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高中数学选修4-5《不等式选讲》练习题(含详解)


数学选修 4-5 [基础训练 A 组]
一、选择题 1.下列各式中,最小值等于 2 的是( A. )

不等式选讲

x y ? y x

B.

x2 ? 5 x ?4
2

C. tan ? ?

1 tan ?
y


D. 2 ? 2
x

?x

2.若 x, y ? R 且满足 x ? 3 y ? 2 ,则 3 ? 27 ? 1 的最小值是(
x



A. 3 3 9

B. 1 ? 2 2

C. 6

D. 7 )

3.设 x ? 0, y ? 0, A ? A. A ? B C. A ? B

x? y x y ? , B? ,则 A, B 的大小关系是( 1? x ? y 1? x 1? y

B. A ? B D. A ? B

4.若 x, y, a ? R? ,且 x ?

y ? a x ? y 恒成立,则 a 的最小值是(
C. 1 D.



A.

2 2

B. 2

1 2

5.函数 y ? x ? 4 ? x ? 6 的最小值为( A. 2 B. 2 C. 4

) D. 6 )

6.不等式 3 ? 5 ? 2 x ? 9 的解集为( A. [?2,1) ? [4,7) C. (?2, ?1] ? [4,7)

B. (?2,1] ? (4,7] D. (?2,1] ? [4,7)

二、填空题 1.若 a ? b ? 0 ,则 a ?

1 的最小值是_____________。 b( a ? b)
a b b?m a?n , , , 按由小到大的顺序排列为 b a a?m b?n

2.若 a ? b ? 0, m ? 0, n ? 0 ,则

2 2 3.已知 x, y ? 0 ,且 x ? y ? 1,则 x ? y 的最大值等于_____________。

4.设 A ?

1 1 1 1 ? 10 ? 10 ? ?? ? 11 ,则 A 与 1 的大小关系是_____________。 10 2 2 ?1 2 ? 2 2 ?1

5.函数 f ( x) ? 3 x ? 三、解答题

12 ( x ? 0) 的最小值为_____________。 x2
2 2 2

1.已知 a ? b ? c ? 1 ,求证: a ? b ? c ?

1 3

2.解不等式 x ? 7 ? 3x ? 4 ? 3 ? 2 2 ? 0

3.求证: a ? b ? ab ? a ? b ? 1
2 2

4.证明: 2( n ? 1 ? 1) ? 1 ?

1 1 1 ? ? ... ? ?2 n 2 3 n

数学选修 4-5 [综合训练 B 组]
一、选择题 1.设 a ? b ? c, n ? N ,且 A. 2 B. 3

不等式选讲

1 1 n ? ? 恒成立,则 n 的最大值是( a?b b?c a?c C. 4 D. 6



2. 若 x ? (??,1) ,则函数 y ?

x2 ? 2 x ? 2 有( 2x ? 2



A.最小值 1

B.最大值 1

C.最大值 ?1

D.最小值 ?1 )

3.设 P ? 2 , Q ? 7 ? 3 , R ? 6 ? 2 ,则 P, Q, R 的大小顺序是( A. P ? Q ? R C. Q ? P ? R B. P ? R ? Q D. Q ? R ? P
3 3 2 2

4.设不等的两个正数 a , b 满足 a ? b ? a ? b ,则 a ? b 的取值范围是( A. (1, ??) C. [1, ] B. (1, ) D. (0,1)



4 3

4 3

? 5.设 a, b, c ? R ,且 a ? b ? c ? 1 ,若 M ? ( ? 1)( ? 1)( ? 1) ,则必有(

1 a

1 b

1 c



A. 0 ? M ?

1 8

B.

1 ? M ? 1 C. 1 ? M ? 8 8

D. M ? 8

6.若 a, b ? R ? ,且 a ? b, M ? A. M ? N 二、填空题 B. M ? N

a b ? , N ? a ? b ,则 M 与 N 的大小关系是 b a
D. M ? N

C. M ? N

1.设 x ? 0 ,则函数 y ? 3 ? 3 x ?

