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【南方新课堂】2016年高考数学总复习 第九章 概率与统计 第5讲 离散型随机变量及其分布列课件 理


第5讲 离散型随机变量及其分布列

1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,

了解分布列对于刻画随机现象的重要性.
2.理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用. 3.了解条件概率和两个事件相互独立的概念,能理解 n 次 独立重复实验的模型及二项分布,并能解决一些简单的实际问 题.

1

.随机变量 (1)随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量,常用字 母 X,Y,ξ,η?表示.

(2)所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变
量. (3)随机变量可以取某一区间内的一切值,这样的变量就叫 做连续型随机变量.

2.条件概率及其性质 (1)条件概率的定义:

P?AB? 设 A,B 为两个事件,且 P(A)>0,称 P(B|A)= 为事件 P?A?

A 发生的条件下,事件 B 发生的概率.
(2)条件概率的求法:
求条件概率除了可借助定义中的公式,还可以借助古典概

n?AB? 型概率公式,即 P(B|A)= . n?A?

(3)条件概率的性质:
0 P(B|A)≤____ 1; ①条件概率具有一般概率的性质,即____≤ ②若 B 和 C 是两个互斥事件,则 P(B∪C|A)=P(B|A)+

P(C|A).
3.事件的相互独立性

P(A)P(B) ,则称事件 (1)设 A,B 为两个事件,若 P(AB)=__________ A 与事件 B 相互独立.
(2)若事件 A 与事件 B 相互独立,则 A 与 B 、 A 与 B、- A与 B 也都相互独立.

4.离散型随机变量的分布列 一般地,若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1 , x2 ,?, xi ,?, xn , X 取每一个值 xi(i = 1,2 ,?, n) 的概率

P(X=xi)=pi,则表: X
P

x1
p1

x2
p2

?
?

xi
pi

?
?

xn
pn

称为离散型随机变量 X 的概率分布列,简称为 X 的分布列.

有时为了表达简单,也用等式P(X=xi)=pi,i=1,2,?,n表
示 X 的分布列.

5.离散型随机变量分布列的性质 (1)pi≥0(i=1,2,?,n).(2)p1+p2+?+pn=1. 6.常见的离散型随机变量的分布列 (1)两点分布: 如果随机变量 X 的分布列为:

X P

0 1-p

1

p

其中 0<p<1,称 X 服从两点分布,而称 p=P(X=1)为成功 概率.

(2)超几何分布:
一般地,在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件,其中恰
n k Ck C M N-M 有 X 件次品,则随机事件 X=k 发生的概率为 P(X=k)= Cn ,


N

k=0,1,2,?,m(其中 m=min{M,n},且 n≤N,M≤N,n,M, N∈N*),称随机变量 X 服从超几何分布,其分布列如下表:

X P

0
n 0 C0 MCN-M Cn N


1
n 1 C1 MCN-M Cn N


? ?

m
n m Cm MCN-M Cn N


(3)二项分布:
一般地,在 n 次独立重复试验中,设事件 A 发生的次数为

X,在每次试验中事件 A 发生的概率为 p,那么在 n 次独立重复
k n-k 试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率为 P(X=k)=Ck p (1 - p ) n

(k=0,1,2,?,n).此时称随机变量 X 服从二项分布.记作 X~B(n,

p),并称 p 为成功概率.其分布列如下表:
X P 0
0 0 Cn p (1-p)n

1
1 1 Cn p (1-p)n
-1

? ?

k
k n Ck np (1-p)
-k

?

n

n n ? Cn p (1-p)0

1.下列四个表格中,可以作为离散型随机变量分布列的一

个是( C )

2.设随机变量 ξ 的分布列为 的值为( A.1

?1?i P(ξ=i)=a?3? ,i=1,2,3,则 ? ?

a

D )
9 B.13 11 C.13 27 D.13

1 3.某篮球运动员在三分线投球的命中率是2,他投球 5 次, 恰好投进 3 个球的概率为( 3 A.4 5 B.8

C

) 5 C.16 5 D.32

4.某一射手射击所得的环数ξ的分布列如下:

ξ P

6 0.1

7 0.2

8 0.25

9

10 0.15

x

0.7 此射手“射击一次命中环数不小于 8 环”的概率为 ______.

