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3.1.2复数的几何意义.ppt1[1]


知识回顾

(a,b∈R) 的数叫做复 1、复数的概念:形如a+bi ______________ 实部和虚部 。为纯虚数 数,a,b分别叫做它的_____________
a=0,b≠0

实数 b=0

非纯虚数 a ≠ 0,b≠0

2、复数Z1=a1+b1i与Z2=a2+b2i 相等

的充要条件是 _____________ a1=a2,b1=b2 。

探索复数集的性质和特点 探索途径:
(1) 实数集原有的有关性质和特点能否推广到复数集?

(2)从复数的特点出发,寻找复数集新的(实数集所不具 有)性质和特点?

想一想,实数集有些什么性质和特点?
(1)实数可以判定相等或不相等; (2)不相等的实数可以比较大小; (3)实数可以用数轴上的点表示; (4)实数可以进行四则运算; (5)负实数不能进行开偶次方根运算; ……
复数的几何意义 继续

我们知道实数可以用数轴上的点来表示。 一一对应 实数 数轴上的点 (数 ) 实数的几何模型: (形 )

0

1

x

注:规定了正方向,原点,单位长度的直线叫做数轴.

由复数相等的内涵可知,复数 z ? a ? bi (a, b ? R) 与有序实数对 (a , b) 可建立一一对应的关系. 能否找到用来表示复数的几何模型呢?

复数的几何意义(一)
复数z=a+bi (数) z=a+bi Z(a,b)
a b
一一对应

直角坐标系中的点Z(a,b) (形)

y

建立了平面直角 坐标系来表示复数的 平面 ------复数平面 (简称复平面)
x

o

x轴------实轴 y轴------虚轴

复数的几何意义(二)
复数z=a+bi
一一对应 一一对应

直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应

??? ? 平面向量 OZ
y

z=a+bi Z(a,b)
a
b

o

x

复数的绝对值 (复数的模)的几何意义: ??? ? ??? ? 对应平面向量 OZ 的模| OZ |,即复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的 距离。
z =a +b i Z (a,b)
y

| z | = a 2 ? b2

O

x

例1. (1)下列命题中的假命题是( D)
(A)在复平面内,对应于实数的点都 在实轴上; (B)在复平面内,对应于纯虚数的点 都在虚轴上; (C)在复平面内,实轴上的点所对应 的复数都是实数; (D)在复平面内,虚轴上的点所对应 的复数都是纯虚数。

例2:已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i 在复平面内所对应的点位于第二象限, 求实数m的取值范围。
?m ? m ? 6 ? 0 ? 3 ? m ? 2 ? 解:由? 2 得? ?m ? m ? 2 ? 0 ?m ? ?2 或 m ? 1
2

? m ? (?3,?2) ? (1,2)
一种重要的数学思想:数形结合思想

练习:已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在 复平面内所对应的点在直线x-2y+4=0上, 求实数m的值。

解:∵复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面 内所对应的点是(m2+m-6,m2+m-2),
∴(m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0,

∴m=1或m=-2。

例3:求下列复数的模:

(1)z1=-5i

( 5 ) ( 5 )

(2)z2=-3+4i
(3)z3=5-5i

(5 2 )

(4)z4=1+mi(m∈R)

( 1? m )
2

(5)z5=4a-3ai(a<0) (-5a )

y

1.满足 |z|=5(z∈C)的复 数z对应的点在复平 面上将构成怎样的 –5 图形? 设z=x+yi(x,y∈R)
| z |? x ? y ? 5
2 2

5

5 O x

x ? y ? 25
2 2

–5

图形: 以原点为圆心,5为半径的圆上

y

2.满3<|z|<5(z∈C) 的复数z对应的点在 复平面上将构成怎样 的图形? –5 设z=x+yi(x,y∈R)

5

3
–3
O
5

3

5 x

3? x ? y ?5
2 2

9 ? x ? y ? 25
2 2

–3
–5

图形: 以原点为圆心, 半径3至5的圆环内

练习:已知复数m=2-3i,若复数z
满足不等式|z-m|=1,则z所对应 的点的集合是什么图形?

以点(2, -3)为圆心, 1为半径的圆上

复数加减法运算的几何意义
1.复数加法运算的几何意义?

符合向量加 法的平行四 边形法则.

y
Z2(c,d)

Z(a+c,b+d)

Z1(a,b)

o

x

2.复数减法运算的几何意义?
复数z2-z1

y

向量Z1Z2

符合向量 减法的三 角形法则.

Z2(c,d)

Z1(a,b)

o |z2-z1|表示什么?

x

表示复平面上与这两个复数对应的两点之间的距离


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