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7.1 直线方程与两直线的位置关系


高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

?

第七章 直 线 和 圆

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

§7.1 直线方程与两直线的位置关系

知识诠释

思维发散

?
一、直线的倾斜角和斜率 1.直线方程的概念:以一个方程的解为坐标的点都是某条直 线上的点,反过来,这条直线上的点的坐标都是这个方程的 解,这时,这个方程就叫做这条直线的方程,这条直线叫做这

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

个方程的直线. 2.直线的倾斜角与斜率:在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线,如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和 直线重合时所转的最小正角记为α,那么α就叫做直线的倾斜 角.当直线和x轴平行或重合时,我们规定直线的倾斜角为0°. 3.倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.倾斜角不是90°的直线,它 的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率,常用k表示.

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4.斜率公式:经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的斜率公式:k=

?

y2 ? y1 x2 ? x1 (x2≠x1).

二、直线方程的几种形式

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

已知条件 点斜式 斜截式 P1(x1,y1),k k,b

直线方程 y-y1=k(x-x1) y=kx+b

适用范围 k存在 k存在

两点式

P1(x1,y1),
P2(x2,y2)

? ?
?+?=1
x a y b

y ? y1 y2 ? y1

x ? x1 = x 2 ? x1

x1≠x2,y1≠y2

截距式

a,b

a≠0且b≠0

一般式

A、B、C ∈R Ax+By+C=0

A2+B2≠0

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

三、两直线平行与垂直 1.特殊情况下的两直线平行与垂直 当两条直线中有一条没有斜率时:(1)当另一条的斜率也不存

在时,两直线互相平行;(2)当另一条直线的斜率为0时,两直线
互相垂直. 2.斜率存在时两直线的平行与垂直 (1)两条直线有斜率且不重合,如果它们平行,那么它们的斜

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

率相等;反之,如果它们的斜率相等,则它们平行,即l1∥l2?k1= k2且b1≠b2. 若直线l1、l2的方程为l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1B1C1 ≠0,A2B2C2≠0),则l1∥l2?

? ??
A1 B1 C1 = B2 ≠ C2 . A2

(2)两条直线垂直的情形:如果两条直线的斜率分别是k1和k2, 那么这两条直线垂直的充要条件是k1k2=-1.

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

若直线l1和l2的一般式方程为l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2= 0,则l1⊥l2?A1A2+B1B2=0. 3.两条直线是否相交的判断
两条直线是否有交点,就要看这两条直线方程所组成的方程组:
? A x ? B y ? C ? 0, ? ? A x? B y?C ? 0
1 1 1

?

是否有唯一解.

2

2

2

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

四、距离公式

1.点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离为:d=

?
.

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

.

2.已知两条平行直线l1和l2的一般式方程为l1:Ax+By+C1=0,l2: Ax+By+C2=0,则l1与l2的距离为d=

?

| C1 ? C2 | A2 ? B 2

五、对称问题

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

1.点P(x0,y0)关于定点A(a,b)的对称点为(2a-x0,2b-y0);曲线C: f(x,y)=0关于点A(a,b)的对称曲线方程为f(2a-x,2b-y)=0.

2.若求点P0(x0,y0)关于直线l:Ax+By+C=0的对称点P(x,y),可应
y ? y0 ? x ? x0 A ? ? B ? ? C ? 0, ? 2 2 ? y ? y0 B 用方程组 ? ? ? . ? ? x ? x0 A

?

3.直线关于点对称和直线关于直线对称,可以转化为点关于
点对称和点关于直线对称来求解.

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

1.过点M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1,则m的值为?(

)

(A)1.

(B)4.
4?m m?2

(C)1或3.

(D)1或4.

【解析】∵k=?

=1,∴4-m=m+2,∴m=1.

【答案】A

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

2.若三条直线y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相交于同一点,则点 (m,n)可能是? ( (A)(1,-3). (C)(-3,1).
【解析】由 ?

)

(B)(3,-1). (D)(-1,3).
? y ? 2 x, ? x ? y ? 3,

? x ? 1, ?得? ? y ? 2. ?

由题意知m+2n+5=0,∴点(m,n)可能是(1,-3). 【答案】A

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

3.已知点(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a等于?(

)

(A) (C)

2. ? 2 -1. ?

(B)2-?2 . (D)
?+1. 2

【解析】由题意知 故应选C.

| a ? 2 ? 3| ? 2

=1,解之得a=-? 2 -1(舍去)或a=?2 -1.

【答案】C

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

核心突围

技能聚合

?
题型1 直线的倾斜角和斜率

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

? ? ?例1 直线2xcos α-y-3=0(α∈[? , ? ])的倾斜角的范围
6 3

是?(

)
? ]. (B)[? , ? 4
3

(A)[? ,? ].
6 3
4

? ?
?

?

(C)[? , ?].
2

?

2? (D)[? ,? 4 3

?

].

【分析】先求斜率的范围,再求倾斜角的范围.

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

【解析】 直线2xcos α-y-3=0的斜率k=2cos α,由于α∈[?,? ], 3
6

?

?

