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第二讲 椭圆、双曲线、抛物线


随堂讲义
专题六 解析几何 第二讲 椭圆、双曲线、抛物线

对圆锥曲线的方程与性质的考查是高考的重点,一 般是综合题,常用到一元二次方程根与系数的关系、平 面向量等知识,该类试题多以直线与圆锥曲线为背景, 常与函数与方程、不等式、向量知识交汇,形成求方程、 求参数、求面积、定值的证明等综合题. 预测2016年高考多以解答题形式出现,考查学生利 用数

学知识分析、解决问题的能力,考查论证、推理、 运算能力,考查数形结合的思想.

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例 1

x2 y2 如图,F1、F2 分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0) a b

的左、右焦点,A 是椭圆 C 的顶点,B 是直线 AF2 与椭圆 C 的另一个交点,∠F1AF2=60°.

(1)求椭圆 C 的离心率. (2)已知△AF1B 的面积为 40 3,求 a, b 的值.

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解析:(1)由题意可知,△AF1F2 为等边三角形,a=2c,所以 e 1 = . 2 (2)解法一 a2=4c2,b2=3c2,

直线 AB 的方程为 y=- 3(x-c),
?8 3 3 ? 将其代入椭圆方程 3x +4y =12c ,解得 B? c,- c? , 5 5 ? ?
2 2 2

?8 ? 16 所以|AB|= 1+3·?5c-0?= c. ? ? 5

1 1 16 3 2 3 2 由 S△AF1B= |AF1|· |AB|·sin∠F1AB= a· c· = a 2 2 5 2 5 =40 3,解得 a=10,b=5 3.

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解法二

设|AB|=t,

因为|AF2|=a,所以|BF2|=t-a, 由椭圆定义 |BF1|+|BF2|=2a 可知,|BF1|=3a-t. 再由余弦定理 8 (3a-t)2=a2+t2-2atcos 60°可得,t= a. 5 1 8 3 2 3 2 由 S△AF1B= a· a· = a =40 3知, 2 5 2 5 a=10,b=5 3.

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(1)已知离心率,就是知道一个a,b,c的等式.
(2)与焦点相关的问题注意运用圆锥曲线的定义求解.

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x2 y2 1.如图,已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0),F1,F2 分别为椭圆 a b 的左、右焦点,A 为椭圆的上顶点,直线 AF2 交椭圆于另一点 B.

(1)若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率; 3 → → → → (2)若AF2=2F2B,AF1·AB= ,求椭圆的方程. 2

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解析: (1)若 ∠F1AB= 90°,则 △AOF2 为等腰直角三角形,所 以有 OA=OF2,即 b=c.所以 a= 2c, c 2 e= = . a 2 (2)由题知 A(0,b),F1(-c,0),F2(c,0), 其中,c= a2-b2,设 B(x,y). → =2F → 由AF 2 2B,得(c,-b)=2(x-c,y), 3c b 3c b 解得 x= ,y=- ,即 B( ,- ). 2 2 2 2

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9 2 b2 c 4 4 x2 y2 将 B 点坐标代入 2+ 2=1,得 2 + 2=1, a b a b 9c2 1 即 2+ =1,解得 a2=3c2.① 4a 4 3c 3b 3 → → 又由AF1·AB=(-c,-b)· ( ,- )= ,得 b2-c2=1,即有 2 2 2 a2-2c2=1.② 由①②解得 c2=1,a2=3,从而有 b2=2. x2 y2 所以椭圆方程为 + =1. 3 2

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例2 (1,0).

? 3? 已知,椭圆 C 过点 A?1,2?,两个焦点分别为(-1,0), ? ?

(1)求椭圆 C 的方程. (2)E,F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数,证明直线 EF 的斜率为定值,并求出这个定值.

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x2 y2 解析:(1)由题意,c=1,可设椭圆方程为 + 2=1. 1+b2 b 1 9 4 2 2 因为点 A 在椭圆上, 所以 + 2=1, 解得 b =3 或 b =- 3 1+b2 4b (舍去). x2 y2 所以椭圆方程为 + =1. 4 3 3 x2 y2 (2)证明:设直线 AE 的方程为 y=k(x- 1)+ ,代入 + =1, 2 4 3 得
?3 ?2 (3+4k )x +4k(3-2k)x+4?2-k? -12=0. ? ?
2 2

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? 3? 设 E(xE,yE),F(xF,yF).因为点 A?1,2 ?在椭圆上,所以 xE+1 ? ?

