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肇庆市2014-2015学年高二下学期期末考试数学(理)试题


试卷类型:A 肇庆市中小学教学质量评估 2014—2015 学年第二学期统一检测试题

高二数学(理科)
本试卷共 4 页,22 小题,满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项: 1. 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔,将自己所在县(市、区) 、姓名、试室 号、座位号填写在答题卷上对应位置,再用 2B 铅笔将准考证号涂黑。 2.

选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑;如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能写在试卷或草稿纸上。 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域 内相应的位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再在答题区内写上新的答案; 不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效。

?x ? a ? ?b ? 中系数计算公式: 参考公式:线性回归方程 y

?? b

? ( x ? x )( y
i ?1 i n i ?1 i

n

i

? y) ?
2

?x y
i ?1 i

n

i

? nx ? y ? nx
2

?(x ? x)

?x
i ?1

n

?x ,其中 x , y 表示样本均值. ? ? y ?b ,a

2 i

2 ? 2 列联表随机变量 K 2 ?

n(ad ? bc) 2 2 . P( K ? k ) 与 k 对应值表: (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.05 3.841 0.025 5.024
高考网 ] [来源:学优

P( K 2 ? k )
k

0.10 2.706

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.设 z1 ? ?3 ? 4i, z 2 ? 2 ? 3i ,则 z1 ? z 2 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.已知 8 件产品中有 2 件次品,从中任取 3 件,取到次品的件数为随机变量,用 ? 表示,那么 ? 的 取值为 A.0,1 3.计算

B.1,2

C.0,1,2

D.0,1,2,3

?

2

0

x dx ? 2
B.2 C .3 D.4

A.1

4.在曲线 y ? x 3 上切线的斜率为 3 的点是 A. (0,0) B. (1,1)

[来源:学优高考网]

C. (-1,-1)

D. (1,1)或(-1,-1)

5.某射击运动员射击一次,命中目标的概率为 0.8,问他连续射击两次都没命中的概率为 A.0.8 B.0.64 C.0.16 D.0.04

6.下列函数 f ( x) 中,满足“对任意 x1 , x2 ? (0,??) ,当 x1 ? x 2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ”的是 A. f ( x ) ? 7.复数 z ?

1 x

B. f ( x ) ? x ?

1 x

C. f ( x) ? ( x ? 1) 2

D. f ( x) ? ln(x ? 1)

1 的共轭复数是 1? i 1 1 1 1 A. ? i B. ? i 2 2 2 2
法共有 A.60 种 B.70 种

C. 1 ? i

D. 1 ? i

8.有 6 名男医生、5 名女医生,从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组,则不同的选

C.75 种

D.150 种

9.函数 f ( x ) ? ln x ?

1 2 x 的单调递增区间为 2
B. (0,1) ? (1,??) C. (0,1) D. (1,+∞)

A. (??,?1) 与 (1,??)

10.

(1 ? i) 3 ? (1 ? i) 2
B. 1 ? i C. ? 1 ? i D. ? 1 ? i

A. 1 ? i

11.在 (1 ? x) 6 (1 ? y) 4 的展开式中,记 x m y n 项的系数为 f (m, n) ,则

f (3,0) ? f (2,1) ? f (1,2) ? f (0,3) ?
A.210 B.120 C.60 D.54

3 2 12.已知函数 f ( x) ? ax ? 3x ? 1 ,若 f ( x) 存在唯一的零点 x0 ,且 x0 ? 0 ,则实数 a 的取值范

围是 A. (1,+∞) B. (2,+∞) C. (-∞,-1) D. (-∞,-2)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. ( x ?

1 x

) 4 的展开式中常数项为 ▲ .


14 . 从集合 {0 , 1, 2, 3, 4, 5} 中任取两个互不相等的数 a , b 组成复数 a ? bi , 其中虚数有 个(用数字作答) .

15.设随机变量 X ? N (? , ? 2 ) ,且 P ( X ? 1) ? 16.数列 {an } 满足 a n ?1 ?

1 , P( X ? 2) ? p ,则 P(0 ? X ? 1) ? 2
▲ .

▲ .

1 , a8 ? 2 ,则 a1 ? 1 ? an

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ?

? x ? t ? 1, ( t 为参数) ,曲线 C 的参数方程为 ? y ? 2t

? x ? 2 tan2 ? , ( ? 为参数). ? ? y ? 2 tan?
(1)求直线 l 和曲线 C 的普通方程; (2)求直线 l 和曲线 C 的公共点的坐标.

18. (本小题满分 12 分) 某产品的广告费用支出 x 与销售额 y (单位:百万元)之间有如下的对应数据:

x /百万元
y /百万元

2 30

4 40

5 60

6 50

8 70

2 2 2 2 2 (1)求 y 与 x 之间的回归直线方程; ( 参 考 数 据 : 2 ? 4 ? 5 ? 6 ? 8 ? 145 ,

2 ? 30 ? 4 ? 40 ? 5 ? 60 ? 6 ? 50 ? 8 ? 70 ? 1380 )
(2)试预测广告费用支出为 1 千万元时,销售额是多少? 19. (本小题满分 12 分) 随机询问某大学 40 名不同性别的大学生在购买食物时是否读营养说明, 得到如下 2? 2 列联表: 读营养说明 男 女 合计 16 8 24 不读营养说明 4 12 16 合计 20 20 40

(1)根据以上列联表进行独立性检验,能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为“性别 与是否读营养说明之间有关系”? (2)从被询问的 16 名不读营养说明的大学生中,随机抽取 2 名学生,求抽到男生人数 ? 的分 布列及其数学期望.