考点 1 离散型随机变量的分布列

例 1:(2014 年广东珠海二模)已知甲、乙两名乒乓球运动
员进行比赛,根据二人以往比赛资料统计,在一局比赛中,甲

3 2 获胜的概率为5,乙获胜的概率为5,且各局比赛互不影响.现在
甲、乙二人准备进行三局比赛. (1)求在三局比赛中甲胜前两局、乙胜第三局的概率; (2)用ξ表示三局比赛中甲获胜的局数,求ξ的分布列.

解:(1)设事件 A 表示“在三局比赛中甲胜前两局、乙胜第 3 3 2 18 三局”,则 P(A)=5×5×5=125. (2)方法一:由题意知,ξ 的可能取值为 0,1,2,3. 2 2 2 0 P(ξ=0)=C3× × × = 3 2 2 1 P(ξ=1)=C3× × × = 3 3 2 2 P(ξ=2)=C3× × × = 3 3 3 3 P(ξ=3)=C3× × × = 8 5 5 5 125, 36 5 5 5 125, 54 5 5 5 125, 27 5 5 5 125.

则 ξ 的分布列为: ξ P 0 8 125 1 36 125 2 54 125 3 27 125

? 3? 方法二:由题意知,ξ~B?3,5?, ? ?



k 3 k 2 3-k ? ? (k=0,1,2,3). P(ξ=k)=C3? ? ·

? ? ? ? ?5? ?5?

则 ξ 的分布列为: ξ P 0 8 125 1 36 125 2 54 125 3 27 125

【规律方法】离散型随机变量的分布列的求法:
①写出X 的所有可能取值?注意准确理解X 的含义,以免失 误? ;

②利用概率知识?古典概型或相互独立事件的概率?求出 X 取各值的概率;
③列表并检验,写出分布列.

【互动探究】 1.(2013 年山东)甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜 3 局者获得比赛的胜利,比赛随即结束,除第五局甲队获胜的概
1 2 率是2外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是3,假设各局比赛

结果相互独立. (1)分别求甲队以 3∶0,3∶1,3∶2 获胜的概率; (2)若比赛结果为 3∶0 或 3∶1,则胜利方得 3 分,对方得

0 分;若比赛结果为 3∶2,则胜利方得 2 分,对方得 1 分.求乙
队得分 X 的分布列.

解:(1)记“甲队以 3∶0,3∶1,3∶2 获胜”分别为事件 A1,

A2,A3.由题意,各局比赛结果相互独立,

?2?3 8 ? ? P(A1)= 3 =27, ? ? ? ? ? ?3? ? ? ? ? ?3? ? ?

2 2 2 2 2 ? ? ? 1- ?× = P(A2)=C3 3?
?

8 3 27, 4 2 27.

22 1 2 2 2 P(A3)=C4? ? ?1- ? × = 3?

8 8 4 所以甲队以 3∶0,3∶1,3∶2 获胜的概率分别是27,27,27.

(2)设“乙队以 3∶2 获胜”为事件 A4,由题意,各局比赛 结果相互独立,所以

2222 1 2 P(A4)=C4?1- ? ? ? ×?1- ?=
?

?

? ? ?

? ?

?

3? ?3?

2?

4 27.

由题意,随机变量X 的所有可能的取值为0,1,2,3,,根据事 件的互斥性,得

16 P(X=0)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=27, 4 P(X=1)=P(A3)=27,

4 P(X=2)=P(A4)=27, 1 P(X=3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)=9.
故 X 的分布列为:
X P 0 16 27 1 4 27 2 4 27 3 1 9

考点 2 超几何分布的应用 例 2:2012 年春节前,有超过 20 万名广西、四川等省籍的 外来务工人员选择驾乘摩托车沿 321 国道长途跋涉返乡过年, 为防止摩托车驾驶人因长途疲劳驾驶,手脚僵硬影响驾驶操作 而引发交通事故,肇庆市公安交警部门在 321 国道沿线设立了 多个长途行驶摩托车驾乘人员休息站,让过往返乡过年的摩托 车驾驶人员有一个停车休息的场所.交警小李在某休息站连续 5 天对进站休息的驾驶人员每隔 50 辆摩托车就询问驾驶人员的 省籍一次,询问结果如图 9-5-1:

图 9-5-1 (1)问交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的 是什么抽样方法?

(2)用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽
样,若广西籍的有 5 名,则四川籍的应抽取几名? (3)在上述抽出的驾驶人员中任取 2 名,求抽取的 2 名驾驶 人员中四川籍人数ξ的分布列.

