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2010~2014数列高考(新课标)


课标全国卷,新课标 1,2 卷,全国大纲卷的区别 新课标 1 适用地区:河南 山西 河北 新课标 2 适用地区:贵州 甘肃 青海 西藏 黑龙江 吉林 宁夏 内蒙古 新疆 云南 全国统考大纲分为两种,一个是传统大纲,再一个是新课改大纲,无论按哪个大纲出题,都称为大纲 卷,习惯上把传统大纲卷称为全国Ⅰ卷,课改大纲卷称为全国Ⅱ卷。随着课程改革的深入和招生制度自主 化的加强,迄今为止全国

已有 12 个省市(包括北京、上海、天津,有的是几个省联合)实施了课改高考, 并以课改大纲为参考,参照本地区的具体情况适当调整,制定了自己的《考试说明》作为考试命题的依据。 其他地区选用全国Ⅰ或全国Ⅱ直接考试。

2014 年
(2014 全国课标 1 理数)17.(本小题满分 12 分)已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn , a1 =1, an ? 0 , an an?1 ? ? Sn ?1,其中 ? 为常数. (Ⅰ)证明: an? 2 ? an ? ? ; (Ⅱ)是否存在 ? ,使得{ an }为等差数列?并说明理由. 【研究分析】 “ Sn , an 型” ,对存在性的研究能促进学生探究精神(由特殊到一般,先定量再定性) 。
(17)解: (I)由题设, an an?1 ? ? Sn ?1, an?1an?2 ? ? Sn?1 ? 1. 两式相减得

an?1 ( an?2 ? an)? ? an?1.
??6 分

由于 an?1 ? 0 ,所以 an?2 ? an ? ?.

(II)由题设, a1 ? 1 , a1a2 ? ? S1 ?1 ,可得 a2 ? ? ? 1. 由(I)知, a3 ? ? ? 1. 令 2a2 ? a1 ? a3 ,解得 ? ? 4. 故 an? 2 ? an ? 4 ,由此可得

?a2n?1? 是首项为 1,公差为 4 的等差数列, a2n?1 ? 4n ? 3 ; ?a2n ? 是首项为 3,公差为 4 的等差数列, a2n ? 4n ?1 .
所以 an ? 2n ? 1, an?1 ? an ? 2 . 因此存在 ? ? 4 ,使得数列 ?an ? 为等差数列. ??12 分

(2014 全国课标 1 文数)17、 (本小题满分 12 分)已知 ?an ? 是递增的等差数列, a2 , a4 是方程
x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 的根。
(I)求 ?an ? 的通项公式; (II)求数列 ?

? an ? 的前 n 项和. n ? ?2 ?

【研究分析】很基础的一道题,考察等差数列的基本知识,错位相减法,有“拉高平均分”的意图, 。 2 (17)解: (I)方程 x ? 5x ? 6 ? 0 的两根为 2,3,由题意得 a2 ? 2, a4 ? 3. 1 3 设数列 ?an ? 的公差为 d,则 a4 ? a2 ? 2d , 故 d ? , 从而 a1 ? , 2 2
1

所以 ?an ? 的通项公式为 an ? (II)设 ?

1 n ?1 2

??6 分

a n?2 ? an ? ? n ?1 , 则 的前 n 项和为 sn , 由(I)知 n n n ? 2 2 ?2 ? 3 4 n ?1 n ? 2 sn ? 2 ? 3 ? ... ? n ? n ?1 , 2 2 2 2 1 3 4 n ?1 n ? 2 sn ? 3 ? 4 ? ... ? n ?1 ? n ? 2 . 2 2 2 2 2

两式相减得

1 3 1 1 n?2 sn ? ? ( 3 ? ... ? n ?1 ) ? n ? 2 2 4 2 2 2 3 1 1 n?2 ? ? (1 ? n ?1 ) ? n ? 2 . 4 4 2 2 n?4 所以 sn ? 2 ? n ?1 . ??12 分 2