4k(3-2k) =- . 3+4k2
?3 ?2 4?2-k? -12 ? ?

所以 xE=

3+4k2



3 yE=kxE+ -k. 2 又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数,在上式中以-k 代 k,可得

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xF=

?3 ?2 ? 4 2+k? -12 ? ?

3+4k2



3 yF=-kxF+ +k. 2 所以直线 EF 的斜率 kEF= = -k( xF+xE)+2k xF-xE yF-yE xF-xE

1 = . 2 1 即直线 EF 的斜率为定值,其值为 . 2

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解析几何中的最值问题涉及的知识面较广, 解法灵活多 样,但最常用的方法有以下几种: (1)利用函数,尤其是二次函数求最值; (2)利用三角函数,尤其是正、余弦函数的有界性求最 值; (3)利用不等式,尤其是均值不等式求最值; (4)利用判别式法求最值; (5)利用数形结合,尤其是切线的性质求最值.

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x2 2.(2014· 江西卷 )如图,已知双曲线 C: 2-y2=1(a>0)的右焦 a 点为 F.点 A,B 分别在 C 的两条渐近线上,AF⊥x 轴,AB⊥OB, BF∥OA(O 为坐标原点).

(1)求双曲线 C 的方程; x0x (2)过 C 上一点 P(x0, y0)(y0≠0)的直线 l: 2 -y0y=1 与直线 AF a 3 相交于点 M,与直线 x= 相交于点 N.证明:当点 P 在 C 上移动时, 2 |MF| 恒为定值,并求此定值. |NF|

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分析: (1)结合双曲线的几何性质,利用方程思想求解; (2)先确 定直线方程并求解相应的交点坐标,再代入化简求值. (1):设 F(c,0),因为 b=1,所以 c= a2+1,直线 OB 方程为 1 1 c c y=- x,直线 BF 的方程为 y= (x-c),解得 B( ,- ). a a 2 2a 1 又直线 OA 的方程为 y= x, a c c -(- ) a 2a c 3 则 A(c, ), kAB= = . a c a c- 2 3 1 又因为 AB⊥OB,所以 ·(- )=-1,解得 a2=3, a a x2 故双曲线 C 的方程为 -y2=1. 3

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(2)由(1)知 a= 3,则直线 l 的方程为 x0x-3 x0x -y0y=1(y0≠0),即 y= . 3 3y0 因为直线 AF 的方程为 x=2,所以直线 l 与 AF 的交点 M(2, 2x0-3 ); 3y0

? 3x0-3? 3 直线 l 与直线 x= 的交点为 N?3 2 ?. 2 , ?2 3y0 ?
则 |MF|2 |NF|2 = (2x0-3)2 (3y0)2 3 ( x0-3)2 2 1 + 4 (3y0)2 = (2x0-3)2 9y2 9 0 + (x0-2)2 4 4 =

(2x0-3)2 4 · 2. 3 3y2 0+3(x0-2)

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x2 0 因为 P(x0,y0)是 C 上一点,则 -y2 0=1,代入上式得 3
2 (2x0-3)2 |MF|2 4 4 (2x0-3) 4 = · = , 2= · |NF|2 3 x2 3 4x2 3 0-3+3(x0-2) 0-12x0+9

|MF| 2 2 3 所求定值为 = = . |NF| 3 3

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例 3 如图,动点 M 与两定点 A(-1,0),B(1,0)构成△MAB, 且直线 MA,MB 的斜率之积为 4,设动点 M 的轨迹为 C.

(1)求轨迹 C 的方程. (2)设直线 y=x+m(m>0)与 y 轴相交于点 P,与轨迹 C 相交于 |PR| 点 Q,R,且|PQ|<|PR|,求 的取值范围. |PQ|

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解析:(1)设 M 的坐标为(x,y),当 x=-1 时,直线 MA 的斜率 不存在; 当 x=1 时, 直线 MB 的斜率不存在. 于是 x≠1 且 x≠-1.此时, y y MA 的斜率为 ,MB 的斜率为 . x+1 x-1 y y 由题意,有 · =4. x+1 x-1 化简可得,4x2-y2-4=0. 故动点 M 的轨迹 C 的方程为 4x2-y2-4=0(x≠± 1).