解:(1)交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的

是系统抽样方法.
(2)从图中可知,被询问了省籍的驾驶人员是广西籍的有 5

+20+25+20+30=100(名),
四川籍的有 15+10+5+5+5=40(名).

设四川籍的驾驶人员应抽取 x 名,依题意,得
5 x 100=40,解得 x=2,即四川籍的应抽取 2 名.

(3)ξ的所有可能取值为 0,1,2.
1 C2 10 C1 10 5 2C5 P(ξ=0)=C2=21,P(ξ=1)= C2 =21, 7 7

C2 1 2 P(ξ=2)=C2=21. 7

ξ的分布列为:
ξ P 0 10 21 1 10 21 2 1 21

【规律方法】在超几何分布中,只要知道N,M 和 n,就
可以根据公式,求出X 取不同值m 时的概率P?X=m?,从而列 出 X 的分布列.

【互动探究】
2.一个口袋中装有大小相同的 2 个白球和 3 个黑球. (1)采取放回抽样方式,从中摸出 2 个球,求 2 个球恰好颜

色不同的概率; (2)采取不放回抽样方式,从中摸出 2 个球,求摸得白球的
个数的分布列.

解:(1)采取放回抽样方式,从中摸出 2 个球,2 球恰好颜 色不同,也就是说从 5 个球中摸出一球,若第一次摸到白球, 则第二次摸到黑球;若第一次摸到黑球,则第二次摸到白球. 2 3 3 2 12 因此它的概率是:p=5×5+5×5=25. (2)设摸得白球的个数为 ξ,则 ξ=0,1,2. C2 3 C1 C1 3 3 2· 3 P(ξ=0)=C2=10,P(ξ=1)= C2 =5, 5 5 C2 1 2 P(ξ=2)=C2=10. 5 ξ 的分布列为: ξ 0 1 2 3 3 1 P 10 5 10

考点 3 二项分布的应用 例 3:(2014 年上海金山一模)2012 年 3 月 2 日,国家环保 部发布了新修订的《环境空气质量标准》.其中规定:居民区中 的 PM2.5 年平均浓度不得超过 35 微克/立方米,PM2.5 的 24 小 时平均浓度不得超过 75 微克/立方米.某城市环保部门随机抽取 了一居民区 2013 年 40 天的 PM2.5 的 24 小时平均浓度的监测 数据,数据统计如下:

组别
第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组

PM2.5(微克/立方米) (0,15] (15,30] (30,45] (45,60] (60,75] (75,90)

频数
4 12 8 8 4 4

频率
0.1 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1

(1)请你根据上表的数据统计估计该样本的众数和中位数 (不必写出计算过程);

(2)求该样本的平均数,并根据样本估计总体的思想,从
PM2.5 的年平均浓度考虑,判断该居民区的环境是否需要改

进?并说明理由; (3)将频率视为概率,对于 2013 年的某 2 天,记这 2 天中
该居民区 PM2.5 的 24 小时平均浓度符合环境空气质量标准的 天数为ξ,求ξ的分布列及数学期望 E(ξ).

解:(1)众数约为 22.5,中位数约为 37.5. (2)去年该居民区 PM2.5 年平均浓度为

7.5×0.1 +22.5×0.3 +37.5×0.2 +52.5×0.2 +67.5×0.1 +
82.5×0.1=40.5(微克/立方米). 因为40.5>35,所以2013 年该居民区PM2.5 年平均浓度不

符合环境空气质量标准, 故该居民区的环境需要改进.
(3)记事件 A 表示“一天 PM2.5 的 24 小时平均浓度符合环 40-4 9 境空气质量标准”,则由表,得 P(A)= 40 =10. ? 9? 随机变量 ξ 的可能取值为 0,1,2,且 ξ~B?2,10?. ? ?

所以

P(ξ=k)=Ck 2?

?

9 ?k? 9 ?2-k ? ?1- ? (k=0,1,2). 10? ?10? ?

所以变量 ξ 的分布列为: ξ P 0 1 100 1 18 100 2 81 100

1 18 81 E(ξ)=0×100+1×100+2×100=1.8, 9 或 E(ξ)=np=2×10=1.8.

【规律方法】(1)判断一个随机变量是否服从二项分布,关 键有两点:一是对立性,即一次试验中,事件发生与否必居其

一;二是重复性,即试验是否独立重复进行了 n 次.
(2)二项分布满足的条件: ①每次试验中,事件发生的概率是相同的; ②各次试验中的事件是相互独立的; ③每次试验只有两种结果:事件要么发生,要么不发生; ④随机变量是这 n 次独立重复试验中事件发生的次数.

