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专题:判断三角形的形状


专题:解三角形之形状判断
例 1: 【常规判断】 在△ABC 中,角 A, B, C 对应的边为 a , b, c ,则△ ABC 的形状 (1)acosB=bcos A (2)acosA=bcos B (3) b sin B ? c sin C 2 2 2 (4)sin A+sin B=sin C (5)sinA=2cosBs inC (5)sinB · sinC=c

os2 (6)cos2
2

A 2

A b+c = 2 2c
2

(7)a tanB=b tanA b c = = A B C cos cos cos 2 2 2 a b c (9) = = cosA cosB cosC (8) (10) a

tan A a 2 ? tan B b 2
sin B ? sin C cos B ? cos C


(11)sinA=

思考: 【 2013 陕西】在△ ABC 中,若 b cos C ? c cos B ? a sin A , 则△ABC 的形状为( (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定

例 2: (1)在△ ABC 中, B=60° ,b2 =ac, 则△ ABC 的形状? (2)在△ ABC 中, B=60° ,2b=a+c,△ ABC 的形状?

例 3:在△ABC 中,a2 +b2 =c2+ab,且 sin A sin B ?

3 ,求证:△ ABC 为等边三角形. 4

思考: 【 2013 全国】在△ABC 中, (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ac (2)若 sin A sin C ?

(1)求角 B;

3 ?1 ,求角 C 4

思考:在△ ABC 中,已知 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? 3ab ,且 2cos A sin B ? sin C ,则△ ABC 的形状?

例 4: △ ABC 的三个内角为 A, B,C 满足 6 sin A ? 4 sin B ? 3 sin C ,则△ ABC( A、一定是直角三角形 B、一定是锐角三角形 C、一定是钝角三角形 思考:已知△ABC 中, cos A ? D、可能是锐角三角形也可能是钝角三角形



4 ,且 (a ? 2) : b : (c ? 2) ? 1 : 2 : 3 ,判断三角形的形状. 5


例 5:在△ABC 中, AB ? a , BC ? b ,且 a ? b ? 0 ,则△ABC 是什么三角形 ( A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形

D. 等腰直角三角形 )

例 6: 在△ ABC 中,点 P 满足 AP ? t ( AC ? AB)(t ? 0), BP? AP ? CP ? AP ,则△ ABC 一定是( A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等边三角形 ) D 等腰直角三角形 D、钝角三角形 思考: (1)以 O(0,0) ,A(a,b) ,B(b+a,b-a)为顶点的三角形的形状是( A 直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形

(2)若 O 为△ABC 所在平面内一点,且满足 (OB ? OC) (OB ? OC ? 2OA) ? 0 ,则△ABC 的形 状为( ) B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形

A. 等腰三角形

(3) 若 O 为△ABC 所在平面内一点,且满足 OB OC ? CO CO ? OA BC ? 0 ,则△ABC 的形状 为( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形

(4)已知 AB 、 AC 是非零向量且满足( AB -2 AC ) ⊥AB ,( AC -2 AB ) ⊥AC ,则△ABC 的形状是( A. 等腰三角形 ) B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形

(5)在△ABC 中,若 BC ? a , CA ? b , AB ? c ,且 a ? b ? b ? c ? c ? a ,则△ ABC 的形状是 ( ) B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 . A. 等腰三角形

例 7: 【07 浙江】已知 sin ? ? cos ? ? A.

1 2

1 ? 3? ,且 ? ? ? ,则 cos 2? 的值是 5 2 4 1 B. 2 C. ? D. ?2 2
3 4 10 ,则 tan2α=( 2 3 C.? 4 ) 4 D.? 3

【13 浙江】已知 α?R,sin α+2cos α= A. 4 3 B.

1 例 8: 【13 浙江】在△ABC,?C=90?,M 是 BC 的中点.若 sin?BAM= ,则 sin?BAC= 3
? 思考: 在等腰直角三角形△ OPQ 中, ?POQ ? 90 , OP ? 2 2 ,点 M 在线段 PQ 上



(1)若 OM ? 5 ,求 PM 的长 (2)若点 N 在 MQ 上,且 ?MON ? 30 ,当 ?POM 时, ?OMN 的面积最小?求出面积最小值
?


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