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北京五中2012—2013学年度上学期高三年级 文科数学


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考无不胜

北京五中 2012—2013 学年度上学期高三年级 11 月月考数学试卷 (文 科)
一.选择题(每题 5 分,共 40 分) 1.设集合 A ? ? ,2? ,则满足 A ? B ? ? ,2,3?的集合 B 的个数是

1 1 ( )

A.1

B.3

C.4

D.8
( )

2.等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a4 ? 18 ? a5 ,则 S8 等于

A.18

B.36

C.54

D.72
3 ,则 sinA 的值为 4
( )

3.已知三角形 ABC 中,AB= 2 ,BC=1,cosC=

A.

7 4

B.

14 8

C.

2 8

D.

3 2 8
( )

4.已知等差数列{an}的前 20 项的和为 100,那么 a7·14 的最大值为 a

A.25

B.50
2

C.100

D.不存在
( )

5.函数 f ( x) ? log1 (6 ? x ? x ) 的单调递增区间是
3

1 A.[- ,+∞) 2

1 B.[- ,2) 2

1 C.(-∞,- ) 2

1 D.(-3,- ) 2

6.已知不等式 ( x ? y )( ?

1 x

a ) ? 9 对任意正实数 x,y 恒成立,则正实数 a 的 y
( )

最小值为

A.2

B.4

C.6

D.8

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 7.如果点 P 在平面区域 ? x ? y ? 2 ? 0 上,点 Q 在曲线 x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 上,那么|PQ| ? 2y ?1 ? 0 ?
的最小值为 ( )

A.

3 2

B.

4 5

?1

C. 2 2 ? 1

D. 2 ? 1

8.定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足:对任意的 x1 , x2 ? (??,0]( x1 ? x2 ) ,有

( x2 ? x1 )( f ( x2 ) ? f ( x1 )) ? 0 .则当 n ? N * 时,有
A. f (?n) ? f (n ? 1) ? f (n ? 1)

(

)

B. f (n ? 1) ? f (?n) ? f (n ? 1)

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C. f (n ? 1) ? f (?n) ? f (n ? 1)

D. f (n ? 1) ? f (n ? 1) ? f (?n)

二.填空题(每题 5 分,共 30 分) 9. 条件p: ? 1, 条件q:x ? ?2,则?p是?q的 x 10.已知函数 f ( x) ? ? 条件

?log3 x ( x ? 0) 1 ,则 f [ f ( )] = x 9 ( x ? 0) ?2
.

11.等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a2 ? 6, S3 ? 21则公比 q ? 12.若角 ?为锐角,且sin? ? ?

? ?

??

1 ? ? , 则 cos? ? ________________ 6? 3
1 , 且 数 列 {an } 满 足 2

13 . 设 函 数 f ( x) ? a1 ? a2 x ? a3 x2 ? ?? an xn?1 , 若 已 知 f (0) ?

f (1) ? n2 an (n ? N * ) ,则数列 {an } 的通项 an =

.

14. 编辑一个运算程序: 的输出结果为___________.





0 , 29 则0

09 * 20

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北京五中 2009—2010 学年度上学期高三年级 11 月月考

数学试卷(文科)
注意事项: 1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上. 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚. 一.选择题(每题 5 分,共 40 分) 学号_________ 1 2 3 4 5 6 7 8

二.填空题(每题 5 分,共 30 分) 9. 11. 13. 三.解答题 15.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 sin ?
2

姓名_________

. . .

10. 12. 14.

. . .

班级_________

?? ? ?? ? ? ? x ? ? 3 cos 2 x,x ? ? , ? . ?4 ? ?4 2?

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最大值和最小值; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调区间.

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16.(本题满分 14 分)设数列

?an ?的前 n 项和 S n ? 2n 2 , ?bn ?为等比数列,且 b1 ? a1 ,
b2 (a2 ? a1 ) ? b1 .

(Ⅰ)求数列 (Ⅱ)设 c n

?an ?和 ?bn ?的通项公式;

?

an , 求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . bn

17.(本题满分 12 分)为加快新农村建设步伐,红星镇政府投资 c 万元生产甲乙两种商 品,据测算,投资甲商品 x 万元,可获得利润 P = x 万元,投资乙商品 x 万元可获得利润

Q=40 x 万元,如果镇政府聘请你当投资顾问,试问对甲乙两种商品的资金投入分别
是多少万元?才能获得最大利润,获得最大利润是多少万元?