1 的最大值是__________。 x

2.比较大小: log3 4 ______ log6 7 3.若实数 x, y, z 满足 x ? 2 y ? 3z ? a(a为常数) ,则 x ? y ? z 的最小值为
2 2 2

4.若 a, b, c, d 是正数,且满足 a ? b ? c ? d ? 4 ,用 M 表示

a ? b ? c, a ? b ? d , a ? c ? d , b ? c ? d 中的最大者,则 M 的最小值为__________。
5.若 x ? 1, y ? 1, z ? 1, xyz ? 10 ,且 x 三、解答题 1.如果关于 x 的不等式 x ? 3 ? x ? 4 ? a 的解集不是空集,求参数 a 的取值范围。
lg x

? ylg y ? z lg z ? 10 ,则 x ? y ? z ? _____ 。

a 2 ? b2 ? c 2 a ? b ? c 2.求证: ? 3 3

3.当 n ? 3, n ? N 时,求证: 2n ? 2(n ? 1)

4.已知实数 a, b, c 满足 a ? b ? c ,且有 a ? b ? c ? 1, a2 ? b2 ? c2 ? 1 求证: 1 ? a ? b ?

4 3

数学选修 4-5 [提高训练 C 组]
一、选择题

不等式选讲

1.若 log x y ? ?2 ,则 x ? y 的最小值是(



33 2 A. 2

23 3 B. 3

C.

3 2

3

D.

2 3

2
a b c d ? ? ? , a?b?c b?c?d c?d ?a d ?a?b

2. a, b, c ? R ? ,设 S ?

则下列判断中正确的是( ) A. 0 ? S ? 1 B. 1 ? S ? 2 C. 2 ? S ? 3 D. 3 ? S ? 4 3.若 x ? 1 ,则函数 y ? x ? A. 16 C. 4 B. 8 D.非上述情况

1 16 x ? 的最小值为( x x2 ? 1



4.设 b ? a ? 0 ,且 P ?

a?b a 2 ? b2 ,Q ? , M ? ab , N ? ,R ? , 1 1 1 1 2 2 ? 2 ? a2 b a b

2

2

则它们的大小关系是( A. P ? Q ? M ? N ? R C. P ? M ? N ? Q ? R 二、填空题 1.函数 y ?

) B. Q ? P ? M ? N ? R D. P ? Q ? M ? R ? N

3x ( x ? 0) 的值域是 x ? x ?1
2

.

2.若 a, b, c ? R ? ,且 a ? b ? c ? 1 ,则 a ? b ? c 的最大值是 3.已知 ?1 ? a, b, c ? 1 ,比较 ab ? bc ? ca 与 ?1 的大小关系为 4.若 a ? 0 ,则 a ? .

1 1 ? a 2 ? 2 的最大值为 a a

.

5.若 x, y, z 是正数,且满足 xyz ( x ? y ? z ) ? 1 ,则 ( x ? y)( y ? z ) 的最小值为______。

三、解答题
? 1. 设 a, b, c ? R ,且 a ? b ? c ,求证: a 3 ? b 3 ? c 3
2 2 2

2.已知 a ? b ? c ? d ,求证:

1 1 1 9 ? ? ? a ?b b ?c c ?a a ?d

3.已知 a, b, c ? R ? ,比较 a ? b ? c 与 a b ? b c ? c a 的大小。
3 3 3 2 2 2

4.求函数 y ? 3 x ? 5 ? 4 6 ? x 的最大值。

5.已知 x, y, z ? R ,且 x ? y ? z ? 8, x ? y ? z ? 24
2 2 2

求证:

4 4 4 ? x ?3 , ? y ?3 , ? ?3 z 3 3 3

新课程高中数学训练题组参考答案(咨询 13976611338)
数学选修 4-5
一、选择题 1.D 2.D

不等式选讲

[基础训练 A 组]

