).诱导公式的应用是求任意角的三 角函数值,其一般步骤:(1)负角变正角,再写成 2kπ+α,0≤α<2π;(2)转化为锐角三角函数. π? 5 解 (1)∵sin? ?α+2?=- 5 ,α∈(0,π), 5 2 5 ∴cos α=- ,sin α= . 5 5 π 3π α- ?-cos? +α? sin? 2 ? ? ?2 ? -cos α-sin α 1 ∴ = =- . 3 sin?π-α?+cos?3π+α? sin α-cos α 5 2 5 (2)∵cos α=- ,sin α= , 5 5 4 3 ∴sin 2α=- ,cos 2α=- , 5 5 3π? 2 2 2 cos? ?2α- 4 ?=- 2 cos 2α+ 2 sin 2α=- 10 . 变式迁移 2 3 ?-2sin α??-cos α?+cos α 解析 ∵f(α)= 1+sin2α+sin α-cos2α 2sin αcos α+cos α cos α?1+2sin α? 1 = = = , 2 tan α 2sin α+sin α sin α?1+2sin α? 23π? 1 ∴f? ?- 6 ?= ? 23π? tan?- 6 ? 1 1 = = = 3. π? π ? - 4π + tan tan? 6? 6 例 3 解题导引 先利用诱导公式化简已知条件,再利用平方关系求得 cos A.求角时,一般先求 出该角的某一三角函数值,再确定该角的范围,最后求角.诱导公式在三角形中常用结论有:A+B= A B C π π-C; + + = . 2 2 2 2 ① ?sin A= 2sin B, 由已知得? ? 3cos A= 2cos B, ② 2 ①2+②2 得 2cos2A=1,即 cos A=± . 2 2 3 (1)当 cos A= 时,cos B= , 2 2 又 A、B 是三角形的内角, π π 7 ∴A= ,B= ,∴C=π-(A+B)= π. 4 6 12 2 3 (2)当 cos A=- 时,cos B=- . 2 2 又 A、B 是三角形的内角, 3 5 ∴A= π,B= π,不合题意. 4 6 π π 7 综上知,A= ,B= ,C= π. 4 6 12 1 变式迁移 3 解 (1)∵sin A+cos A= ,① 5 解

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1 ∴两边平方得 1+2sin Acos A= , 25 12 ∴sin A· cos A=- . 25 12 (2)由(1)sin A· cos A=- <0,且 0<A<π, 25 可知 cos A<0,∴A 为钝角, ∴△ABC 为钝角三角形. 49 (3)∵(sin A-cos A)2=1-2sin A· cos A= , 25 又 sin A>0,cos A<0,∴sin A-cos A>0, 7 ∴sin A-cos A= ,② 5 4 3 ∴由①,②得 sin A= ,cos A=- , 5 5 sin A 4 ∴tan A= =- . cos A 3 自我检测 1 1.C [cos 300° =cos(360° -60° )=cos 60° = .] 2 2.A [∵3sin α+cos α=0,sin2α+cos2α=1, 1 ∴sin2α= , 10 1 1 ∴ 2 = cos α+sin 2α cos2α+2sin α· ?-3sin α? 1 10 = = .] 1-7sin2α 3 3.B 17 17 π π π π π π 4.A [cos(- π)-sin(- π)=cos(-4π- )-sin(-4π- )=cos(- )-sin(- )=cos +sin = 4 4 4 4 4 4 4 4 2.] 2 5.- 3 2π 2π 解析 sin(α- )=-sin( -α) 3 3 π π =-sin[( -α)+ ] 6 2 π 2 =-cos( -α)=- . 6 3

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