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? ?y=x+m, (2)由? 2 消去 y, 2 ? ?4x -y -4=0

可得 3x2-2mx-m2-4=0.① 对于方程①,其判别式

Δ=(-2m)2-4×3(-m2-4)=16m2+48>0,
而当 1 或-1 为方程①的根时,m 的值为-1 或 1. 结合题设(m>0)可知,m>0 且 m≠1. 设 Q,R 的坐标分别为(xQ,yQ),(xR,yR),则 xQ,xR 为方程① 的两根.

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因为|PQ|<|PR|,所以|xQ|< |xR|. m-2 m2+3 m+2 m2+3 xQ= ,xR= . 3 3 |PR| ?xR ? 所以 =?x ?= |PQ| ? Q ? 2 3 1+ 2-1 m 2 2 . 3 1+ 2+1 m 3 1+ 2-1 m

=1+ 2

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此时

3 1+ 2>1, 且 m 2

3 1+ 2≠2, 所以 1<1+ m 2

2 3 1+ 2-1 m



3,且 1+ 2

5 ≠ , 3 3 1+ 2-1 m

|PR| ?xR ? |PR| ?xR ? 5 所以 1< =? ?<3,且 =? ?≠ . |PQ| ?xQ? |PQ| ?xQ? 3
? ? 5? ?5 |PR| ? ? ? 综上所述, 的取值范围是 1,3 ∪ 3,3?. |PQ| ? ? ? ?

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与圆锥曲线相关的参数问题是高考考查的热点问题. 解决这类问 题常用以下方法: (1)根据题意建立参数的不等关系式,通过解不等式求出范围. (2)用其他变量表示该参数,建立函数关系,然后利用求值域的 相关方法求解. (3)建立某变量的一元二次方程,利用判别式求该参数的范围. (4)研究该参数所对应的几何意义,利用数形结合法求解.

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3.已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,以两个焦点和短 轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为 8 的正方形(记为 Q). (1)求椭圆 C 的方程; (2)设点 P 是椭圆 C 的左准线与 x 轴的交点,过点 P 的直线 l 与 椭圆 C 相交于 M,N 两点,当线段 MN 的中点落在正方形 Q 内(包 括边界)时,求直线的斜率的取值范围.

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x2 y2 解析: (1)依题意,设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0),焦 a b 距为 2c, 1 由题设条件知,a2=8,b=c,所以 b2= a2=4. 2 x2 y2 故椭圆 C 的方程为 + =1. 8 4 (2)椭圆 C 的左准线方程为 x=-4, 所以点 P(-4,0). 显然直线 l 的斜率 k 存在,所以直线 l 的方程为 y=k(x+4).

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如图,设点 M,N 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段 MN 的 中点为 G(x0,y0), k( x+4), ? ?y= 由?x2 y2 得 ? ? 8 + 4 =1, (1+2k2)x2+16k2x+32k2-8=0.① 由Δ=(16k2)2-4(1+2k2)(32k2-8)>0,解得 2 2 - <k< .② 2 2

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16k2 因为 x1,x2 是方程①的两根,所以 x1+x2=- , 1+2k2 x1+ x2 8k2 于是 x0= =- , 2 1+2k2 4k y0=k(x0+4)= . 1+2k2 8k2 因为 x0=- ≤0,所以点 G 不可能在 y 轴的右边, 1+2k2 又直线 F1B2,F1B1 方程分别为 y=x+2,y=-x-2, 所以点 G 在正方形 Q 内(包括边界)的充要条件为

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? ?y0≤x0+2, ? 即 ? ?y0≥-x0-2,

? ? 4k 8k ?1+2k ≥1+2k -2,
2 2 2

4k 8k2 ≤- +2, 1+2k2 1+2k2

2 ? ?2k +2k-1≤0, 亦即? 2 ? ?2k -2k-1≤0.

3-1 3- 1 解得- ≤k≤ ,此时②也成立. 2 2
? 3-1 3-1? ?. 故直线 l 斜率的取值范围是?- , 2 2 ? ?