? 2x ? 0, 2? x ? 0,? 2x ? 2? x ? 2 2x 2? x ? 2
3x ? 33 y ?1 ? 2 3x ? 33 y ?1 ? 2 3x ?3 y ?1 ? 7

3.B

B?

x y x y x? y ? ? ? ? ? A ,即 A ? B 1? x 1? y 1? x ? y 1? y ? x 1? x ? y

4.B

?

x2 ? y 2 x ? y 2 ? ,即 x2 ? y 2 ? ( x ? y) , 2 2 2
2 ( x ? y ) ,而 x ? y ? a x ? y , 2
1 1 2 ( x ? y ) 恒成立,得 ? ,即a ? 2 a a 2

? x? y ?

即 x? y ?

5.A

y ? x ?4 ? x ?6 ? x ?4?6? x ? 2
? 2 x ? 5 ? 9 ??9 ? 2 x ? 5 ? 9 ??2 ? x ? 7 ? ?? ?? ,得 (?2,1] ? [4,7) ? ? 2 x ? 5 ? 3 ?2 x ? 5 ? 3, 或2 x ? 5 ? ?3 ? x ? 4, 或x ? 1 ?

6.D

二、填空题 1. 3

(a ? b) ? b ?

1 1 ? 3 3 (a ? b) ? b ? ?3 b(a ? b) b(a ? b)

2.

b b?m a?n a b b? m ? ? ? ? 1, 由糖水浓度不等式知 ? a a?m b?n b a a? m b b?n a a?n a?n a ? 1 ,得 ? ? 1 ,即 1 ? ? 且 ? a a?n b b?n b?n b

3. 2 4. A ? 1

x? y ? 2

x2 ? y 2 , x ? y ? 2 x2 ? y 2 ? 2 2

A?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? 10 ? 10 ? ?? ? 11 ? 10 ? 10 ? 10 ? ?? ? 10 ? 1 10 2 2 ?1 2 ? 2 2 ? 1 ??????????? 2 2 2 2
210 个

5. 9

12 3 x 3 x 1 2 3 x3 x3 1 2 f ( x)? 3x? 2 ? ? ?2 ? 3 ? ? 9 ? x 2 2 x 2 2 x2

三、解答题 1.证明:? a ? b ? c ? (a ? b ? c) ? (2ab ? 2bc ? 2ac)
2 2 2 2

? (a ? b ? c)2 ? 2(a2 ? b2 ? c2 ) ?3 ( 2 ? b2 ? c2 ) ? (a ? b ? c2 a )
? a 2 ? b 2 ? c 2? 1 3

?1

另法一:? a ? b ? c ?
2 2 2

1 ( a ? b ? c) 2 ? a 2 ? b2 ? c 2 ? 3 3
1 ? ( 2 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 2 b ? 2b c? 2 a c a b c a ) 3 1 ? [ ( ? b 2) ? ( ? c2 ) ? ( ? c ) ]? 0 a b a 2 3

? a 2 ? b 2 ? c 2?

1 3

另法二:?(12 ? 12 ? 12 )(a2 ? b2 ? c2 ) ? (a ? b ? c)2 ? 1 即3 ( ?b ?c a
2 2 2

) ,? a 2 ? b 2 ? c 2? ? 1

1 3

2.解:原不等式化为 x ? 7 ? 3x ? 4 ? 2 ? 1 ? 0 当x?

4 时,原不等式为 x ? 7 ? (3x ? 4) ? 2 ?1 ? 0 3

得 x ? 5?

2 4 2 ,即 ? x ? 5 ? ; 2 3 2
4 时,原不等式为 x ? 7 ? (3x ? 4) ? 2 ?1 ? 0 3

当 ?7 ? x ? 得x??