2013
2013 年新课标Ⅰ理科数学 7.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , Sm?1 ? ?2, Sm ? 0, Sm?1 ? 3 , 则m? (
A.3 B .4 C.5 D.6
7.C

)

2013 年新 课标Ⅰ理科数学 12. 设 ?An BnCn 的 三 边 长分 别 为 an , bn , cn , ?An BnCn 的 面 积 为 Sn ,
n ? 1, 2,3,
,若 b1 ? c1 , b1 ? c1 ? 2a1 , an ?1 ? an , bn ?1 ?

cn ? an b ? an , cn ?1 ? n ,则( ) 12.B 2 2

A.{Sn}为递减数列 C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列

B.{Sn}为递增数列 D.{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列

2 1 2013 年新课标Ⅰ理科数学 14.若数 列{ an }的前 n 项和为 Sn= an ? ,则数列{ an }的通项公式是 3 3 n ?1 an =______.14. an = (?2) . 2 2013 年新课标Ⅰ数学(文科)6.设首项为 1 ,公比为 的等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,则( ) 3 (A) S n ? 2an ? 1 (B) S n ? 3an ? 2 (C) S n ? 4 ? 3an (D) S n ? 3 ? 2an 2013年新课标Ⅰ数学(文科) 17. (本小题满分12分)已知等差数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足 S3 ? 0 , S5 ? ?5 。 (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; 1 (Ⅱ)求数列 { } 的前 n 项和。 a2 n ?1a2 n ?1 【研究分析】很基础的一道题,考察等差数列的基本知识,裂项求和法,有“拉高平均分”的意图, 。 ?3a1 ? 3d ? 0, n(n ? 1) 解得a1 ? 1, d ? ?1. d 。由已知可得 ? 解:(1)设{a n }的公差为d,则S n = na1 ? 5a1 ? 10d ? ?5, ? 2

故?an ?的通项公式为an =2-n.
(2)由(I)知

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), a2 n?1a2 n?1 (3 ? 2n)(1 ? 2n) 2 2n ? 3 2n ? 1

2

从而数列 ?

?

? 1 1 1 1 1 1 ?的前n项和为 ( - + - + 2 -1 1 1 3 ? a2 n ?1a2 n ?1 ?

+

1 1 n ? )? . 2n ? 3 2n ? 1 1 ? 2n

2012 年
2012 全国新课标理数 (5)已知 ?an ? 为等比数列, a4 ? a7 ? 2 , a5a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 ? ( ( A) 7 (B) 5 (C ) ?? 【解析】选 D a4 ? a7 ? 2 , a5a6 ? a4a7 ? ?8 ? a4 ? 4, a7 ? ?2 或 a4 ? ?2, a7 ? 4 a4 ? 4, a7 ? ?2 ? a1 ? ?8, a10 ? 1 ? a1 ? a10 ? ?7 a4 ? ?2, a7 ? 4 ? a10 ? ?8, a1 ? 1 ? a1 ? a10 ? ?7
(16)数列 {a n } 满足 an?1 ? (?1)n an ? 2n ?1 ,则 {a n } 的前 60 项和为 【解析】 {a n } 的前 60 项和为 )

( D) ??

1830

可证明: bn?1 ? a4n?1 ? a4n?2 ? a4n?3 ? a4n?4 ? a4n?3 ? a4n?2 ? a4n?2 ? a4n ? 16 ? bn ? 16

b1 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 1 ?0

1 5? 1 4 ? S1 5 1 ?0 1 ?5 ? 2

1 ?6 ? 1830

2012 全国新课标文数 (12)数列{ an }满足 an?1 ? (?1)n an ? 2n ?1 ,则{ an }的前 60 项和为
(A)3690 (B)3660 (C)1845 (D)1830 【命题意图】本题主要考查灵活运用数列知识求数列问题能力,是难题. 【解析】 【法 1】有题设知 a2 ? a1 =1,① a3 ? a2 =3 ② a4 ? a3 =5 ③ a5 ? a4 =7, a6 ? a5 =9,