学号_________ 姓名_________ _________

18.(本题满分 14 分) 定义在 R 上的单调函数 f (x) 满足 f (3) ? log2 3 ,且对任意 x, y ? R 都有

f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) .
(Ⅰ)求证 f (x) 是奇函数;

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(Ⅱ)若 f (k ? 3 x ) ? f (3 x ? 9 x ? 2) ? 0 对任意 x ? R 恒成立,求实数 k 的取值范围.

19.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx (1)若函数 y = f (x) 在 x = 2 处 有 极 值 - 6 , 求 y = f (x) 的单调递减区间; (2)若 y = f (x) 的导数 f ' ( x) 对 x ? [?1,1] 都有 f ' ( x) ? 2 ,求 20.(本小题满分 14 分)

b 的范围. a ?1

学号_________

13 的图象上的一系列点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ),?, Pn ( xn , yn ),? ,这一系 1 4 5 列点的横坐标构成以 ? 为首项, ? 1 为公差的等差数列 ?xn ? . 2
位于函数 y ? 3 x ? (Ⅰ)求点 Pn 的坐标; (Ⅱ)设抛物线 C1 , C2 , C3 ,?, Cn ,? 中的每一条的对称轴都垂直于 x 轴,对于 n ? N 第 n 条
*

姓名_________

抛物线 C n 的顶点为 Pn ,抛物线 C n 过点 Dn (0, n 2 ? 1) ,且在该点处的切线的斜率为 k n , 求证:

1 1 1 1 . ? ??? ? k1k 2 k 2 k 3 k n?1k n 10

班级_________

北京五中 2009—2010 学年度上学期高三年级 11 月月考

数学试卷(文科)
注意事项: 1. 用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上. 2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚. 一.选择题(每题 5 分,共 40 分) 1 2 3 C D B 二.填空题(每题 5 分,共 30 分) 4 A 5 B 6 B 7 A 8 C

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9.

充分但不必要

.

10.

1 4

.

11.

1 2 或2
1 n(n ? 1)

.

12.

2 6 -1 6
2010

.

13. 三.解答题

.

14.

.

15.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 sin ?
2

?? ? ?? ? ? ? x ? ? 3 cos 2 x,x ? ? , ? . ?4 ? ?4 2?

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最大值和最小值; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调区间. 解:(1) f ( x) ? 2 sin (
2

?
4

? x) ? 3 cos 2 x

= 1 ? cos(

?
2

? 2 x) ? 3 cos 2 x

= sin 2 x ? 3 cos2 x ? 1 = 2 sin( 2 x ?

?
?
3

) ? 1 ---------------3 分 ? 2x ? ?

?

?
4

?x?

?

2 2 1 ? ? s i n2 x ? ) ? 1 ( 2 3

?

??

?
6

? 2x ?

?

1 ? 2 sin( 2 x ?

?
3

2 ? ? ---------------1 分 3 3

)?2

2 ? 2 sin( 2 x ?

?

3

) ? 1 ? 3 ---------------2 分

所以 f (x) 的最大值是 3,最小值是 2. (2)单调增区间

2 5? 2k? ? ? 2 x ? 2k? ? 6 6 ? 5? k? ? ? x ? k? ? 12 12 ? 5? , k? ? ), k ? Z ---------------3 分 单调增区间为 (k? ? 12 12

2k? ?

?
2

? 2x ?

?
3

? 2k? ?

?

?

单调减区间 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
3

? 2k? ?

3? 2

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5? 11? ? 2 x ? 2k? ? 6 6 5? 11? k? ? ? x ? k? ? 12 12 5? 11? , k? ? ), k ? Z ---------------3 分 单调减区间为 (k? ? 12 12 2k? ?

16. (本题满分 14 分)设数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 2n 2 , ?bn ? 为等比数列,且 b1 ? a1 ,

b2 (a2 ? a1 ) ? b1 .
(1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式;(2)设 c n ?

