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解析几何模拟试题1(答案)


解析几何模拟试题 1
一、 选择题(每小题 3 分,共 15 分) A C B C A

答案

二、填空题(每小题 3 分,共 18 分)
1. x ? y ? 1 ? 0 2. 0 3. 14 4. x 2 ? y 2 ? 3z 2 ? 9
? x ? r sin ? cos ? ?0 ?? ? ? ? ?

0 ?? ? ? ? ? 5. ? y ? r sin ? sin ? ……(2 分) ? ? 或者 ? ? ………(1 分) ? 0 ? ? ? 2? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? z ? r cos ? ?

? ? ? 2(a , b , c ) ?? (2 分)

6. 9 x ? 10 y ? 28 ? 0

三、计算题(共 53 分)
1.(10 分) 解:(1)由三点式写出 ?ABC 所在平面方程……(4 分)
?x ? ?2 ?2 ? y?7 6 9 z? ? 1 ? ? 0 ? 3 x ? 2 y ? 6 z ? 14 ? 0 2? ?

(2)因所求平面与 ?ABC 所在平面平行,不防设所求平面方程为:
3x ? 2 y ? 6 z ? D ? 0 …………(1 分)

(3)因两平面相距为 2,即
d? D ? 14 9 ? 4 ? 36 ? 2 ? D ? 0 , D ? ?28 ………(3 分)

(4)所以,所求平面方程为
3x ? 2 y ? 6 z ? 0 或者 3x ? 2 y ? 6 z ? 28 ? 0 ………(2 分)

2.(10 分)解: (1) 设过 l 的平面束为:
( x ? y ? z ? 1) ? ? (2 x ? y ? z ) ? 0

………(3 分)

即: (1 ? 2? ) x ? (1 ? ? ) y ? (1 ? ? ) z ? 1 ? 0 (2)原点到平面的距离: ………(2 分)

d?

1 (1 ? 2? ) ? (1 ? ? ) ? (1 ? ? )
2 2 2

?

1 6? ? 8? ? 3
2

(3)以下往求 d ?

1 6? ? 8? ? 3
2

的最大值,

………(3 分)

等价于求 t ? 6? 2 ? 8? ? 3 的最小值. 因为 t ? ? 12? ? 8 ? 0 (或者可以配方: d ?
?

???

2 3

1 ) 6(? ? 2 )2 ? 1 3 3

2 (4)所以,当 ? ? ? 时,距离最大,故所求平面方程为 3
?x ? y ? z ? 3 ? 0

………(2 分) ………(4 分)

3.(10 分)解:(1)由已知写出两族直母线分别为:
y ? x z w( ? ) ? u (1 ? ) ? 3 4 ? 2 ; u ? 族: ? x z y ?u ( ? ) ? w(1 ? ) ? 3 4 2 ?

y ? x z t ( ? ) ? v(1 ? ) ? 3 4 ? 2 v ? 族: ? x z ?v( ? ) ? t (1 ? y ) ? 3 4 2 ?

(2)把点 (6, 2,8) 分别代入两族直母线,得:
w : u ? 1: 2 t ?0

………(2 分)

(3)所以,两直母线分别为
y ? x z ?( 3 ? 4 ) ? 2(1 ? 2 ) ? u ? 族: ? ?2( x ? z ) ? (1 ? y ) ? 3 4 2 ? ? y ?1 ? 2 ? 0 ? v ? 族: ? ?x ? z ? 0 ?3 4 ? ?4 x ? 12 y ? 3z ? 24 ? 0 ? ?4 x ? 3 y ? 3z ? 6 ? 0

?

………(2 分)

?

?y ? 2 ? 0 ? ?4 x ? 3z ? 0

………(2 分)

4.(15 分)解: (1)判断两条直线的位置关系:

………(5 分)

由已知,可得: l1 : ? ??

? M 1 (3, 0,1) ? ?v1{2,1, 0} ?