a7 ? a6 =11, a8 ? a7 =13, a9 ? a8 =15, a10 ? a9 =17, a11 ? a10 =19, a12 ? a11 ? 21 ,
?? ∴②-①得 a1 ? a3 =2, ③+②得 a4 ? a2 =8, 同理可得 a5 ? a7 =2, ?, a9 ? a11 =2, a10 ? a12 =40, a6 ? a8 =24, ∴ a1 ? a3 , a5 ? a7 , a9 ? a11 ,?,是各项均为 2 的常数列, a2 ? a4 , a6 ? a8 , a10 ? a12 ,?是首项为 8,公差为 16 的等差数列, ∴{ an }的前 60 项和为 15 ? 2 ? 15 ? 8 ? 【法 2】可证明:

1 ?16 ?15 ?14 =1830. 2

bn?1 ? a4n?1 ? a4n?2 ? a4n?3 ? a4n?4 ? a4n?3 ? a4n?2 ? a4n?2 ? a4n ? 16 ? bn ? 16 1 5? 1 4 b1 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 1 ?0 ? S1 5 1 ?0 1 ?5 ? 1 ?6 ? 1830 2 (14)等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn,若 S3+3S2=0 ,则公比 q =_______
【命题意图】本题主要考查等比数列 n 项和公式,是简单题. 【解析】当 q =1 时, S3 = 3a1 , S2 = 2a1 ,由 S3+3S2=0 得, 9a1 =0,∴ a1 =0 与{ an }是等比数列矛盾,

a1 (1 ? q3 ) 3a1 (1 ? q 2 ) 故 q ≠1,由 S3+3S2=0 得, ? ? 0 ,解得 q =-2. 1? q 1? q
(全国课标卷Ⅱ) (2014 全国课标卷Ⅱ理)17.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 =1, an?1 ? 3an ? 1 .
(Ⅰ)证明 an ? 1 是等比数列,并求 ?an ? 的通项公式;

?

2

?

3

(Ⅱ)证明: 1 ? 1 ? …+ 1 ? 3 .

a1 a2 an 2 【研究分析】已知前后项递推关系,求 an 型,涉及到 “ an ? kan?1 ? m ”构造法与放缩法,其中构造
法已给出相应的结构,只需证明即可,难度不大,但第(2)问的放缩对大部分学生而言有一定的难度,

1 2 1 1 。 ? n ? n?1 ? n an 3 ? 1 3 ? 1 3 ? 1 1 1 (17)解: (I)由 an?1 ? 3an ? 1 得 an ?1 ? ? 3(an ? ) 。 2 2 1 3 3 1? ? 又 a1 ? ? ,所以 ? an ? ? 是首项为 ,公比为 3 的等比数列。 2 2 2 2? ?
该题的放缩还可以这样处理,

1 3n 3n ? 1 ? ,因此 ?an ? 的通项公式为 an ? . 2 2 2 1 1 1 2 ? (Ⅱ)由(I)知 ? n 因为当 n ? 1 时, 3n ? 1 ? 2 ? 3n?1 ,所以 n 。 3 ? 1 2 ? 3n ?1 an 3 ? 1 1 1 1 1 1 3 1 3 1 1 1 3 于是 ? ? ... ? ? 1 ? ? ... ? n?1 ? (1 ? n ) 。所以 ? ? ... ? a1 a2 an 3 3 2 3 2 a1 a2 an 2 (2014 全国课标卷Ⅱ文) 【研究分析】只设置两道客观题,主要考察学生对数列基本知识的掌握情况。 (5)等差数列 {an } 的公差是 2,若 a2 , a4 , a8 成等比数列,则 {an } 的前 n 项和 S ? ( ) an ?
n

A. n(n ? 1)

B. n(n ? 1)

C.

n( n ? 1) 2

D.

n( n ? 1) 2

(2014 全国课标卷Ⅱ文)
(16) 数列 {an } 满足 an ?1 ?

1 , a8 ? 2 ,则 a1 ? ________. 1 ? an

2013 年新课标Ⅱ数学(理科)3.等比数列 ?an ?的前 n 项和为 S n ,已知 S3 ? a2 ? 10a1 ,a5 ? 9 ,则 a1 ?
(A)

2013

1 3

(B) ?