3]. 因此k=2cos α∈[1,? 3].设直线的倾斜角为θ,则有tan θ∈[1,?

由于θ∈[0,π),所以θ∈[? ,? ],故选B. 4 3

?

?

【答案】 B
【点评】直线的倾斜角θ和斜率,可以“知一求一”.当θ=?
时,斜率k不存在;当θ=0时,k=0;当0<θ<?时,k>0;当? <θ<π时,k<0. 2
2

?

?

?

2

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

变式训练1

已知点A(-1,-5),B(3,-2),直线l的倾斜角是直线AB )
19 (D)?. 8

的倾斜角的2倍,则直线l的斜率为? (
4 (A)?. 3

24 (B)?. 7

(C)

13 ? . 6

【解析】∵A(-1,-5),B(3,-2),
?2 ? 5 ∴kAB=? 3 ?1
3 =?. 4

设直线AB的倾斜角为θ,即tan θ=? , 4

3

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

直线l的倾斜角为2θ,∴tan 2θ=

24 2 tan? θ =? . 2 1 ? tan θ 7

即直线l的斜率为?. 【答案】B

24 7

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

题型2

?
程为? (

直线的方程 例2 (1)过点(-1,3)且平行于直线x-2y+3=0的直线方 )

(A)x-2y+7=0. (C)x-2y-5=0.

(B)2x+y-1=0. (D)2x+y-5=0.

(2)经过点A(-5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2
倍的直线方程是 .

【分析】结合所给条件选择适当的直线方程形式求解.

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1 2

第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

【解析】(1)所求直线的斜率为? ,故其方程为y-3=? (x+1),即x2y+7=0.

1 2

(2)设直线在x轴上的截距为2a,则其在y轴上的截距为a. 当a=0时,直线的斜率k=-? ,此时,直线方程为y=-? x,即2x+5y=0.
1 x y 当a≠0时,点A(-5,2)在直线?+? =1上,得a=-? ,此时,直线方程 2 2a a
2 5 2 5

为x+2y+1=0.

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

综上所述,所求直线的方程为x+2y+1=0或2x+5y=0. 【答案】 (1)A (2)x+2y+1=0或2x+5y=0 【点评】 求直线方程的方法主要有以下两种:(1)直接法,根

据已知条件,选择适当的直线方程形式,直接写出直线方程;
(2)待定系数法,先设出直线方程,再根据已知条件求出待定 系数,最后代入求出直线方程.

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

变式训练2 经过? (

(1)直线l垂直于y=x+1,在y轴上的截距为-3,则l不 ) (B)第二象限. (D)第四象限.

(A)第一象限. (C)第三象限.

(2)已知直线l1的方程是y=ax+b,l2的方程是y=bx-a(ab≠0,a

≠b),则下列各示意图形中,正确的是? (

)

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

【解析】(1)直线l的斜率为-1,在y轴上截距为-3,则它不经过 第一象限.
(2)直线l1的斜率为a,在y轴上的截距为b;直线l2的斜率为b,在y 轴上的截距为-a.选项A中,由直线l1知
?a ? 0, ? ? ?b ? 0,

?a ? 0, ? ?b ? 0,

?b ? 0, ?由l 知? ?
2

??a ? 0,



没有矛盾.其他选项都有矛盾.

【答案】(1)A (2)A

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

题型3 两直线的平行与垂直

?

例3

已知两条直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+b=0,

求满足下列条件的a,b的值. (1)l1⊥l2,且l1过点(-3,-1); (2)l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等. 【分析】两直线的位置关系如何用直线方程的系数来反映, 是解题的切入点.

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

【解析】(1)由已知可得l2的斜率必存在,∴其斜率k2=1-a. 若k2=0,则1-a=0,a=1. ∵l1⊥l2,直线l1的斜率k1必不存在,即b=0. 又∵l1过点(-3,-1),∴-3a+b+4=0,即b=3a-4=-1≠0(不合题意), ∴k2≠0,则k1、k2都存在.
a ∵k2=1-a,k1=? ,l1⊥l2, b

∴k1· k2=-1,即? (1-a)=-1.

a b



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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

又∵l1过点(-3,-1),∴-3a+b+4=0. 由①②联立,解得a=2,b=2.



(2)∵l2的斜率存在,l1∥l2,∴直线l1的斜率存在, ∴k1=k2,即? =1-a.
a b



∵坐标原点到这两条直线的距离相等,且l1∥l2,
4 ∴l1、l2在y轴上的截距互为相反数,即? =b, b



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2 ? ? a ? 2, ?a ? , 3 ? ?或 ? ?b ? ?2 ? ?b ? 2.

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联立③④解得

?

【点评】研究直线的平行与垂直问题,通常需要讨论直线的

斜率是否存在.

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

变式训练3

已知两直线l1:mx+8y+n=0和l2:2x+my-1=0.试确

定m、n的值,使: (1)l1与l2相交于点P(m,-1); (2)l1∥l2; (3)l1⊥l2,且l1在y轴上的截距为-1. 【解析】(1)∵m2-8+n=0,且2m-m-1=0,

∴m=1,n=7.

