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汕头市金山中学2015-2016学年第一学期期中考试

时间:2015-11-20


汕头市金山中学 2015-2016 学年第一学期期中考试

高 一 数 学 试 题 卷 命题人:陈嘉睿
一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分) 1.下列函数与 y ? x 有相同图象的一个函数是( A y?
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/

) B y?
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x

2

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x2 x

Cy ?
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a loga x (a ? 0且a ? 1)

D y ? loga a x (a ? 0且a ? 1)
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2.下列函数中,在其定义域内是增函数的为( ) A. y ?

x 2 ? x B. y ? 21? x C. y ? log 0.5 (1 ? x)

0.7
6

D. y ? x | x |

3.三个数 0.76, 60.7, log0.7 6 的大小关系为( A. 0.7 ? log0.7 6 ? 6 B 0.7 ? 6
6
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6

0.7

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? log0.7 6

C log0.7 6 ? 6
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0.7

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? 0.7 D log0.7 6 ? 0.76 ? 60.7
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4.函数

f ( x) ? 2 x ? 1 ? log 2 x 的零点所在的一个区间是(
B. ( , ) C. ( ,1)

)

A. ( , )

1 1 8 4

1 1 4 2

1 2

D.(1,2)

5.在函数 y ? x ( x ?[?1,1]) 的图象上有一点 P(t , t ) ,此函数与 x 轴﹑直线 x ? ?1 及 x ? t 围成 图形(如右图阴影部分)的面积为S,则S与 t 的函数关系图可表示为( )

6.若 tan ? ? 3, 则 A.2 7.已知 A.0 B.3

2 sin ? cos ? 的值为( ) 1 ? sin 2 ?
C.4 D.6

f (sin x) ? sin 3x, 则f (cos 30 ? ) ? ( )
B.1 C.-1 D.

3 2 2 8.函数 f ( x) ? log 1 ( x ? 2 x ? 3) 的单调递增区间是()
2

A. (1,??) B. (??,?3) C. (?1,??) D. (??,?1)

1

9.已知函数 f ( x) ? ( x ? a)(x ? b)(其中 a ? b) 的图象如右图所示, 则函数 g ( x) ? a x ? b 的图象 是( )

A.B.C.D. 10. 已知函数 f ( x ) 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数 x 都有

3 xf ( x ? 1) ? (1 ? x) f ( x) ,则 f ( ) =( ) 2 1 5 A.0 B. C.1 D. 2 2
11 .用 C ( A) 表示非空集合 A 中元素的个数,定义 A ? B ? ?

A ? ?1, 2? , B ? x | ( x 2 ? ax)( x 2 ? ax ? 2) ? 0 ,且 A ? B ? 1 ,设实数 a 的所有可能取值构成集
合 S ,则 C (S ) ? () A.4 B.3 C.2
?

?

?

?C ( A) ? C ( B) , C ( A) ? C ( B) 若 ?C ( B) ? C ( A) , C ( A) ? C ( B) ,

D.1

12.已知函数 f (n) ? log n ?1 (n ? 2), (n ? N ) ,定义:使 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ?? ? f (k ) 为整数的 数 k (k ? N ? ) 叫作企盼数,则在区间[1,1000]内这样的企盼数共有( A.7 B.8 C.9 D.10 )个.

二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 13.函数 f ( x) ? 2 x
2

?2 x?3

的值域是.

14.若函数 f ( x) ? ? x ? 2ax 与 g ( x) ?
2

a 在区间[1,2]上都是减函数,则实数 a 的取值范围是 x

___________________. 15.已知

f ( x) ? 2 | x ? a| 的图像关于直线 x ? 1 对称,则实数 a 的值为_____________.
a
的取值范围是

2 ? ? x ? 2 x..( x ? 0) 16. 已 知 函 数 f ( x) ? ? , 则使f (a 2 ) ? f (4a ) 成 立 的 实 数 2 ? ? x ? 2 x ..( x ? 0 ) ?

_________________.

2

三、解答题(每小题 14 分,共 70 分) 17. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? (1)设 f ( x) 的定义域为 A,求集合 A; (2)判断函数 f ( x) 在(1,+ ? )上单调性,并用单调性的定义加以证明. 18.(本小题满分 14 分)某机械生产厂家每生产产品 x (百台) ,其总成本为 G ( x) (万元) ,其 中固定成本为 2.8 万元, 并且每生产 1 百台的生产成本为 1 万元 (总成本=固定成本+生产成本) . 销

1 . x ?1
2

??0.4 x 2 ? 4.2 x ? 0≤x≤5 ? ? 售收入 R ( x) (万元)满足 R ? x ? ? ? ,假定生产的产品都能卖掉,请完成 ? x ? 5? ? ?11
下列问题: ⑴写出利润函数 y ? f ( x) 的解析式; ⑵工厂生产多少台产品时,可使盈利最多?

