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江苏省南通市通州区2011-2012学年度第一学期期中考试高二数学试卷


南通市通州区 2011-2012 学年度第一学期期中考试高二数学试卷
一、填空题(每小题 5 分,共 70 分) 1. 三条直线两两平行,则过其中任意两条直线可确定
2 2



个平面. ▲ .

2. 方程 x ? y ? x ? y ? m ? 0 表示一个圆,则 m 的取值范围是


3. 已知异面直线 a 和 b 所成的角为 50°,P 为空间一定点,则过点 P 且与 a、b 所成角都是 30°的直 线有且仅有 ▲ 条.

4. 已知两条直线 m, n ,两个平面 ? , ? ,给出下面四个命题: ① m // n, m ? ? ? n ? ? ③ m // n, m // ? ? n // ? ② ? // ? , m ? ? , n ? ? ? m // n ④ ? // ? , m // n, m ? ? ? n ? ? 其中真命题的序号是 ▲ ▲ ▲ . . .

5. 空间直角坐标系中,点 A(2,5,6) ,点 P 在 y 轴上, PA ? 7 ,则点 P 的坐标为 6. 已知圆 C1 : x2 ? y 2 ? 6 x ? 6 ? 0 ,圆 C2 : x2 ? y 2 ? 4 y ? 6 ? 0 则两圆的位置关系为

7. 如 右 图 所 示 , 梯 形 A1 B1 C1 D1是 一 平 面 图 形 A B C D的 直 观 图 . 若 A1 D1 // O1 y , A1 B1 // C1 D1 ,
2 A1 B1 ? C1 D1 ? 2 , A1 D1 ? O ' D1 ? 1 .则原图形的面积为 3





8. 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AA1 ? a ,E、F 分别是 BC、DC 的 中点,则 AD1与EF 所成的角的大小为
2 2





9. 与 圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 有 相 同 的 圆 心 , 且 与 直 线 2 x ? y ? 1 ? 0 相 切 的 圆 的 方 程 是 ▲ . ▲ .

10. 过两点 A(m2 ? 2, m2 ? 3) , B(3 ? m2 ? m, 2m) 的直线 l 的倾斜角为 45°, 则实数 m 的值为 11. 设圆 x ? y ? 4 x ? 5 ? 0 的弦 AB 的中点为 P(3,1) ,则直线 AB 的方程是
2 2





12. 一条直线被两直线 l1 : 4x ? y ? 6 ? 0 , l2 : 3x ? 5 y ? 6 ? 0 截得的线段的中点恰好是坐标原点,该
直线方程为 ▲ .

13.已知线段 AB 的端点 B 的坐标是(4,3),端点 A 在圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 上运动,则线段 AB 的中点轨迹 方程为 ▲ .

14. 一只蚂蚁从棱长为 1 的正方体的表面上某一点 P 处出发,走遍正方体的每个面的中心的最短距离

d=f(P), 那么 d 的最大值是 二、解答题(共 90 分) 15. (本小题满分 14 分)





D1 A1 D O A B
y 19 A G o 25

C1 B1

已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 , O 是底 ABCD 对角线的交点. 求证: (1)C1O∥面 AB1D1 ; (7 分) (2 ) A1C ? 面 AB1D1 . (7 分) 16. (本题满分 14 分) 在学校的东南方有一块如图所示的地,其中两面是不能动的围墙,在边界

C

OAB 内是不能动的一些体育设施.现准备在此建一栋教学楼,使楼的底面为一
矩形,且靠围墙的方向须留有 5 米宽的空地,问如何设计,才能使教学楼的面 积最大? 17. (本题满分 15 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 是底面边长为 1 的正方形, PD⊥BC, PD=1,PC= 2 . (Ⅰ)求证:PD⊥面 ABCD; (7 分) (Ⅱ)求二面角 A-PB-D 的大小. (8 分) 18. (本题满分 15 分) 已知圆 C : ? x ? 1? ? y ? 9 内有一点 P(2,2) ,过点 P 作直线 l 交
2 2

39 5 B

x

P

D A B

C

圆 C 于 A、B 两点. (1) 当 l 经过圆心 C 时,求直线 l 的方程; (5 分) (2) 当弦 AB 被点 P 平分时,写出直线 l 的方程; (5 分) (3) 当直线 l 的倾斜角为 45? 时,求弦 AB 的长. (5 分) 19. (本题满分 16 分) 已知圆 C : x ? ( y ? 2) ? 1
2 2