1 2 1 2 4 ? ,即 ? ? ?x? ; 2 4 2 4 3

当 x ? ?7 时,原不等式为 x ? 7 ? (3x ? 4) ? 2 ?1 ? 0 得 x ? 6?

2 ,与 x ? ?7 矛盾; 2 1 2 2 ? ? x ? 5? 2 4 2

所以解为 ?

3.证明:?(a ? b ) ? (ab ? a ? b ?1)
2 2

? a 2 ? b 2 ? ab ? a ? b ? 1 1 ? (2a 2 ? 2b 2 ? 2ab ? 2a ? 2b ? 2) 2 1 ? [(a 2 ? 2ab ? b 2 ) ? (a 2 ? 2a ? 1) ? (b 2 ? 2b ? 1)] 2 1 ? [(a ? b)2 ? (a ? 1) 2 ? (b ? 1) 2 ] ? 0 2

? a 2 ? b2 ? ab ? a ? b ? 1
4.证明:?

1 1 1 ? ? k ?1 ? k 2 k k ?1 ? k ? 2 (k ? k ?1 )

1 ?2 ( k ? 1 ? k ) ? k ? 2( n ? 1 ? 1) ? 1 ?

1 1 1 ? ? ... ? ?2 n 2 3 n

数学选修 4-5
一、选择题 1.C

不等式选讲

[综合训练 B 组]

?

a ?c a ?c a ?b ?b ?c a ?b ?b ?c b ?c a ?b ? ? ? ? 2? ? ?4 a ?b b?c a ?b b?c a ?b b ?c 1 1 4 1 1 n ? ? ? ? ? ,而 恒成立,得 n ? 4 a ? b b? c a c a ? b b ? c a ? c ?

2.C

( x ? 1)2 1 x ?1 1 1? x 1 y? ? ? ? ? ?2 ? ? ?1 2x ? 2 2x ? 2 2 2( x ? 1) 2 2(1 ? x)

3.B

? 2 ? 2 ? 2 2 ? 6,? 2 ? 6 ? 2 ,即 P ? R ;
又?

6? 3? 7? 2? ,

6?

2?

7?,即 R ? Q ,所以 P ? R? Q 3
( a ? b) 2 4

4.B

a2 ? ab ? b2 ? a ? b,(a ? b)2 ? (a ? b) ? ab ,而 0 ? ab ?
4 ( a ? b) 2 所以 0 ? (a ? b) ? (a ? b) ? ,得 1 ? a ? b ? 3 4
2

5.D

M ?(

a?b?c a?b?c a?b?c (b ? c)(a ? c)(a ? b) ? 1)( ? 1)( ? 1) ? a b c abc

?

8 ab bc ac ?8 abc
a b ? b ? 2 a, ? a ?2 b b a

6.A

? a ? b,?

?

a b a b ? b? ? a ? 2 b ? 2 a ,即 ? ? b? a b a b a

二、填空题 1. 3 ? 2 3 2. ?

y ? 3 ? 3x ?

1 1 ? 3 ? 2 3x ? ? 3 ? 2 3 ,即 ym a x? 3 ? 2 3 x x
a b b b

设 log3 4 ? a,log6 7 ? b ,则 3a ? 4 , b6? ,得 7 ? 3 ? 4 ? 6 ? 4 ? 2 ? 3 7 即3
a ?b

?

4 ? 2b 4 ? 2b a ?b b ?1? a ? b ? 0 ? a ? b ,显然 b ? 1 , 2 ? ,则 3 ? 2 7 7
2

a2 3. 14

2 2 2 ?( 1 ? 2 ? 3 x ( 2?y )

?z

2

) x ( ? y2 ? z3 2 )?a 2 ?
a2 14

即 1 4 x2 ? y 2 ? z 2 )? a2 ? x ? y ? z ? , (
2 2 2

4. 3

M?

