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2013-2014学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入综合检测 新人教A版选修1-2

时间:2017-03-05


【课堂新坐标】 (教师用书)2013-2014 学年高中数学 第三章 数系 的扩充与复数的引入综合检测 新人教 A 版选修 1-2
(时间 90 分钟,满分 120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1 1.复数-i+ =( i A.-2i C.0 ) 1 B. i 2 D.2i



1 【解析】 -i+ =-i+(-i)=-2i,故选 A. i 【答案】 A )

2.复数 z 满足(z-i)i=2+i,则 z=( A.-1-i C.-1+3i 【解析】 【答案】
2

B.1-i D.1-2i

z-i=
B
3 4

2+i ?2+i??-i? = =1-2i,z=i+1-2i=1-i. i i·?-i?

i +i +i 3.复数 =( 1-i 1 1 A.- - i 2 2 1 1 C. - i 2 2
2

) 1 1 B.- + i 2 2 1 1 D. + i 2 2

【解析】

依题意得

i +i +i ?-1?+?-i?+1 -i -i?1+i? = = = = 1-i 1-i 1-i ?1-i??1+i?

3

4

1-i 1 1 = - i,选 C. 2 2 2 【答案】 C

4. (2013·福建高考)已知复数 z 的共轭复数 z =1+2i(i 为虚数单位), 则 z 在复平面 内对应的点位于( A.第一象限 C.第三象限 ) B.第二象限 D.第四象限

【解析】 ∵ z =1+2i,∴z=1-2i,∴z 在复平面内对应的点位于第四象限.

1

【答案】

D

5.a 为正实数,i 为虚数单位,| A.2 C. 2 【解析】
2

a+i
i

|=2,则 a=(

)

B. 3 D.1 |

a+i
i

|=|-1+ai|=2,

即 a +1=2.

a2+1=4,
∴a =3.又 a 为正实数, ∴a= 3. 【答案】 B )
2

6.已知复数 z1=3+4i,z2=t+i,且 z1· z 2 是实数,则实数 t 等于( A. 3 4 4 B. 3 3 D.- 4

4 C.- 3

3 【解析】 z1· z 2=(3+4i)(t-i)=(3t+4)+(4t-3)i,依题意 4t-3=0,∴t= . 4 【答案】 A
2

7.设 z∈C,若 z 为纯虚数,则 z 在复平面上的对应点落在( A.实轴上 C.直线 y=±x(x≠0)上 【解析】 设 z=a+bi(a、b∈R), ∵z =a -b +2abi 为纯虚数, ∴?
?a -b =0, ? ? ?ab≠0.
2 2 2 2 2

)

B.虚轴上 D.以上都不对

∴a=±b,即 z 在直线 y=±x(x≠0)上.

【答案】

C

8.(2013·安徽高考)设 i 是虚数单位, z 是复数 z 的共轭复数,若 z· z i+2=2z, 则 z=( ) B.1-i D.-1-i 设 z=a+bi(a,b∈R),由 z· z i+2=2z,得(a+bi)(a-bi)i+2=2(a

A.1+i C.-1+i 【解析】

2

?a +b =2b, ? +bi),即(a +b )i+2=2a+2bi,由复数相等的条件得? ?2=2a, ?
2 2

2

2

得?

?a=1, ? ?b=1, ?

∴z=1+i. 【答案】 A

9.若 i 为虚数单位,图 1 中复平面内点 Z 表示复数 z,则表示复数 的点是 1+i ( )

z

图1

A.E C.G 【解析】 故对应点为 H. 【答案】 D

B.F D.H

z 3+i ?3+i??1-i? 4-2i 由题图知 z=3+i,所以 = = = =2-i, 1+i 1+i ?1+i??1-i? 2

10.(2013·深圳高二检测)已知复数 z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i,它们在复平 → → → 面上所对应的点分别为 A,B,C.若OC=λ OA+μ OB(λ ,μ ∈R),则 λ +μ 的值是( A.1 C.3 【解析】 B.2 D.4 3-4i=λ (-1+2i)+μ (1-i)=μ -λ +(2λ -μ )i, )

?μ -λ =3, ? ∴? ?2λ -μ =-4, ? ? ?λ =-1, 得? ?μ =2, ?

∴λ +μ =1.

【答案】

A

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上) 1 11.复数 z= 的共轭复数是________. i 【解析】

z= = 2=-i,∴ z =i.