【互动探究】 3.一袋子中有大小相同的 2 个红球和 3 个黑球,从袋子里 随机取球,取到每个球的可能性是相同的,设取到 1 个红球得 2 分,取到 1 个黑球得 1 分. (1)若从袋子里一次随机取出 3 个球,求得 4 分的概率; (2)若从袋子里每次取出 1 个球,看清颜色后放回,连续取 3 次,求得分ξ的概率分布列.

解:(1)设“一次取出 3 个球得 4 分”的事件记为 A,它表 示取出的球中有 1 个红球和 2 个黑球的情况,
2 C1 3 2 C3 则 P(A)= C3 =5. 5

(2)由题意,ξ 的可能取值为 3,4,5,6.因为是有放回地取球, 2 3 所以每次取到红球的概率为5,取到黑球的概率为5.
3 3 3 P(ξ=3)=C3? ? =

? ? ?5?

27 125,

2 3 22 P(ξ=4)=C3? ? ·=

? ?

54 , ?5? 5 125
? ?? ? ?5? ?5? ? ? ?5?

1 3 2 2 ? ? = P(ξ=5)=C3? ?· 0 2 3 P(ξ=6)=C3? ? =

36 125,

8 125, 3 4 54 125 5 36 125 6 8 125

故 ξ 的分布列为: ξ P 27 125

●思想与方法● ⊙分类讨论思想与离散型随机变量的结合 例题:(2014 年福建)为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖 的方式对 1000 位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球,球上所标的面 值之和为该顾客所获的奖励额. (1)若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元,其 余 3 个均为 10 元,求: i)顾客所获的奖励额为 60 元的概率; ii)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望.

(2)商场对奖励总额的预算是 60 000 元,并规定袋中的 4 个 球只能由标有面值为 10 元和 50 元的两种球组成,或标有面值 为 20 元和 40 元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可 能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋

中的 4 个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由.
解:(1)设顾客所获的奖励额为 X.
1 C1 1 1C3 i)依题意,得 P(X=60)= C2 =2, 4

1 即顾客所获的奖励额为 60 元的概率为2.

ii)依题意,得X 的所有可能取值20,60.

1 C2 1 3 P(X=60)=2,P(X=20)=C2=2, 4
即 X 的分布列为:

X P

20 0.5

60 0.5

所以顾客所获的奖励额的期望为 E(X)=20×0.5+60×0.5
=40.

(2)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为60元.所以,

先寻找期望为60元的可能方案.
对 于 面 值 由 10 元 和 50 元 组 成 的 情 况 , 如 果 选 择

(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以期
望不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是 面值之和的最小值,所以期望也不可能为60元,因此可能的 方案是(10,10,50,50),记为方案1; 对 于 面 值 由 20 元 和 40 元 组 成 的 情 况 , 同 理 可 排 除

(20,20,20,40) 和 (40,40,40,20) 的 方 案 , 所 以 可 能 的 方 案 是
(20,20,40,40),记为方案2.

以下是对两个方案的分析: 对于方案 1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励额为

X1,则 X1 的分布列为
20 60 100 1 2 1 P 6 3 6 1 2 1 X1 的期望为 E(X1)=20×6+60×3+100×6=60, 1 2 2 X1 的方差为 D(X1)=(20-60) ×6+(60-60) ×3+(100-
2

X1

1 1600 60) ×6= 3 .
2

对于方案2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励额为 X2,则 X2 的分布列为:
40 60 80 1 2 1 P 6 3 6 1 2 1 X2 的期望为 E(X2)=40×6+60×3+80×6=60, 1 2 2 2 X2 的方差为 D(X2) = (40 - 60) × 6 + (60 - 60) × 3 + (80 - 1 400 2 60) ×6= 3 . X2

由于两种方案的奖励额的期望都符合要求,但方案 2 奖励 额的方差比方案 1 的小,所以应该选择方案 2.

【规律方法】本题主要考查相互独立事件及互斥事件概率 的计算,考查分类讨论思想以及运用数学知识解决问题的能力. 尤其是运用分类讨论思想解决离散型随机变量分布列问题的时 候,可通过检查最后求出的分布列是否符合分布列的两个性质 来检查分类讨论是否有所遗漏或重复.


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