1 3

(C)

1 9

(D) ?

1 9

2013 年新课标Ⅱ数学(理科)16.等差数列 ?an ?的前 n 项和为 S n ,已知 S10 ? 0, S15 ? 25 ,则 nS n 的最
小值为________.

2013 年新课标Ⅱ数学(文科) 17. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 的公差不为零,a1=25,且 a1,a11,a13 成等比数列。
(Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求 a1 ? a4 ? a7 ? 均分”的意图, 。 17.解

? a3n?2 。

【研究分析】很基础的一道题,考察等差数列的基本知识,公式法(新的等差数列求和) ,有“拉高平

4

全国大纲卷 (2014 全国大纲卷理数) 10.等比数列 {an } 中,a4 ? 2, a5 ? 5 , 则数列 {lg an } 的前 8 项和等于 (
A.6 B.5 C .4 D.3 )

(2014 全国大纲卷理数)18. (本小题满分 12 分)
等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 10 , a2 为整数,且 Sn ? S4 . (1)求 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . an an?1

,裂项求和法,难度不大! 【研究分析】考察等差数列相关知识( Sn 的最值或图像)

(2014 全国大纲卷文数)8.设等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S2 ? 3, S4 ? 15, 则 S6 ? (
A.31 B.32 C.63 D.64



(2014 全国大纲卷文数)17. (本小题满分 10 分)
数列 {an } 满足 a1 ? 2, a2 ? 2, an?2 ? 2an?1 ? an ? 2 . (1)设 bn ? an?1 ? an ,证明 {bn } 是等差数列; (2)求 {an } 的通项公式. ,叠加法, 【研究分析】已知前后项的递推关系,求通项公式型,涉及到构造法(已给出构造的形式) 难度不大!

2013
4 2013 年大纲卷数学(理科)6.已知数列 ?an ? 满足 3an ?1 ? an ? 0, a2 ? ? ,则 ?an ? 的前 10 项和等于 3 1 ?10 ?10 ?10 ?10 (A) ?6 ?1 ? 3 ? (B) ?1 ? 3 ? (C) 3 ?1 ? 3 ? (D) 3 ?1+3 ? 9

2013 年大纲卷数学(理科)17. (本小题满分 10 分)等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 S3 =a2 2 ,
且 S1 , S2 , S4 成等比数列,求 ?an ? 的通项式。
5

【研究分析】等差数列的基本运算,但由于涉及到分类讨论,难度不大却易掉分!

2013 年大纲卷数学(理科)22. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? = ln ?1 ? x ? ?
(I)若 x ? 0 时, f ? x ? ? 0 ,求 ? 的最小值; (II)设数列 ?an ?的通项an ? 1 ?

x ?1 ? ? x ? . 1? x

1 1 1 1 ? ? ??? ? , 证明:a2 n ? an ? ? ln 2. 2 3 n 4n

【研究分析】与函数结合作为压轴题,本质是考察函数相关知识,难度很大! 2013 年大纲卷数学(理科)22、

4 2013 年大纲卷数学(文科)7.已知数列 ?an ? 满足 3an ?1 ? an ? 0, a2 ? ? , 则?an ?的前10项和等于 3 1 -10 -10 -10 -10 (A) -6 ?1-3 ? (B) ?1-3 ? (C) 3 ?1-3 ? (D) 3 ?1+3 ? 9
17. (本小题满分 10 分) 等差数列 ?an ? 中, a7 ? 4, a19 ? 2a9 , (I)求 ?an ? 的通项公式;(II)设 bn ?

1 , 求数列?bn ?的前n项和Sn . nan
6

【研究分析】等差数列的基本运算,考察裂项求和法,难度不大!
解. (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d,则 an ? a1 ? (n ? 1)d 因为 ?

a1 ? 6d ? 4 ? a7 ? 4 ? 1 ,所以 ? .解得, a1 ? 1, d ? . 2 ? a19 ? 2a9 ?a1 ? 18d ? 2(a1 ? 8d )
n ?1 . 2 2 2 2n ?( ? )? . n n ?1 n ?1

所以 {an } 的通项公式为 an ? (Ⅱ) bn ?