(1)求与圆 C 相切且在坐标轴上截距相等的直线方程; (8 分) (2)和圆 C 外切且和直线 y ? 1 相切的动圆圆心轨迹方程. (8 分) 20. (本题满分 16 分) 已知圆 C:x2+y2+2x-4y+3=0 (1)若 C 的切线在 x 轴,y 轴上的截距的绝对值相等,求此切线方程; (8 分) (2)从圆 C 外一点 P(x1,y1)向圆引一条切线,切点为 M,O 为原点,且有|PM|=|PO|,求使|PM|最小

的 P 点的坐标. (8 分)

南通市通州区 2011-2012 学年度第一学期期中考试高二数学答卷
2011 年 11 月 3 日

题号 分数

一 1—14 15 16 17

二 18 19 20 总分

一、填空题(每小题 5 分,满分 70 分)
得分 评卷人 1. 3. 5. 8. 11. 14. 6. 9. 12. 2. 4. 7. 10. 13.

二、解答题
得分 评卷人 15. (本小题满分 14 分)

D1 A1 D O A B B1

C1

C

得分

评卷人

16. (本小题满分 14 分)

y 19 A

25

39 G 5 B

o

x

P

D A B

C

得分

评卷人 18. (本小题满分 15 分)

得分

评卷人 19. (本小题满分 16 分)

得分

评卷人 20. (本小题满分 16 分)

南通市通州区 2011-2012 学年度第一学期期中考试高二数学试卷

参考答案
一、填空题 1.1 或 3 5. (0,2,0) 或 (0,8,0)
2 2 9. (x ? 1 ) ? (x ? 2) ?5

2. m ? 6. 相交.

1 2

3. 2. 7. 5 11. x ? y ? 4 ? 0

4. ①④ 8. 60° 12. x ? 6 y ? 0

10. m ? ?2 . 14. 5 ? 2 2

3 3 13. ( x ? )2 ? ( y ? )2 ? 1 2 2 二、解答题 15.(本小题满分 14 分)

(1)证明:连结 A1C1 ,设 AC 1 1

B1D1 ? O1 ,连结 AO1 ,

ABCD ? A1B1C1D1 是正方体 , ? A1 ACC1 是平行四边形, ? AC AC 且 AC 1 1 ? AC , 1 1 ?O1C1 AO 且 O1C1 ? AO ,
又 O1 , O 分别是 AC 1 1 , AC 的中点,

? AOC1O1 是平行四边形,

?C1O AO1 , AO1 ? 面 AB1D1 , C1O ? 面 AB1D1 ,

? C1O 面 AB1D1 。 (7 分)
(2)证明:连结A1 B, A1C ,? 在正方形ABCD-A1B1C1D1中, A1 B ? AB1 , 又 ? BC ? AB1 , 又 ? AB1 ? A1C , 同理可证:AD1 ? A1C , 又 ? A1C ? 平面AB1 D( 1 . 7分)
16. (本小题满分 14 分) 解:如图建立坐标系,
x y ? ? 1 ,即 x+y=20. (4 分) 20 20 设 G(x,y),由 y=20-x 可知 G(x,20-x). ∴ S ? [39 ? 5 ? (20 ? x)][25 ? (5 ? x)] ? (14 ? x)(20 ? x)

BC ? 平面ABB1A1 , AB1 ? 平面ABB1A1 , A1 B, BC ? 平面A1BC,A1 B BC=B, A1C ? 平面A1BC, AD1 ,AB1 ? 平面AB1 D1 ,

? AB1 ? 平面A1BC, 又

可知 AB 所在直线方程为

= ? x2 ? 6 x ? 20 ?14 ? ?( x ? 3)2 ? 289 .(10 分)

由此可知,当 x=3 时,S 有最大值 289 平方米. 故在线段 AB 上取点 G(3, 17), 过点分别作墙的平行线, 在离墙 5 米处确定矩形的另两个顶点 H、 I,则第四个顶点 K 随之确定,如此矩形地面的面积最大. (14 分) 17. (本小题满分 15 分) (Ⅰ)证明:

PD ? DC ? 1, PC ? 2 ,

??PDC是直角三角形,即PD ? CD .……2 分


PD ? BC, BC CD ? C ,

∴ PD⊥面 ABCD………7 分 (Ⅱ)解:连结 BD,设 BD 交 AC 于点 O, 过 O 作 OE⊥PB 于点 E,连结 AE, ∵PD⊥面 ABCD, ∴ AO ? PD , 又∵AO⊥BD, ∴AO⊥面 PDB. ∴AO⊥PB, 又∵ OE ? PB, OE

AO ? O ,

∴ PB ? 平面AEO ,从而 PB ? EO , 故 ?AEO 就是二面角 A-PB-D 的平面角.……………………10 分 ∵ PD⊥面 ABCD, ∴PD⊥BD, ∴在 Rt△PDB 中, PB ? 又∵

PD2 ? BD2 ? 1 ? 2 ? 3 ,

OE OB , ? PD PB

∴ OE ?