19.(本小题满分 14 分)设 f ( x) ? mx2 ? 3(m ? 4) x ? 9 (1)试判断函数 f ( x ) 零点的个数; (2)若满足 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,求 m 的值; (3)若 m=1 时, x ? ?0,2? 上存在 x 使 f ( x) ? a ? 0 成立,求 a 的取值范围. 20.(本小题满分 14 分)设 a 为实数,函数 f ( x) ? x x ? a , (1)讨论 f ( x ) 的奇偶性; (2)当 0 ? x ? 1 时,求 f ( x ) 的最大值. 21.(本小题满分 14 分)设函数 f ( x) ? 求 t 的值; (2)若 f (1) ? 0 ,求使不等式 f (kx ? x ) ? f ( x ? 1) ? 0 对一切 x ? R 恒成立的实数 k 的取值范 围;
2

a 2 x ? (t ? 1) (a ? 0且a ? 1) 是定义域为 R 的奇函数.(1) ax

( 3 ) 若 函 数 f ( x) 的 图 象 过 点 (1, ) , 是 否 存 在 正 数

3 2

m

, 且 m ?1 使 函 数

若存在,求出 m 的值, 若不存在, g ( x) ? logm [a 2 x ? a ?2 x ? mf ( x)] 在 [1, log2 3] 上的最大值为 0 , 请说明理由.
3

汕头市金山中学 2015-2016 学年第一学期期中考试高 一 数 学 试 题 答 案 1-12、DDDCB [4,+ ) 13、 14、 DABAA BB

0 ? a ?1
15、 1 16、

(??,0) ? (4,??)

17.解: (1)由 x 2 ? 1 ? 0 ,得 x ? ?1 , 所以,函数 f ( x) ?

1 的定义域为 {x ? R | x ? ?1} x ?1 1 (2)函数 f ( x) ? 2 在 (1, ??) 上单调递减. x ?1
2

证明:任取 x1 , x2 ? (1, ??) ,设 x1 ? x2 ,

则 ?x ? x2 ? x1 ? 0,

?y ? y2 ? y1 ?

( x ? x )( x ? x ) 1 1 ? 2 ? 1 2 2 12 2 x ? 1 x1 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)
2 2

2 ? x1 ? 1, x2 ? 1, ? x12 ?1 ? 0, x2 ?1 ? 0, x1 ? x2 ? 0.

又 x1 ? x2 ,所以 x1 ? x2 ? 0, 故 ?y ? 0. 因此,函数 f ( x) ? 18.

1 在 (1, ??) 上单调递减. x ?1
2

19.解: (1)①当 m ? 0 时, f ( x) ? ?12 x ? 9 为一次函数,有唯一零点

②当 m ? 0 时,由 ? ? 9(m ? 4) ? 36m ? 9(m ? 2) ? 108 ? 0 故 f ( x ) 必有两个零点
2 2

(2)由条件可得 f ( x) 的图像关于直线 x ? 1 对称,∴ ?
4

3(m ? 4) ? 1且m ? 0 2m

解得: m ?

12 5

(3)依题原命题等价于 f ( x) ? a ? 0 有解,即 f ( x) ? a 有解 ∴ 需a ? f ( x) max ∵ f ( x ) 在 ? 0, 2? 上递减 ∴ f ( x) max ? f (0) ? ?9 故 a ? ?9

20.解: (1)当时 a ? 0 , f (?x) ? ?x ? x ? ?x x ? ? f ( x) ,此时 f ( x ) 为奇函数。 当 a ? 0 时, f (a) ? 0 , f (?a) ? ?a ? a ? a ? ?2a a ? 0 , 由 f (?a) ? f (a) 且 f (?a) ? ? f (a) ,此时 f ( x ) 既不是奇函数又不是偶函数 (2) 当 a ? 0 时, ∵ 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x( x ? a) 为增函数, ∴ x ? 1 时, f ( x) max ? f (1) ? 1 ? a . 当 a ? 0 时,∵ 0 ? x ? 1 ,
2 ∴ f ( x) ? x( x ? a ) ? x ? ax ,其图象如图所示:

①当

a ? 1 ,即 a ? 2 时, f ( x) max ? f (1) ? a ? 1 . 2

②当

a a2 a 1? 2 ?1? a ,即 2( 2 ? 1) ? a ? 2 时, f ( x) max ? f ( ) ? 2 4 2 2
1? 2 a ? 1 ,即 0 ? a ? 2( 2 ? 1) 时, f ( x) max ? f (1) ? 1 ? a 2

③当

综上:当 a ? 2( 2 ? 1) 时, f ( x) max ? 1 ? a ;当 2( 2 ? 1) ? a ? 2 时, f ( x) max 当 a ? 2 时, f ( x) max ? a ? 1 ; 21.(1)法 1:? f ( x) 是定义域为 R 的奇函数? f (0) ? 0 此时 f ( x) ? a ? a
x ?x

a2 ? ; 4

故 f (? x) ? a

?x

? a x ? ? f ( x) 成立? t 的值为 2
5

法 2:? f ( x) 是定义域为 R 的奇函数? f (? x) ? ? f ( x) 即 a ? x ? (t ? 1)a x ? ?[a x ? (t ? 1)a ? x ] ? (2 ? t )(a x ? a ? x ) ? 0 对 x ? R 恒成立

?2 ? t ? 0即t ? 2
(2)由(1)得 f ( x) ? a x ? a ? x 由 f (1) ? 0 得 a ?

1 ? 0又a ? 0?a ?1 a

由 f (kx ? x 2 ) ? f ( x ? 1) ? 0 得 f (kx ? x 2 ) ? ? f ( x ? 1)

? f ( x) 为奇函数? f (kx ? x 2 ) ? f (1 ? x) ? a ? 1

? f ( x) ? a x ? a ? x 为 R 上的增函数
? kx ? x 2 ? 1 ? x 对一切 x ? R 恒成立,即 x 2 ? (k ? 1) x ? 1 ? 0 对一切 x ? R 恒成立
故 ? ? (k ? 1) 2 ? 4 ? 0 解得 ? 3 ? k ? 1 (3)假设存在正数 m ,且 m ? 1 符合题意,由 a ? 2 得

g ( x) ? logm [a 2 x ? a ?2 x ? mf ( x)] = logm [22 x ? 2?2 x ? m(2 x ? 2? x )] ? logm [(2 x ? 2? x ) 2 ? m(2 x ? 2? x ) ? 2]
x ?x 设 t ? 2 ? 2 则 (2 x ? 2 ? x ) 2 ? m(2 x ? 2 ? x ) ? 2 ? t 2 ? mt ? 2

3 8 ? x ? [1, log2 3] ? t ? [ , ] 记 h(t ) ? t 2 ? mt ? 2 2 3

? 函数 g ( x) ? logm [a 2 x ? a ?2 x ? mf ( x)] 在 [1, log2 3] 上的最大值为 0
3 8 ? (ⅰ)若 0 ? m ? 1 时,则函数 h(t ) ? t 2 ? mt ? 2 在 [ , ] 有最小值为 1 2 3 m 1 13 3 17 3 ? ? hmin (t ) ? h( ) ? ? m ? 1 ? m ? ,不合题意 由于对称轴 t ? 2 2 6 2 4 2 3 8 2 (ⅱ)若 m ? 1 时,则函数 h(t ) ? t ? mt ? 2 ? 0 在 [ , ] 上恒成立,且最大值为 1,最小值大 2 3
于0

25 ? 1 m 25 ? ? ? 1? m ? ? ? 73 ? 2 2 12 ? 6 ?? ?m? ① ? 24 ?h(t ) ? h( 8 ) ? 1 ?m ? 73 max ? ? 3 24 ? ?
6

又此时

73 m 73 ? 3 8 ? ? ? ? , ? , 又h(t ) min ? h( ) ? 0 故 g ( x) 在 [1, log2 3] 无意义 48 2 48 ? 2 3 ?

所以 m ?

73 应舍去 24

25 ? ? m 25 m? ? ? ? ? 2 12 ? 6 ?? ?m 无解综上所述:故不存在正数 m ,使函数 ② ? 3 13 ?h(t ) ? m? max ? h( ) ? 1 ? ? 2 6 ? ?

g ( x) ? logm [a 2 x ? a ?2 x ? mf ( x)] 在 [1, log2 3] 上的最大值为 0

7


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