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第一节 导数的概念

时间:2013-12-17


第二章 一元函数微分学
第一节 导数的概念
一、两个实例 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、导数的物理意义 五、函数可导与连续的关系

第二节 第三节 第四节

初等函数的导数 微分 导数的应用

导数与微分构成了微分学的总体,本章 将介绍它们的定义和应用。
1

一、两个实例
实例1 细菌繁殖的快慢问题
设t 时刻的细菌数为N=N(t),则细菌在时刻

t 0 到 t 0 ? ?t 内的平均繁殖速率为
?N N ( t 0 ? ?t ) ? N ( t 0 ) ? ?t ?t

平均变化率 差商

当 ?t ? 0 时,其极限值就是在t0时刻

细菌繁殖的瞬时速率,即
N ( t 0 ? ?t ) ? N ( t 0 ) ?N lim ? lim ?t ?0 ?t ?t ?0 ?t

瞬时变化率
2

一、两个实例 实例2
y
y0 ? ?y
M

曲线的切线问题
?y 割线斜率 tan ? ? ?x

y ? f ( x)

?y
M0

T

切线斜率

y0

o

?

? x0

?x

k M 0T ? tan ? ? lim tan ?
? ??

x 0 ? ?x

x

? ? ? ? ?x ? 0

k M 0T

f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ?y ? lim ? tan α ? lim tan β ? lim ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x ? ??
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二、导数的定义

定义2-1 设函数 y=f(x) 在邻域 O(x0 ,δ)内有定义. f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ?y ? lim 若极限 lim ?x ? 0 ?x ?x ? 0 ?x 存在, 则称此极限值为函数y=f(x)在点x0处的导数 (derivative),记为 df ( x ) dy f ?( x0 )   y ? | x ? x0   dx dx x ? x0 x ? x0 这时,称函数 y=f(x) 在点 x0 处可导(导数存在). 如果上述极限不存在,则称该函数在点 x0 处 不可导(导数不存在) . 4

二、导数的定义
?y lim 若 ?x ?0 ?x ? ? ,则称函数 y=f(x) 在点 x0 处的

导数为无穷大,记为 f ?( x0 ) ? ? (导数不存在)
前面两个实际问题可分别用导数表示为
N ?( t 0 )
f ?( x0 ).



导数反映了函数关于其自变量变化的快慢 问题,故亦称其为变化率.
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二、导数的定义
类似,可定义左导数( derivative on the left )

f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) ?y f ?? ( x0 ) ? lim ? lim ? x ?x ? 0 ? ?x ?x ? 0 ?
和右导数(derivative on the right):

f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) ?y f ?? ( x0 ) ? lim ? lim ?x ?x ? 0 ? ?x ?x ? 0 ?
且有

f ?( x0 )存在 ? f ?? ( x0 ) ? f ?? ( x0 )
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二、导数的定义

如果函数f(x)在区间(a, b)内的任意一点 x 处都 称 可导,则称函数f(x)在开区间(a,b)内可导, f ?( x ) 为f(x)的导函数(derived function),简称为导数. 记为

f ?( x )  y ?

且 如果函数f(x)在开区间(a,b)内可导, f ?? (a ) 和 f ?? (b) 都存在, 则称函数f(x)在闭区间[a,b]上可导. x0 处的函数值,即 f ?( x0 ) ? f ?( x ) | x ? x0 . 函数y=f(x)在点x0处的导数等于其导函数在点

dy dx

df ( x ) dx

注意:f ?( x0 ) ? [ f ( x0 )]?

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二、导数的定义
导数的定义有如下的等价关系式:
?y f ?( x0 ) ? lim ?x ? 0 ?x

? ? ? ?

f ?( x0 ) ? lim
x ? x0

f ( x ) ? f ( x0 ) x ? x0

f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) f ?( x0 ) ? lim ?x ?0 ?x
f ( x0 ? h) ? f ( x0 ) f ?( x0 ) ? lim h? 0 h

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ) f ?( x0 ) ? lim h? 0 ?h

f ?(定) ? lim
动?定

f (动) ? f (定) 动?定
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1 f ( x0 ? ) ? f ( x0 ) n lim 存在,不一定有 f ?( x0 ) 存在。 但 n? ? 1 n ? 2? ?sin , x ? 0 例如:f ( x ) ? ? x ? 0 , x?0 ?