2 2 2 2 1 2 2 2 ,所以 S n ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? 1 2 2 3 nan n(n ? 1) n n ? 1

2012 年
2012 大纲版理数
5.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a5 ? 5, S5 ? 15 ,则数列 ? A.

?

1 ? ? 的前 100 项和为 ? an an ?1 ?
D.

100 101

B.

99 101

C.

99 100

101 100

答案 A 【命题意图】本试题通过已知中两项,得到公差与首项,得到数列的通项公式,并进一步裂项求和。 【解析】由 Sn , a5 ? 5, S5 ? 15 可得

?a1 ? 4d ? 5 ?a1 ? 1 ? ? ? ? an ? n ? ? 5? 4 d ? 1 d ? 15 ? ?5a1 ? ? ? 2 1 1 1 1 ? ? ? ? an an?1 n(n ? 1) n n ? 1 1 1 1 1 1 1 100 S100 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ( ? ) ? 1? ? 2 2 3 100 101 101 101
22(本小题满分 12 分) (注意:在试卷上作答无效 ) ........ 轴交点的横坐标。 (1)证明: 2 ? xn ? xn?1 ? 3 ; (2)求数列 ?xn ? 的通项公式。 函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 。 定义数列 ?xn ? 如下: x1 ? 2, xn?1 是过两点 P(4,5), Qn ( xn , f ( xn )) 的直线 PQn 与 x

【研究分析】主要考查数列的通项公式,函数与数列相结合的综合运用,涉及数学归纳法,构造法,作
为压轴题,很有难度。

) 函 数 f ( x) 的 图 像 上 , 故 由 所 给 出 的 两 点 解: (1)为 f (4) ? 2 4? 8 ? 3 ? , 5 故 点 P( 4 , 5 在

P(4,5), Qn ( xn , f ( xn )) ,可知,直线 PQn 斜率一定存在。故有 f ( xn ) ? 5 ( x ? 4) ,令 y ? 0 ,可求得 直线 PQn 的直线方程为 y ? 5 ? xn ? 4

xn 2 ? 2 xn ? 8 4x ? 3 ?5 ( x ? 4) ? ? x?4? x ? n xn ? 4 xn ? 2 xn ? 2 4x ? 3 所以 xn ?1 ? n xn ? 2 ?5 ?
7

下面用数学归纳法证明 2 ? xn ? 3 当 n ? 1 时, x1 ? 2 ,满足 2 ? x1 ? 3

4 xk ? 3 5 , ? 4? xk ? 2 xk ? 2 5 5 11 5 由 2 ? xk ? 3 ? 4 ? xk ? 2 ? 5 ? 1 ? ? ? 2 ? ? 4? ? 3 即 2 ? xk ?1 ? 3 也成立 xk ? 2 4 4 xk ? 2 综上可知 2 ? xn ? 3 对任意正整数恒成立。
假设 n ? k 时, 2 ? xk ? 3 成立,则当 n ? k ? 1 时, xk ?1 ? 下面证明 xn ? xn?1 由 xn?1 ? xn ?

4 xn ? 3 4 x ? 3 ? xn 2 ? 2 xn ?( xn ? 1)2 ? 4 ? xn ? n ? xn ? 2 xn ? 2 xn ? 2

由 2 ? xn ? 3 ? 1 ? xn ?1 ? 2 ? 0 ? ?( xn ?1)2 ? 4 ? 3 ,故有 xn?1 ? xn ? 0 即 xn ? xn?1 综上可知 2 ? xn ? xn?1 ? 3 恒成立。

4x ? 3 4 xn ? 3 2 得到该数列的一个特征方程 x ? 即 x ? 2 x ? 3 ? 0 ,解得 x ? 3 或 x ? ?1 x?2 xn ? 2 4x ? 3 x ?3 4x ? 3 5x ? 5 ① ② ?3 ? n xn?1 ? (?1) ? n ?1 ? n ? xn?1 ? 3 ? n xn ? 2 xn ? 2 xn ? 2 xn ? 2 x ? 3 1 xn ? 3 x ?3 2?3 1 两式相除可得 n ?1 ,而 1 ? ? ? ?? x1 ? 1 2 ? 1 3 xn ?1 ? 1 5 xn ? 1
(2)由 xn ?1 ? 故数列 ?