20. (本小题满分 12 分) 如图, 在四面体 A ? BCD 中,AD ? 平面 BCD ,BC ? CD . M 是 AD 的中点,P 是 BM 的 中点,点 Q 在线段 AC 上,且 AQ ? 3QC . (1)证明:BC⊥CM; (2)证明: PQ // 平面 BCD .
B C M P Q D A

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ? x 3 ? ax2 ? 4 ( a ? R ) , f ?( x) 是 f ( x) 的导函数. (1)当 a ? 2 时,对于任意的 m ? [?1,1] , n ? [?1,1] ,求 f (m) ? f ?(n) 的最小值; (2)若存在 x0 ? (0,??) ,使 f ( x0 ) ? 0 ,求 a 的取值范围.

[来源:学优高考网]

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? (1)讨论 f ( x) 的单调性; (2)设 a1 ? 1 , an?1 ? ln(an ? 1) ,证明:

ax ( a ? 1 ). x?a

2 3 ? an ? . n?2 n?2

2014—2015 学年第二学期统一检测题 高二数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题 题号 答案 二、填空题 13.6 三、解答题 17. (本小题满分 10 分) 解: (1)由直线 l 的参数方程为 ? 方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 . 14.25 15. 1 B 2 C 3 A 4 D 5 D 6 A 7 B 8 C 9 C 10 D 11 B 12 D

1 ?p 2

16.

1 2

? x ? t ? 1, ( t 为参数) ,得 t ? x ? 1 ,代入 y ? 2t ,得直线 l 的普通 y ? 2 t ?
(3 分)

由曲线 C 的参数方程为 ? 的普通方程 y ? 2 x .
2

? x ? 2 tan2 ? , ? y ? 2 tan?

( ? 为参数) ,得 tan ? ?

y 2 ,代入 x ? 2 tan ? ,得曲线 C 2
(6 分)

(2)由题意,得 ?

?2 x ? y ? 2 ? 0,
2 ? y ? 2 x,

解得 ?

1 ? ? x2 ? 2 ? x1 ? . 2 或? y ? 2 ? 2 ? ? y1 ? ?1

(8 分)

故直线 l 和曲线 C 的公共点的坐标为 ( ,?1), ( 2,2) .

1 2

(10 分)

18. (本小题满分 12 分) 解: (1) x ?

2?4?5?6?8 ? 5, 5 30 ? 40 ? 60 ? 50 ? 70 y? ? 50 , 5
5 i i

(1 分) (2 分)

?x y
i ?1

? 2 ? 30 ? 4 ? 40 ? 5 ? 60 ? 6 ? 50 ? 8 ? 70 ? 1380,

(3 分)

?x
i ?1

5

2 i

? 2 2 ? 4 2 ? 5 2 ? 6 2 ? 8 2 ? 145,

(4 分)

?? b

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? ? nx
2

?x
i ?1

2 i

1380? 5 ? 5 ? 50 ? 6.5 , 145 ? 5 ? 5 2

(6 分)

?x ? 50 ? 6.5 ? 5 ? 17.5 , ? ? y ?b a

(8 分) (9 分)

? ? 6.5x ? 17.5 . 所以回归直线方程为 y

? ? 6.5 ? 10 ? 17.5 ? 82.5 (百万元) (2)当 x=10 时, y ,即当广告费用支出为 1 千万元时,销售额是
8.25 千万元. (12 分)

19. (本小题满分 12 分) 解: (1)因为 K ?
2

40(16 ? 12 ? 4 ? 8) 2 ? 6.67 ? 6.635, 20 ? 20 ? 24 ? 16

(3 分)

所以能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下,认为“性别与是否读营养说明之间有关系”. (5 分) (2)由题意 ? 的取值为 0,1,2. 因为 P(? ? 0) ? (6 分)

2 1 1 2 C12 C12 C4 C4 11 2 1 , , , ? P ( ? ? 1 ) ? ? P ( ? ? 2 ) ? ? 2 2 2 5 C16 20 C16 C16 20

所以 ? 的分布列为:

?
P (? )

0

1

2

11 20

2 5

1 20
(9 分)

所以 ? 的数学期望为 E? ? 0 ?

11 2 1 1 ? 1? ? 2 ? ? . 20 5 20 2

(12 分)

20. (本小题满分 12 分) 证明: (1)因为 AD⊥平面 BCD,BC?平面 BCD, 所以 BC?AD. (1 分)
M P B E Q D C F A

又 BC⊥CD,且 CD、AD?平面 ACD,CD∩AD=D, 所以 BC?平面 ACD. 又 CM?平面 ACD, 所以平面 BC?CM.