解:(1)由于 Sn=2n2,∴n=1 时,a1=S1=2; n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n2-2(n-1)2=4n-2, 当 n=1 时也适合. ∴an=4n-2,∴b1=a1=2,b2(6-2)=b1=2,
? ∴b2= 1 ,∴bn=2· 1 ? n-1. ? ?
2

an , 求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . bn

……………………(4 分)

?4?

……………………(8 分)

(2)cn= an =(2n-1)·n-1,……………………(9 分) 4
bn

∴Tn=1+3· 42+…+(2n-1)·n-1, 4+5· 4 ∴4Tn=4+3·2+…+(2n-3)·n-1+(2n-1)·n, 4 4 4 ∴-3Tn=1+2· 42+…+2·4n-1-(2n-1)·n……………………(11 分) 4+2· 4
4 ? 4n =1+2· -(2n-1)·n 4 1? 4 5 ? 6n n 5 = ·- , 4 3 3 5 5 ? 6n n ∴Tn= · . ……………………(14 分) 4 9 9
17. (本题满分 12 分) 为加快新农村建设步伐,红星镇政府投资 c 万元生产甲乙两种商品, 据测算,投资甲商品 x 万元,可获得利润 P=x 万元,投资乙商品 x 万元可获得利润 Q=40 x 万 元, 如果镇政府聘请你当投资顾问, 试问对甲乙两种商品的资金投入分别是多少万元?才能 获得最大利润,获得最大利润是多少万元? 解:设对甲厂投入 x 万元(0≤x≤c),则对乙厂投入为 c—x 万元.所得利润为 y=x+40 c ? x (0≤x≤c) ……………………(3 分) 令 c ? x =t(0≤t≤ c ),则 x=c-t2

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∴y=f(t)=-t2+40t+c=-(t—20)2+c+400……………………(6 分) 当 c ≥20,即 c≥400 时,则 t=20, 即 x=c—400 时, ymax =c+400… (8 分) 当 0< c <20, 即 0<c<400 时,则 t= c ,即 x=0 时,ymax=40

c .…(10 分)

答:若政府投资 c 不少于 400 万元时,应对甲投入 c—400 万元, 乙对投入 400 万元,可获得最 大利润 c+400 万元.政府投资 c 小于 400 万元时,应对甲不投入,的把全部资金 c 都投入乙商 品可获得最大利润 40 c 万元.…(12 分) 18.(本题满分 14 分) 定义在 R 上的单调函数 f (x) 满足 f (3) ? log2 3 ,且对任意 x, y ? R 都有

f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) .
(1)求证 f (x) 是奇函数; (2)若 f (k ? 3 x ) ? f (3 x ? 9 x ? 2) ? 0 对任意 x ? R 恒成立,求实数 k 的取值范围.
解:(1)令 x

? y ? 0 ,则 f (0) ? f (0) ? f (0),? f (0) ? 0 ,………………(2 分) 令 y ? ? x ,则 f ( x) ? f (? x) ? f (0) ? 0 ,? f (? x) ? ? f ( x) ………(4 分) ? f (x) 为奇函数……………………(6 分)

(2)因为 f (x) 在 R 上的单调,且 f (3) ? log2 3 >1> f (0)
所以

f (x) 在 R 上的单调增函数. ……………………(8 分)

又 f (k ? 3 x ) ? f (3 x ? 9 x ? 2) ? f (k ? 3x ? 3 x ? 9 x ? 2) ? 0


f ( k ? 3 x ? 3 x ? 9 x ? 2) ? f (0) ……………………(10 分)

? k ? 3x ? 3x ? 9 x ? 2 ? 0
9 x ? 2 ? 3x 2 ? 3 x ? x ? 1 ( x ? R) ……………………(12 分) x 3 3 2 x 令 g ( x) ? 3 ? x ? 1 3 1 ? 3 x ? 0 ,? g ( x) ? 2 2 ? 1 ,当且仅当 x ? log 3 2 时等号成立. 2 ?k ? 2 2 ? 1 ……………………(14 分) ?k ?
19. 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx
3 2

(1)若函数 y ? f ( x)在x ? 2处有极值 ? 6,求y ? f ( x)的单调递减区间;

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(2) 若y ? f ( x)的导数f ( x)对x ? [?1,1]都有f ( x) ? 2,求
' '

b 的范围. a ?1

解: (1) f ' ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b, 依题意有 ?