二、导数的定义

2 sin 0? ? x ? 0 ? ?(0) ? lim 但 f ,不存在. ?x ?0 ?x

1 f ( 0 ? ) ? f ( 0) sin 2n? ? 0 ? lim(0 ? n) ? 0 , n ? lim lim n? ? n? ? 1 n? ? 1 n n

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二、导数的定义(例题)
1 例1. 已知 y ? ,求 x

y ? 和 y ? | x ?1 .

? ?x 1 1 ? ?1 ?y x ? ?x x x( x ? ?x ) 解: ? , 因 ? ? x ( x ? ?x ) ?x ?x ?x

?y ?1 1 ? lim ?? 2, 故 y? ? lim ?x ? 0 x ( x ? ? x ) ?x ?0 ?x x
y ? | x ? 1 ? ?1 .
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三、导数的几何意义
表示函 函数 y=f(x) 点 x=x0 处的导数值 f ?( x0 )  数曲线 y=f(x) 在点 M(x0 , f(x0)) 处的切线的斜率。 由此可得,函数曲线y=f(x)在点 M(x0 , f(x0))处的

切线方程和法线方程分别为

y ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 )
1 y ? f ( x0 ) ? ? ( x ? x0 ) f ?( x0 )
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三、导数的几何意义(例题)
1 例2. 求曲线 y ? 在点(1,1)处的切线方程. x 1 解:由例1知 f ?( x ) ? y? ? ? 2 x

因 f ?(1) ? y? x ?1

1 ? (? 2 ) ? ?1 x x ?1

故所求切线方程为 y ? 1 ? ?1( x ? 1) 即

y ? ?x ? 2 .
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三、导数的几何意义示意图
曲线
若 若 若 在点
tan ? ? f ?( x0 )

y

y ? f (x )

的切线斜率为
C

M
x0

T

曲线过 曲线过

上升; 下降;

o ? y

x

( x0 , y0 )

切线与 x 轴平行, 切线与 x 轴垂直 .
y

称为驻点;
y

o

x0

? x



o
o
x

x0

x0

x
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四、导数的物理意义
变速直线运动的瞬时速度.

已知作变速直线运动的质点M的运动规律为
S=S(t), 则其在时刻 t0 的瞬时速度 v(t0) 为
S (t0 ? ?t ) ? S (t0 ) ?S v(t0 ) ? lim ? lim ?t ?0 ?t ?t ?0 ?t



v(t0 ) ? S ?(t0 )
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五、函数的可导与连续的关系
可导一定连续:
?y 因 f ?( x ) ? lim   ?x ? 0 ?x

?y 故 lim ?y ? lim( ? ?x ) ?x ?0 ?x ?0 ?x
?y ? lim ? lim ?x ?x ?0 ?x ?x ?0

? f ?( x ) ? 0 ? 0.
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五、函数的可导与连续的关系
连续不一定可导:
例如,函数 y ? x 在点 x ? 0 处连续但不可导. 易见,?y ? 0 ? ?x ? 0 ? ?x , lim ?y ? lim ?x ? 0 .
?x ? 0 ?x ? 0

?x ?y ? ?x ? lim ? lim ? ?1 因 f ?? (0) ? lim   ?x ?x ?0 ?x ? 0 ? x ?x ?0 ?x
?
?
?

?x ?y ?x f ?? (0) ? lim   lim ? ? lim ?1 ?x ? 0 ?x ?x ? 0 ?x ?x ?0 ?x
? ?

?

故 f ?? (0) ? f ?? (0) ,
即函数 y ? x 在点 x ? 0 处不可导.
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练习题1
f (sin2 x ) ? f (0) 1. 已知 f ?(0) ? 2 ,求 lim . x ?0 x

f (sin2 x ) ? f (0) 解: lim x ?0 x

f (sin 2 x ) ? f (0) sin2x ? lim [ ? ? 2] sin2 x ? 0 2x sin 2 x ? 0

? f ?(0) ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 4.
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练习题2
? 1 x2, x ? 1 ?2 在x ? 1处的可导性. 2.讨论函数 f ( x ) ? ? 1 ? x3, x ? 1 ?3

解: f ?(1) ? lim
x ?1

f ( x ) ? f (1) x ?1

f ?? (1) ? lim
x ?1?

1 2 1 2 1 ( x ? 1) x ? 2 2 ? 2 lim x ? 1 ? 1 x ?1 x ?1?

1 3 1 x ? 2 f ?? (1) ? lim 3 x ?1 x ?1?

故 ? ? , f ?(1)不存在.
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