? M 2 (?1, 2, 0) ? ? l2 : ? ?? ?v2 {1, 0,1} ?

所以

?4 ? 2 1 ? ??????? ? ? ? ? ? ? ( M 1 M 2 , v1 , v2 ? ? 2 1 ? ? ? 7 ) 0 ?1 0 1 ? ? ?

0



l1 与 l 2 异面。

? (2)求距离( d ? ? ? ) v1 ? v2

? ? ? v1 ? v2 ? {1, ?2, ?1}
? ? ? v1 ? v2 ? 6

………(3 分)

?d ?

7 6

?

7 6 6

………(3 分) ………(4 分)

(3)共垂线方程:
? x ? 3 y z ?1 ? 1 0 ?0 ? 2 ? 1 ?2 ?1 ? ? ? x ?1 y ? 2 z ? 1 0 1 ?0 ? ?2 ?1 ? 1 ?

? x ? 2 y ? 5z ? 8 ? 0 ?? ?x ? y ? z ?1 ? 0

5.(8 分)解:

当 ? ? C ? B ? A 时,为单叶双曲面; 当 C ? ? ? B ? A 时,为椭球面; 当 C ? B ? ? ? A 时,为单叶双曲面; 当 C ? B ? A ? ? 时,为双叶双曲面

………(2 分) ………(2 分) ………(2 分) ………(2 分)

四、证明题(共 14 分)
1. 分)证明: (4 (利用三角形中线定理) ??? ? ? ??? ? 1 ??? ? AL ? AB ? AC ???1? ? 2 ? ???? ? ? ??? ? 1 ??? ? ? BM ? BC ? BA ???1? ? ??? ???? ???? ? ? 2 ? ? AL ? BM ? CN ? 0 ???1? ???? ? ??? ? ? 1 ??? CN ? CA ? CB ???1? ? 2 ? ? ? ??? ???? ???? ? ? 把 AL, BM , CN 三个矢量平移,首尾顺次连接即可得到封闭的三角形。

?

?

?

?

?

?

2. (10 分)证明:
"?"
P2



P , P2 , P3 1

三 点 共 线 , 那 么

???? ???? ? ? PP3 , P2 P3 1

两 矢

r2 P3 r3 P1 O r1

量共线,

???? ? ???? ? 因此两矢量 P1 P3 与 P2 P3 线性相关,所以存在不全为 0 的数 m, n,
? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ???? ? ? 使 mP P3 ? nP2 P3 ? 0 ,即 m r3 ? r1 ? n r3 ? r2 ? 0 , 1

?

? ?

?

………(2 分)

? ? ?? ? ? ? 由此得 mr1 ? nr2 ? ? m ? n ? r3 ? 0 ,

令 ?1 ? m, ?2 ? n, ?3 ? ? ? m ? n ? , 那么有 ?1 , ?2 , ?3 不全为 0,
? ? ?? ? ? ? 使 ?1 r1 ? ?2 r2 ? ?3 r3 ? 0 ,且 ?1 ? ?2 ? ?3 ? 0 。

………(2 分)

………(1 分)

" ? " 设有不全为 0 的数 ?i ? i ? 1, 2,3? 使

?1 r1 ? ?2 r2 ? ?3 r3 ? 0 ,且 ?1 ? ?2 ? ?3 ? 0 ,
根据条件不妨设 ?3 ? ? ? ?1 ? ?2 ? ? 0,
? ? ? ? ? ?? ? ? 代入上面矢量等式整理得 ?1 r3 ? r1 ? ?2 r3 ? r2 ? 0

? ?

??

? ?

?

………(1 分)

?

?

?

?

????? ? ???? ? ? 即 ? 1 PP3 ? ?2 P2 P3 ? 0 , 1

………(2 分)

但由 ?1 ? ?2 ? 0 知 ?1 , ?2 不全为 0,
???? ???? ? ? 所以 PP3 , P2 P3 共线, 1

也就是 P , P2 , P3 三点共线。 1

………(2 分)


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