? f ' (2) ? 0 ? f (2) ? ?6

……………………(2 分)

即?

? 5 ? ? 12 ? 4a ? b ? 0 ?a ? ? 解得 ? 2 ?8 ? 4a ? 2b ? ?6 ? b ? ?2 ? ?

……………………(4 分)

? f ' ( x) ? 3x2 ? 5x ? 2
1 由f ' ( x) ? 0得 ? ? x ? 2 3
∴ y ? f ( x)的单调递减区间 是 (? , 2) (也可写成闭区间) ……………………(7 分)

1 3

? f ' (?1) ? 3 ? 2a ? b ? 2 ?2a ? b ? 1 ? 0 (2)由? ' 得? ? 2a ? b ? 1 ? 0 ? f (1) ? 3 ? 2a ? b ? 2
不等式组所确定的平面区域如图所示。

……………………(10 分)

?2a ? b ? 1 ? 0 ? a ? 0 ……………………(12 分) 由? 得? ?2a ? b ? 1 ? 0 ?b ? ?1
b , 则z表示平面区域内的 设 a ?1 点(a, b)与点P(1, 0)连线的斜率, z?

b

O Q

· P a

?kPQ ? 1,由图可知z ? 1或z ? ?2
即 b ? (??, ?2) ? [1, ??). ……………………(14 分) a ?1

20.(本小题满分 14 分)

13 的图象上的一系列点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ),?, Pn ( xn , yn ),? ,这一系 1 4 5 列点的横坐标构成以 ? 为首项, ? 1 为公差的等差数列 ?xn ? . 2
位于函数 y ? 3 x ? (Ⅰ)求点 Pn 的坐标; (Ⅱ)设抛物线 C1 , C2 , C3 ,?, Cn ,? 中的每一条的对称轴都垂直于 x 轴,对于 n ? N 第 n 条
*

抛物线 C n 的顶点为 Pn ,抛物线 C n 过点 Dn (0, n 2 ? 1) ,且在该点处的切线的斜率为 k n ,

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求证:

1 1 1 1 . ? ??? ? k1k 2 k 2 k 3 k n?1k n 10

5 为首项, ? 1 为公差的等差数列 ?xn ? , 2 5 3 故 xn ? x1 ? (n ? 1)d ? ? ? (n ? 1) ? ?n ? …………………..3 分 2 2 13 又 Pn ( xn , y n ) 位于函数 y ? 3 x ? 的图象上, 4 13 3 13 5 ? 3(?n ? ) ? ? ?3n ? . 所以 y n ? 3 x n ? 4 2 4 4 3 5 所求点 Pn ( xn , y n ) 的坐标为( ? n ? ,?3n ? ) . 2 4
解: (Ⅰ)由于 Pn 的横坐标构成以 ? (Ⅱ)证明:由题意可设抛物线 C n 的方程为 y ? an ( x ? xn )2 ? yn ,即

………..5 分 ……….6 分

3 5 y ? an ( x ? n ? ) 2 ? 3n ? . 2 4
由抛物线 C n 过点 Dn (0, n 2 ? 1) ,于是有 n ? 1 ? an ( n ? ) ? 3n ?
2 2

3 2

5 . 4

由此可得 an ? 1, y ? ( x ? n ? ) ? 3n ?
2

3 2

5 . 4

………9 分

故 kn ? y?

x ?0

3 ? 2( x ? n ? ) 2

x ?0

? 2n ? 3 .

所以

1 k n?1k n 1 k n?1k n

?

1 1 1 1 ? ( ? )(n ? 2) , (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3 1 1 1 1 ? ( ? )(n ? 2) , (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3

…….11 分

所以

?

…….11 分

于是

1 1 1 1? 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ?( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) k1k 2 k 2 k 3 k n?1k n 2 ? 5 7 7 9 2n ? 1 2n ? 3 ? ?
1 1 1 ( ? ). 2 5 2n ? 3
…………………14 分

?


1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ( ? )? k1k 2 k 2 k 3 k n?1k n 2 5 2n ? 3 10


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