6 ,………………………………………12 分 6

2 AD ? tan ?AEO ? ? 2 ? 3, OE 6 6



?AEO ? 60 .

故二面角 A-PB-D 的大小为 60°. …………………15 分 18.(本小题满分 15 分)

? x ? 1? (1)已知圆 C:

2

? y2 ? 9

的圆心为 C (1, 0) , 因直线过点 P、 C, 所以直线 l 的斜率为 kl ?

2?0 ? 2, 2 ?1

(2 分) 直线 l 的方程为 y=2(x-1),即

2x-y-2=0.

(5 分)

(2)当弦 AB 被点 P 平分时, l ⊥PC, 所以 kl k pc ? ?1 , (2 分) 又 k pc ?

2?0 1 ? 2 ,所以 kl ? ? , 2 ?1 2

(3 分)

1 y ? 2 ? ? ( x ? 2) 2 故直线 l 的方程为 , 即 x+2y-6=0 . (5 分)
(3)当直线 l 的倾斜角为 45? 时,斜率为 1,直线 l 的方程为 y-2=x-2 ,即 x-y=0, (2 分) 圆心 C 到直线 l 的距离为 d ?

1?1 ? ? ?1? ? 0 ? 0 1 ?1
2 2

?

2 , (3 分) 2
2

? 2? 圆的半径为 3,所以弦 AB 的长 AB ? 2 3 ? ? ? 2 ? ? ? ?
2

?

34 .(5 分)

19.

(本小题满分 16 分)

(1)

x y ? ?1 x? y?a?0 a 当直线不过原点时,设所求方程为 a ,即:
|2?a| ?1 2 由点到直线距离公式得: ,解得: a ? 2 ? 2 (3 分)
(2) 当直线过原点时,设方程为: 由点到直线距离公式得:

kx ? y ? 0 ,

| ?2 | k2 ?1

? 1 ,解得: k ? ? 3 (3 分)

故所求方程为:

x ? y ? 2 ? 2 ? 0 或 y ? ? 3x (8 分)
x 2 ? ( y ? 2)2 ? 1 ?| y ? 1|
( x ? 0 )(5 分) (8 分) (3 分)

(2)设动圆圆心为 P(x,y),由已知条件得:

x2 ? 4 y ? 1 ? 0 时,化简整理得: y ? 4 当


y ? 1 ? 0 时,方程为 x ? 0( y ? 1)
kx ? y ? 0 ,

20.(本题满分 16 分) (1)当直线过原点时,设方程为: 由点到直线距离公式得:

| ?k ? 2 | k ?1
2

? 2 ,解得: k ? 2 ? 6 (3 分)
----------------------3 分

切线的方程为: y

? (2 ? 6) x

(2)当直线不过原点时,∵切线在 x 轴,y 轴上的截距的绝对值相等, ∴切线的斜率是± 1. 分别依据斜率设出切线的斜率,用点到直线的距离公式,或△ 法,解得切线的方程为: x+y-3=0, ----------------------5 分 x+y+1=0, ----------------------6 分

x-y+5=0,

----------------------7 分
2

x-y+1=0. ----------------------8 分

(2)将圆的方程化成标准式(x+1) +(y-2)2=2,圆心 C(-1,2) ,半径 r= 2 , 2 2 2 ∵切线 PM 与 CM 垂直,∴|PM| =|PC| -|CM| , 又∵|PM|=|PO|,坐标代入化简得 2x1-4y1+3=0. ----------------------10 分 |PM|最小时即|PO|最小,而|PO|最小即 P 点到直线 2x1-4y1+3=0 的距离,即

3 5 . 10

9 ? 2 2 3 3 ? x ? y1 ? 从而解方程组 ? 1 .----------16 分 20 ,-----13 分 得满足条件的点 P 坐标为(-10 ,5 ) ? ?2 x1 ? 4 y1 ? 3 ? 0


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