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指数对数函数高考专题练习


高考要求: 1、 理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质. 2、 掌握指数函数的概念、图像和性质. 3、 理解对数的概念,掌握对数的运算性质. 4、 掌握对数函数的概念、图像和性质. 5、 能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 考点回顾: 1.幂的有关概念
n个 ?? ? ? ? ? (1)正整数指数幂 a ? a? a ? a

? ? ? a ( n ? N ) n

(2)零指数幂 a 0 ? 1 (a ? 0) (3)负整数指数幂 a
?n

?

1 ? a ? 0, n ? N ? ? an

(4)正分数指数幂 a ? n am a ? 0, m, n ? N ? , n ? 1 ; (5)负分数指数幂 a
m ?n

m n

?

?

?

1 a
m n

?

1
n

a

m

? a ? 0, m, n ? N

?

, n ? 1?

(6)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义. 2.有理数指数幂的性质

?1? ar as ? ar ?s ? a ? 0, r, s ?Q? r , ? 0 r ,? Q ? ? 3?? ab ? ? a r b r ? a ? 0 b
3.根式的内容
n

? 2? ? ar ?

s

? a rs ? a ? 0, r , s ? Q ?

(1)根式的定义:一般地,如果 x ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n ? 1, n ? N ? ,
n

?

?

a 叫做根式, n 叫做根指数, a 叫被开方数。

(2)根式的性质: ①当 n 是奇数,则 n a n ? a ;当 n 是偶数,则 n a n ? a ? ? ②负数没有偶次方根, ③零的任何次方根都是零 4.对数的内容 (1)对数的概念

?a ?? a

a?0 a?0

如果 a b ? N (a ? 0, a ? 1) ,那么 b 叫做以 a 为底 N 的对数,记 b ? loga N (a ? 0, a ? 1) (2)对数的性质:①零与负数没有对数 (3) 对 数 的 运 算 ② loga 1 ? 0 性 质 ③ loga a ? 1

① loga MN ? loga M ? loga N

② log a

M ? log a M ? log a N N ③ loga M n ? n loga M 其中 a>0,a≠0,M>0,N>0

(4)对数换底公式: loga N ?

logm N ( N ? 0, a ? 0且a ? 1, m ? 0且m ? 1) logm a

5、 指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax (a>0 , a≠1)互为反函数,从概念、图象、性质去理解 它们的区别和联系

名称 一 般 形式 定 义 域 值域 过 定 点 图象

指数函数 Y=a (a>0 且 a≠1) (-∞,+ ∞) (0,+ ∞) (0,1)
x

对数函数 y=logax (a>0 , a≠1) (0,+ ∞) (-∞,+ ∞) (1,0)

指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax (a>0 , a≠1)图象关于 y=x 对称

单 调 性 值 分 布

a> 1,在(-∞,+ ∞)上为增函数 0<a<1, 在(-∞,+ ∞)上为减函数 y>1 ? y<1?

a>1,在(0,+ ∞)上为增函数 0<a<1, 在(0,+ ∞)上为减函数 y>0? y<0?

比较两个幂值的大小,是一类易错题,解决这类问题,首先要分清底数相同还是指数相同, 如果底数相同,可利用指数函数的单调性;指数相同,可以利用指数函数的底数与图象 关系(对数式比较大小同理) 记住下列特殊值为底数的函数图象:

6、 研究指数,对数函数问题,尽量化为同底,并注意对数问题中的定义域限制 7、 指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题, 讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径。 考点训练 考点 1、指数函数、图像、性质(注意参数的分类讨论、及数形结合的应用、转化思想的应 用) 1、已知函数 f ( x) ? A. x x ? 1

1 1 ? x) 的定义域为 N,则 M ? N( ) 的定义域为 M, g ( x) ? ln( 1? x

?

?

B. x x ? 1

?

?

C. x ? 1 ? x ? 1

?

?

D. ?

2、下列函数中,值域为(0,+∞)的是
1

B

( )

A. y ? 5 2 ? x

B. y ? ( )

1 3

1? x

C. y ?

1 ( )x ?1 2

D. y ? 1 ? 2 x

3、.函数 y=loga(-x2-4x+12)(0<a<1))的单调递减区间是 A. (-2,- ? ) B. (-6,-2) C. (-2,2) D. (- ? ,-2] 4、函数 y=log 1 (x -ax+3a)在[2,+∞)上是减函数,则 a 的取值范围是
2
2

(A) (-∞,4) (B) (-4,4]

(C) (-∞,-4)∪[2,+∞] (D)[-4,4]

1 5、若 log a ? 1 ,则实数 a 的取值范围是 2 1 A. 0 ? a ? 或 a ? 1 B. a ? 1 2

C. 0 ? a ?

1 2

D. a ? 2

6、若函数 f ( x) ? loga x(0 ? a ? 1) 在 [a, 2a] 上的最大值是最小值的 3 倍,则 a=

A.

2 4

B.

2 2

C.

1 4

D.