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x2 y2 例 4 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0) a b 的左、右焦点分别为 F1,F2.F2 也是抛物线 C2:y2=4x 的焦点,点 M 5 为 C1 与 C2 在第一象限的交点,且|MF2|= . 3 (1)求椭圆 C1 的方程; → =MF → +MF → ,直线 l∥MN,且与 C (2)平面上的点 N 满足MN 1 2 1 → ·OB → =0,求 l 的方程. 交于 A,B 两点,若OA

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解析:(1)由 C2:y2=4x 知 F2(1,0). 设 M(x1,y1),M 在 C2 上, 5 5 因为|MF2|= ,所以 x1+1= , 3 3
?2 2 6 ? 2 2 6 ?. 得 x1= ,y1= .所以 M? , 3 3 3 ? ?3

又点 M 在 C1 上,且椭圆 C1 的半焦距 c=1, 4 8 ? ?9a2+3b2=1, 于是? ? ?b2=a2-1, 消去 b2 并整理得 9a4-37a2+4=0.

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? ? 1 解得 a=2?a=3不合题意,舍去 ?. ? ?

故 b2=4-1=3. x2 y2 故椭圆 C1 的方程为 + =1. 4 3 → +MF → =MN → 知四边形 MF NF 是平行四边形,其中心 (2)由 MF 1 2 1 2 为坐标原点 O,因为 l∥MN,所以 l 与 OM 的斜率相同. 2 6 3 故 l 的斜率 k= = 6. 2 3 设 l 的方程为 y= 6(x-m).
2 2 ? ?3x +4y =12, 由? 消去 y 并化简得 ? y = 6 ( x - m ) ?

9x2-16mx+8m2-4=0.

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设 A(x1,y1),B(x2,y2), 8m2-4 16m 则 x1+x2= ,x1x2= . 9 9 → ·OB → =0,所以 x x +y y =0, 因为OA 1 2 1 2 x1x2+y1y2=x1x2+6(x1-m)(x2-m) =7x1x2-6m(x1+ x2)+6m2 8m2-4 16m 1 2 =7· -6m· +6m = (14m2-28)=0. 9 9 9 所以 m=± 2.此时Δ=(16m)2-4×9(8m2-4)>0, 故所求直线 l 的方程为 y= 6x-2 3或 y= 6x+2 3.

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平面向量作为数学解题工具,常与平面解析几何综 合考查,因为平面向量具有几何形式和代数形式的双重 身份,能融数形于一体,把向量的关系,即形的关系转 化为数的关系.

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4.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(2,0),B(-2,0),点 3 P 是平面内一动点,直线 PA,PB 的斜率之积为- . 4 (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程;
?1 ? (2)过点?2,0?作直线 l 与轨迹 C 交于 E,F 两点,线段 EF 的中 ? ?

点为 M,求直线 MA 的斜率 k 的取值范围.

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y y 解析:(1)设点 P(x,y),则依题意,得 kPA·kPB= · = x-2 x+2 3 - (x≠± 2). 4 x2 y2 化简,得 + =1(x≠± 2). 4 3 x2 y2 故动点 P 的轨迹 C 的方程为 + =1(x≠± 2). 4 3 (2)依题意,可设点 M(x,y),E(x+m,y+n),F(x-m,y- n),

? 则? (x-m) (y-n) ? 4 + 3 =1.
2 2

(x+m)2 (y+n)2 + =1, 4 3

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?1 ? 4mx 4ny ? 两式相减,得 + =0.当直线 l 垂直于 x 轴时,M 2,0?. 4 3 ? ?

n 3x y-0 当直线 l 不垂直于 x 轴时,由题意可得 kEF= =- = .由此得 m 4y 1 x- 2 点 M 的轨迹方程为 6x2+8y2-3x=0(x≠0).
? ?y=k( x-2), 2 2 设直线 MA : y = k(x - 2) ,则 ? 2 ? (8k + 6)x - 2 ? 6x + 8y - 3x = 0 ?

(32k2+3)x+32k2=0. 1 故由Δ=(32k +3) -4(6+8k )· 32k ≥0?k ≤ . 64
2 2 2 2 2

? 1 1? 解得 k 的取值范围是?-8,8?. ? ?

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1.正确区分椭圆、双曲线标准方程中 a,b,c 三者之间的数量 关系. x2 y2 2.方程 + =1 表示双曲线的充要条件是 mn<0. m n 3.理解圆锥曲线的概念,便于用定义法将某些实际问题转化为 圆锥曲线问题. 4.重视解析几何中的最值问题. 5.解题中认真领会数形结合思想、分类讨论思想. 6.注意解析几何与向量、三角、代数结合的综合性问题.

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