1 (a ? b ? c ? a ? b ? d ? a ? c ? d ? b ? c ? d ) 4 3 ? (a ? b ? c ? d ?,即 M m i n? 3 ) 3 4
lz g 2 2 )? 1? l gx ? l g ? y 2 lz ? g

5. 12

g l g xl gx ? y l y ? z (

1 x ( l y? l gy 2 g zg l ? lz g xlg lg )

2 2 而 l g x ? l g y ? l 2gz ?

(lg x?

y? lg

z2l g? )

? [lg( xyz )]2 ? 2(lg x lg y ? lg y lg z ? lg z lg x) ? 1 ? 2(lg x lg y ? lg y lg z ? lg z lg x) ? 1
即 lg x lg y ? lg y lg z ? lg z lg x ? 0 ,而 lg x,lg y,lg z 均不小于 0 得 lg x lg y ? lg y lg z ? lg z lg x ? 0 , 此时 lg x ? lg y ? 0 ,或 lg y ? lg z ? 0 ,或 lg z ? lg x ? 0 , 得 x ? y ? 1, z ? 10 ,或 y ? z ? 1, x ? 10 ,或 x ? z ? 1, y ? 10

x ? y ? z ? 12
三、解答题 1.解:? x ? 3 ? x ? 4 ? ( x ? 3) ? ( x ? 4) ? 1

?( x ? 3? x ? 4m)i n?

1

当 a ? 1 时, x ? 3 ? x ? 4 ? a 解集显然为 ? , 所以 a ? 1

2.证明:? (12 ? 12 ? 12 )(a2 ? b2 ? c2 ) ? (a ? b ? c)2

?

a 2 ? b 2 ? c 2 (a ? b ? c ) ? 3 9

2



a 2 ? b 2? c 2 a ? b ? c ? 3 3

1 2 n 1 n n 3.证明:? 2n ? (1 ?1)n ? 1 ? Cn ? Cn ? ...Cn ? 1 ? Cn ? Cn ?1 ? Cn ? 2(n ? 1)

(本题也可以用数学归纳法) ? 2n ? 2 n ? 1 ) ( 4.证明:? a ? b ? 1 ? c, ab ?

( a ? b) 2 ? ( a 2 ? b 2 ) ? c2 ? c 2

? a, b 是方程 x2 ? (1 ? c) x ? c2 ? c ? 0 的两个不等实根,
则 ?? (1 ? c) ? 4(c ? c) ? 0 ,得 ?
2 2

1 ?c ? 1 3

而 (c ? a) (c? b)? 2 c ? ( a? b c a b 0 ) ? ? 即 c ? (1 ? c)c ? c ? c ? 0 ,得 c ? 0, 或c ?
2 2

2 3

所以 ?

1 4 ?c ? ,即 1 ? a ? b ? 0 3 3

数学选修 4-5
一、选择题 1.A 由 log x y ? ?2 得 y ? 而x? y ? x?

不等式选讲

提高训练 C 组]

1 , x2

1 x x 1 x x 1 1 3 ? ? ? 2 ? 33 ? ? 2 ? 33 ? 3 2 2 x 2 2 x 2 2 x 4 2

a b c d ? ? ? a ?b?c b?c ?d c ?d ?a d ?a ?b a b c d ? ? ? d a b c ? ? ? ? ? 1? a ? b ? c ? d b? c? d? a c d a b d ? ? c ? ? ? ? ? ? ? a b a b c a a c c b b d d ? ? ? ? 即 S ? 1, , , , a?b?c a?c c?d ?a a?c b?c?d b?d d ?a?b d ?b a c c a b d d b ? ? ? ?1, ? ? ? ?1 得 a?b?c c?d ?a a?c a?c b?c?d d ?a ?b d ?b b?d a b c d ? ? ? ? 2 ,得 S ? 2 ,所以 1 ? S ? 2 即 a?b?c b?c?d c?d ?a d ?a?b 1 16 x 1 16 3.B y ? x? ? 2 ? x? ? ? 2 16 ? 8 x x ?1 x x? 1 x R 为平方平均数,它最大 4.A
2.B 二、填空题 1. [?3, 0)

d

1 1 3x 3 , , ,? x ? 0 ? x ? ? ? 2得 x ? ? 1 ? ?1 ? x x x ? x ?1 x ? 1 ?1 x 1 3 ?1 ? ? 0 ? ?3 ? ? 0 ? ?3 ? y ? 0 1 1 x ? ?1 x ? ?1 x x

y?