1 i

i i

3

【答案】

i

12.|?2+3i?-?5+4i?|=________. 【解析】

|?2+3i?-?5+4i?|=|?2-5?+?3-4?i|

=|-3-i|= 10. 【答案】 10

x y 5 13. (2013·泰安高二检测)设 x, y 为实数且 + = , 则 x+y=________. 1-i 1-2i 1-3i
【解析】 ?

y 5 + = 1-i 1-2i 1-3i

x

y?1+2i? 5?1+3i? + = ?1-i??1+i? ?1+2i??1-2i? ?1-3i??1+3i?

x?1+i?

1 1 1 ? x(1+i)+ y(1+2i)= (1+3i) 2 5 2 1 1 1 ? ?2x+5y=2, ?? 1 2y 3 ? ?2x+ 5 =2, 所以 x+y=4. 【答案】 4

解得?

? ?x=-1, ?y=5, ?

2-i 14.(2013·太原高二检测)若复数 z= ,则复数 z 的虚部为________. 1+2i 2-i -2i -i -i?1+2i? 2-i 【解析】 由 z= = = =-i 知, 复数 z= 的虚部是- 1+2i 1+2i 1+2i 1+2i 1. 【答案】 -1
2

三、解答题(本大题共 4 小题,共 50 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分 12 分)m 为何实数时,复数 z=(2+i)m -3(i+1)m-2(1-i)是 (1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数? 【解】
2 2 2

z=(2+i)m2-3(i+1)m-2(1-i)

=2m +m i-3mi-3m-2+2i =(2m -3m-2)+(m -3m+2)i. (1)由 m -3m+2=0 得 m=1 或 m=2, 即 m=1 或 2 时,z 为实数. (2)由 m -3m+2≠0 得 m≠1 且 m≠2, 即 m≠1 且 m≠2 时,z 为虚数.
2 2 2 2

4

?2m -3m-2=0, ? (3)由? 2 ?m -3m+2≠0, ?

2

1 得 m=- , 2

1 即 m=- 时,z 为纯虚数. 2 → 16.(本小题满分 12 分)在复平面内,O 是原点,向量OA对应的复数是 2+i. → (1)如果点 A 关于实轴的对称点为 B,求向量OB对应的复数; (2)如果(1)中点 B 关于虚轴的对称点为 C,求点 C 对应的复数. → 【解】 (1)设所求向量OB对应的复数为 z1=a+bi(a,b∈R),则点 B 的坐标为(a,b). 已知 A(2,1),由对称性可知 a=2,b=-1. → 所以OB对应的复数为 z1=2-i. (2)设所求点 C 对应的复数为 z2=c+di(c,d∈R), 则 C(c,d).由(1),得 B(2,-1). 由对称性可知,c=-2,d=-1. 故点 C 对应的复数为 z2=-2-i. 17.(本小题满分 12 分)已知 z 是复数,z+2i、 均为实数(i 为虚数单位),且复数 2-i (z+ai) 在复平面上对应的点在第一象限,求实数 a 的取值范围. 【解】 设 z=x+yi(x,y∈R),
2

z

则 z+2i=x+(y+2)i, 由题意得 y=-2, ∴z=x-2i.

z x-2i 1 = = (x-2i)(2+i) 2-i 2-i 5
1 1 = (2x+2)+ (x-4)i, 5 5 由题意得 x=4, ∴z=4-2i. ∵(z+ai) =(12+4a-a )+8(a-2)i, 根据条件,
? ?12+4a-a >0, 可知? ?8?a-2?>0, ?
2 2 2

解得 2<a<6. ∴实数 a 的取值范围是(2,6).
5

18.(本小题满分 14 分)(2013·湛江高二检测)已知关于 x 的方程 x -(6+i)x+9+ai =0(a∈R)有实根 b. (1)求实数 a,b 的值; (2)若复数 z 满足| z -a-bi|-2|z|=0,则 z 为何值时,|z|有最小值,并求出|z|的 最小值. 【解】
2

2

(1)因为 b 是方程的根,

所以(b -6b+9)+(a-b)i=0,
? ?b -6b+9=0 故? ?a=b ?
2



解得 a=b=3. (2)设 z=x+yi(x,y 是实数), 由| z -3-3i|=2|z|, 得:(x-3) +(y+3) =4(x +y ), 即(x+1) +(y-1) =8. ∴z 的对应点 Z 的轨迹是以(-1,1)为圆心,2 2为半径的圆. 所以 z=1-i 时,|z|最小值为 2.
2 2 2 2 2 2

6


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