? xn ? 3 ? 1 1 ? 是以 ? 为首项以 为公比的等比数列 3 5 ? xn ? 1 ?

xn ? 3 9 ? 5n ?1 ? 1 4 1 1 ? 3? 。 ? ? ? ( )n?1 ,故 xn ? n ?1 3? 5 ?1 3 ? 5n?1 ? 1 xn ? 1 3 5 2012 全国大纲卷文数 6.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , Sn ? 2an?1 ,则 Sn ?
A. 2 答案 B 【命题意图】本试题主要考查了数列中由递推公式求通项公式和数列求和的综合运用。 【解析】由 Sn ? 2an?1 可知,当 n ? 1 时得 a2 ? 当 n ? 2 时,有 Sn ? 2an?1 ① Sn?1 ? 2an
n ?1

?3? B. ? ? ?2?

n ?1

?2? C. ? ? ?3?

n ?1

D.

1 2 n ?1

1 1 S1 ? 2 2



①-②可得 an ? 2an?1 ? 2an 即 an ?1 ?

3 1 3 an ,故该数列是从第二项起以 为首项,以 为公比的等比数列, 2 2 2

1 3 ?1 (1 ? ( ) n ?1 ) ( n ? 1) 3 ? 2 故数列通项公式为 an ? ? 1 3 ,故当 n ? 2 时, Sn ? 1 ? 2 ? ( )n ?1 n?2 3 2 ? ( ) ( n ? 2) 1? ?2 2 2
当 n ? 1 时, S1 ? 1 ? ( )

3 2

1?1

,故选答案 B

18. (本小题满分 12 分)
8

已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,前 n 项和 S n ? (Ⅰ)求 a2 , a3 ; (Ⅱ)求 ?an ? 的通项公式.

n?2 an . 3

【研究分析】简单的已知 Sn 求 an 型,难度不大!
解: (1)由 a1 ? 1 与 S n ?

n?2 an 可得 3

S2 ?

2?2 3? 2 2 a2 ? a1 ? a2 ? a2 ? 3a1 ? 3 , S3 ? a3 ? a1 ? a2 ? a3 ? a3 ? a1 ? a2 ? 4 ? a3 ? 6 3 3 3

故所求 a2 , a3 的值分别为 3, 6 。 (2)当 n ? 2 时, S n ? ①-②可得 S n ? S n ?1 ?

n?2 an ① 3

Sn ?1 ?

n ?1 an ?1 ② 3

n?2 n ?1 an ? an ?1 即 3 3

an ?

a n?2 n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 an ? an?1 ? an ? an ?1 ? n ? 3 3 3 3 an?1 n ? 1

故有 an ?

an an?1 ? ? an?1 an?2

?

a2 n ?1 n ? a1 ? ? ? a1 n ?1 n ? 2

3 n2 ? n ? ?1 ? 1 2

12 ? 1 n2 ? n ? 1 ? a 而 1 ,所以 ?an ? 的通项公式为 an ? 2 2

【研究综述】近几年数列专题在全国课标卷分值在 12 分左右,题型尚不稳定,在大纲卷中分值是 17 分 (一道选择题+一道解答题) ,主要是考察学生对数列基本知识,基本思想方法的运用,虽然也有“已知 Sn 求 an 型”的题目,亦涉及到“构造法,放缩法,裂项求和法,数学归纳法” ,但难度大大低于广东卷,教
材中错位相减法,公式法也是其考察的重点,与广东一样,倒序相加法、分组求和法都尚没考察到。一言 概之:数列注重考察双基!

9


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