2

2. 3 3. ?

2 2 ( 1 a ? 1? b ?1 ? c2 ) ?2( 1 ? 1 ? 1 ) (b c ? a ? ?

)? 3

? c1 ? 构造单调函数 f ( x)? (b? c) x b ?,则 f ( 1 )

(? b ) ? 1 ? ) 0 1 (c ,

f (?1) ? (?1 ? b)(?1 ? c) ? (1 ? b)(1 ? c) ? 0 ,即 ?1 ? x ? 1 , f ( x) ? 0 恒成立,
所以 f (a) ? (b ? c)a ? bc ? 1 ? 0 ,即 ab ? bc ? ca ? ?1 4. 2 ? 2 设 a ?
2

1 1 1 2 2 2 ,则 a ? 2 ? t ,即 a ? ? t ? 2 ? t( t ? 2 ) 2 a a a

再令 y ? a ? 即 t ?[ 5. 2

1 1 t ?1 ? 0 ? a 2 ? 2 ? t 2 ? 2 ? t (t ? 2) , y ' ? a a t2 ? 2

2 ,? ?时, y 是 t 的减函数,得 t ? 2 时, ym a x? 2 ? 2 )

( x ? y) ( y? z)? x y 2 y ? y ? ? z
a b ? ?1 c c

z? ( y ?x ?) ? x y z

2x ( ? z

y x? y ? )

z? z x 2

三、解答题 1.证明:? a, b, c ? R ,
?

?0 ?

2 2 2 a b ? 1 , ? ? a 3, b 3,c 3? 0 1 , c c

0

a ?b c
2 3

2 3

2 3

2 2 2 a 2 b 2 a b a ?b ? ( )3 ? ( )3 ? ? ? ? 1, ? a 3 ? b 3 ? c 3 c c c c c

2.证明:? a ? b ? c ? d ,? a ? b ? 0, b ? c ? 0, c ? d ? 0

?(

1 1 1 1 1 1 ? ? )(a ? d ) ? ( ? ? )[( a ? b) ? (b ? c) ? (c ? d )] a ?b b?c c ?a a ?b b ?c c ?a

? 33
?

1 1 1 ? ? ? 3 3 (a ? b)(b ? c)(c ? d ) ? 9 a ?b b ?c c ?a

1 1 1 9 ? ? ? a ?b b?c c ?a a ?d
3 3 3

3.解:取两组数: a, b, c 与 a 2 , b2 , c 2 ,显然 a ? b ? c 是同序和,
2 a2 b? b ? c 2 2 c 是乱序和,所以 a3 ? b3 ? c3 ? a 2 b? b c c a a ? 2

4.解:函数的定义域为 [5, 6] ,且 y ? 0

y ? 3? x ? 5 ? 4 ? 6 ? x

? 32 ? 42 ? ( x ? 5) 2 ? ( 6 ? x ) 2 ?5
5.证明:显然 x ? y ? 8 ? z, xy ?

ymax ? 5

( x ? y)2 ? ( x 2 ? y 2 ) ? z 2 ? 8 z ? 20 2

? x, y 是方程 t 2 ? (8 ? z) x ? z 2 ? 8z ? 20 ? 0 的两个实根,
由 ?? 0 得

4 4 4 ? z ? 4 ,同理可得 ? y ? 4 , ? x ? 4 3 3 3


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