来 [ 源 : 学 优 高 考 网 g k s t k ]

(2 分) (3 分) (4 分)

(2)取 BD 的中点 E,在线段 CD 上取点 F,使得 DF=3FC,连接 PE,EF,QF. (5 分) 因为 P、E 分别是 BM、BD 的中点,所以 PE 为△BDM 的中位线, 所以 PE//DM,且 PE ? (6 分) (7 分)

1 1 DM ,即 PE//AD,且 PE ? AD . 2 4 1 AD . 4

在△CAD 中,AQ=3QC,DF=3FC, 所以 QF//AD,且 QF ? (9 分) (10 分) (11 分) (12 分)

所以 PE//QF,且 PE=QF,故四边形 EFQP 为平行四边形. 所以 PQ//EF. 又 EF?平面 BCD,PQ?平面 BCD,所以 PQ//平面 BCD.

21. (本小题满分 12 分) 解: (1)当 a ? 2 时, f ( x) ? ? x 3 ? 2 x 2 ? 4 , f ?( x) ? ?3x 2 ? 4 x . 令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? 0, x 2 ? (1 分) (2 分)

4 . 3

当 x ? (?1,0) 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在(-1,0)上单调递减; 当 x ? (0,1) 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在(0,1)上单调递增; 所以对于 m ? [?1,1] , f ( m) 的最小值为 f (0) ? ?4 . 因为 f ?( x) ? ?3x 2 ? 4 x 的开口向下,且对称轴为 x ? (3 分)

2 ,所以对于 n ? [?1,1] , f ( n) 的最小值为 3
(4 分) (5 分)

f (?1) ? ?7 .
故 f (m) ? f ?(n) 的最小值为-11. (2) f ?( x) ? ?3 x ? 2ax ? ?3x( x ?
2

2a ). 3

(6 分)

①若 a ? 0 ,当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 ?0,??? 上单调递减,又 f (0) ? ?4 ,则当 x ? 0 时, f ( x) ? ?4 . 所以当 a ? 0 时,不存在 x0 ? 0 ,使 f ( x0 ) ? 0 . (8 分)

②若 a ? 0 ,当 0 ? x ?

2a 2a ? 2a ? 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 ? 0, 上单调递增;当 x ? 时, ? 3 3 ? 3?

? 2a ? f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 ? ,?? ? 上单调递减; ?3 ?
故当 x ? (0,??) 时, f ( x) max ? f ( 依题意

2a 4 3 )? a ? 4. 3 27

(10 分) (11 分) (12 分)

4 3 a ? 4 ? 0 ,解得 a ? 3 . 27

综上, a 的取值范围是 (3,??) .

22. (本小题满分 12 分) 解: (1) f ( x) 的定义域为(-1,+∞).

f ?( x) ?

1 a( x ? a) ? ax x[ x ? (a 2 ? 2a)] . ? ? x ?1 ( x ? a) 2 ( x ? 1)(x ? a) 2
[来源:学优高考网]

(1 分)

①当 1 ? a ? 2 时,

2 2 若 x ? (?1, a ? 2a) ,则 f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (?1, a ? 2a) 上单调递增; 2 2 若 x ? (a ? 2a,0) ,则 f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (a ? 2a,0) 上单调递减;

若 x ? (0,??) ,则 f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (0,??) 上单调递增. ②当 a ? 2 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (?1,??) 上单调递增. ③当 a ? 2 时, 若 x ? (?1,0) ,则 f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (?1,0) 上单调递增;
2 2 若 x ? (0, a ? 2a) ,则 f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (0, a ? 2a) 上单调递减; 2 2 若 x ? (a ? 2a,??) ,则 f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (a ? 2a,??) 上单调递增.

(3 分) (4 分)

(6 分)

(2) 由 (1) 知, 当 a ? 2 时,f ( x) 在 (?1,??) 上单调递增, 所以当 x ? (0,??) 时,f ( x) ? f (0) ? 0 , 即 ln( x ? 1) ?

2x ( x ? 0) . x?2

(7 分)

又由( 1 )知,当 a ? 3 时, f ( x) 在 ?0,3? 上单调递减,所以当 x ? (0,3) , f ( x) ? f (0) ? 0 ,即

3x (0 ? x ? 3) . x?3 2 3 ? an ? 下面用数学归纳法证明: . n?2 n?2 2 ①当 n ? 1 时,由已知 ? a1 ? 1 ,故结论成立; 3 2 3 ? ak ? ②假设当 n ? k 时结论成立,即 , k?2 k?2 ln( x ? 1) ?

(8 分)

(9 分)

2 2 k?2 ? 2 . 当 n ? k ? 1 时, a k ?1 ? ln(a k ? 1) ? ln( ? 1) ? 2 k ?2 k ?3 ?2 k ?2 3 3? 3 k?2 ? 3 , a k ?1 ? ln(a k ? 1) ? ln( ? 1) ? 3 k ?2 k ?3 ?3 k ?2 2 3 ? a k ?1 ? 即当 n ? k ? 1 时,有 成立. k ?3 k ?3 2?
根据①、②知对任何 n ? N 结论成立.
*

(10 分)

(11 分)

(12 分)


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