1 2

7、函数 y ? e|ln x| ? | x ? 1 | 的图象大致是( )

7、函数 y=log2(1-x)的图象是 y y y y

O

1

x

-1 O (B)

x

O

1

x

O 1 (D)

x

(A)

(C)

8、 函数 y=-ex 的图象 D A.与 y=ex 的图象关于 y 轴对称 C.与 y=e-x 的图象关于 y 轴对称

B.与 y=ex 的图象关于坐标原点对称 D.与 y=e-x 的图象关于坐标原点对称

9.函数 y ?

? 2 ? log 1 (3x ? 2) 的定义域是____________ ? x | ? x ? 1? 2 ? 3 ?

?x ? 1 ?2 ( x?1) 10.f(x)= ? 则满足 f(x)= 的 x 的值是_______________3 x 4 ? ?log81 ( x?1)

11.函数 f ( x) ? loga (ax2 ? x) 在 x ? [2,4] 上是增函数,则 a 的取值范围是( ).A A. a ? 1 B. a ? 0, a ? 1 C. 0 ? a ? 1 D. a ? ? .
2

12.已知函数 f ( x) 的图象与 g ( x) ? ( ) x 的图象关于直线 y=x 对称,求 f ( 2 x ? x ) 的递 减区间. 解:? f ( x) ? log1 x,
4

1 4

? f (2x ? x 2 ) ? log1 (2x ? x 2 ),
4

由2x ? x 2 ? 0,得x ? (0,2),
? x ? (0,1]时,

而 x ? (0,1]时,

u ? 2 x ? x 2 递增,

f (2x ? x 2 ) 递减.
2x 4 x ?1

13、定义在 R 上的奇函数 f ( x) 有最小正周期为 2,且 x ? (0,1) 时, f ( x) ? (1)求 f ( x) 在[-1,1]上的解析式; (2)判断 f ( x) 在(0,1)上的单调性; (3)当 ? 为何值时,方程 f ( x) = ? 在 x ? [?1,1] 上有实数解. 解(1)∵x∈R 上的奇函数 又∵2 为最小正周期 ∴ f (0) ? 0 ∴ f (1) ? f (1 ? 2) ? f (?1) ? ? f (1) ? 0
2?x 4?x ?1 ? 2x 4 x ?1 ? ? f ( x)

设 x∈(-1,0) ,则-x∈(0,1) , f (? x) ? ∴ f ( x) ? ?
2x 4 x ?1

? 2x x ? (-1,0) ?? x 4 ?1 ? ? f ( x) ? ? 0 x ? {-1,0,1} ? x ? 2 x ? (0,1) x ? ? 4 ?1

(2)设 0<x1<x2<1

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?

(2 x1 ? 2 x2 ) ? (2 xx ? 2 x2 ? 2 x2 ? 2 x1 ) (4 x1 ? 1)(4 x2 ? 1)

=

(2 x1 ? 2 x2 )(1 ? 2 x1 ? x2 ) (4 x1 ? 1)(4 x2 ? 1)

?0

∴在(0,1)上为减函数。 (3)∵ f ( x) 在(0,1)上为减函数。 ∴ f (1) ? f ( x) ? f (0)
2 1 即 f ( x) ? ( , ) 5 2

1 2 同理 f ( x) 在(-1,0)时, f ( x) ? (? ,? ) 2 5 又 f (?1) ? f (0) ? f (1) ? 0 1 2 2 1 ∴当 ? ? (? ,? ) ? ( , ) 或 ? ? 0 时 2 5 5 2 f ( x) ? ? 在[-1,1]内有实数解。

14、已知 f ( x ) ? log a

1? x (a ? 0, a ? 1) 。 1? x

(1)求 f ( x) 的定义域; (2)判断 f ( x) 的奇偶性; (3)求使 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围。

15. 已知 9x-10.3x+9≤0,求函数 y=( 解:由已知得(3x)2-10·3x+9≤0 ∴1≤3x≤9 故 0≤x≤2 而 y=(

1 x-1 1 ) -4· ( )x+2 的最大值和最小值 4 2
得(3x-9) (3x-1)≤0 4' 6'

1 x-1 1 1 1 ) -4·( )x+2= 4· ( )2x-4· ( )x+2 4 2 2 2 1 1 令 t=( )x( ? t ? 1 ) 2 4 1 则 y=f(t)=4t2-4t+2=4(t- )2+1 2 1 当 t= 即 x=1 时,ymin=1 2
当 t=1 即 x=0 时,ymax=2
f ( x ) ? log 2

8' 10' 12'

16、已知 (1)求 f (x) , g (x) 同时有意义的实数 x 的取值范围; (2)求 F(x) = f (x) +g (x )的值域。

x?2 x ? 2 , g ( x) ? log2 ( x ? 2) + log2 ( p ? x) ( p ? 2 )

解: (I)使 f ( x) 、 g ( x) 同时有意义的实数 x 的取值范围 2 ? x ? p ;

(6 分)

(II)F ( x) = f ( x) + g ( x) 的值域为 (1) 当 p ? 6 时, 的值域为 (??, 2log2 ( p ? 2) ? 2] ; (2) 当 2 ? p ? 6 时,的值域为 (??, 2 ? 2log 2 ( p ? 2)) . (12 分)


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