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

m 8 n (2)当m=0时,显然l1不平行于l2;当m≠0时,由? =? ≠?得 2 m ?1

?m ? m ? 8 ? 2 ? 0, ? ? 8 ? (?1) ? n ? m ? 0, ?

?m ? 4, ∴? ?n ? ?2

?或?

?m ? ?4, ? ?n ? 2.

即m=4,n≠-2或m=-4,n≠2时,l1∥l2. (3)当且仅当m· 2+8· m=0,即m=0时,l1⊥l2. 又?=-1,∴n=8. 即m=0,n=8时,l1⊥l2,且l1在y轴上的截距为-1.
?n 8

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

题型4 两直线的交点与距离问题

?

例4

(1)求经过两直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交

点P,且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程.
(2)已知A(4,-3),B(2,-1)和直线l:4x+3y-2=0,在坐标平面内求一 点P,使|PA|=|PB|,且点P到直线l的距离为2. 【分析】(1)思路一:求交点,定斜率,用点斜式求解.思路二:利

用直线系方程求解. (2)|PA|=|PB|等价于点P在AB的垂直平分线上.

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

【解析】 (1)(法一)由方程组

? x ? 2 y ? 4 ? 0, ? x ? 0, 得 ? ? x ? y ? 2 ? 0 ? ? y ? 2,

? ?

即P(0,2).
4 ∵l⊥l3,∴kl=-? ,∴直线l的方程为y-2=-? x,即4x+3y-6=0. 3 4 3

(法二)∵直线l过直线l1和l2的交点, ∴可设直线l的方程为x-2y+4+λ(x+y-2)=0,即(1+λ)x+(λ-2)y+42λ=0.

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

∵l与l3垂直,∴3(1+λ)+(-4)(λ-2)=0,∴λ=11, ∴直线l的方程为12x+9y-18=0,即4x+3y-6=0. (2)设点P的坐标为(a,b).∵A(4,-3),B(2,-1), ∴线段AB的中点M的坐标为(3,-2).
而AB的斜率kAB=
?3 ? 1 ?=-1, 4?2

∴线段AB的垂直平分线方程为y+2=x-3,即x-y-5=0.

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

∵点P(a,b)在上述直线上,∴a-b-5=0.①

又点P(a,b)到直线l:4x+3y-2=0的距离为2,

| 4a ? 3b ? 2 | ?=2,即4a+3b-2=±10.② 5
? a ? 1, ? 或 ? b ? ? 4 ?

由①②联立可得

?

27 ? a ? , ? ? 7 ? ?b ? ? 8 . ? 7 ?

∴所求点P的坐标为(1,-4)或(?,-? ).

27 8 7 7

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

【点评】求与已知两直线的交点有关的问题,有两种方法: (1)先求出两直线交点,将问题转化为过定点的直线,然后再 利用其他条件求解;(2)运用过两直线交点的直线系方程,设

出方程后再利用其他条件求解.

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

变式训练4

已知点P(2,-1).

(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程. (2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程,最大距离是多

少?
(3)是否存在过P点且与原点距离为6的直线?若存在,求出方

程;若不存在,请说明理由.

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

【解析】(1)过P点的直线l与原点距离为2,且P点坐标为(2,1),

若l的斜率不存在,其方程为x=2,满足条件. 若斜率存在,设l的方程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0.
由已知得?
| ?2k ? 1| k2 ?1

=2,解得k=?.此时l的方程为3x-4y-10=0.

3 4

综上,可得直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0.

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

(2)作图可得过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO 垂直的直线,如图. 由l⊥OP,得klkOP=-1,
所以kl=? =2.由直线方程的点斜式得y+1=2(x-2),即2x-y-5=0. 即直线2x-y-5=0是过P点且与原点O距离最大的直线,最大距 离为|OP|=
? 5.
?1 kOP

5 的直线, (3)由(2)可知,过P点不存在到原点距离超过?

因此不存在过P点且到原点距离为6的直线.

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

题型5

直线方程的综合应用 例5 已知直线l过点M(2,1),且分别与x轴、y轴的正

?

半轴交于A、B两点,O为原点. (1)当△ABO的面积最小时,求直线l的方程; (2)当|MA|· |MB|取得最小值时,求直线l的方程.

【分析】先设出直线l的方程,再求出A、B两点的坐标,表示
出△ABO的面积,然后利用相关的数学知识求最值.

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

1 【解析】(1)设直线l的方程为y-1=k(x-2)(k<0),则A(2-? k ,0),B(0,

1-2k),

1 1 1 1 1 △AOB的面积S=? (1-2k)(2-? )=? [4+(-4k)+(-? )]≥? ×(4+4)=4. 2 k 2 k 2

当且仅当-4k=-? ,即k=-? 时,等号成立, 故直线l的方程为y-1=-? (x-2),即x+2y-4=0.
(2)由(1)得∵|MA|=?
1 ?1 2 k
1 2

1 k

1 2

,|MB|=? 4 ? 4k 2 ,

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

∴|MA|· |MB|=?
1 k

1 ?1 2 k

2 · ? 4 ? 4k

=2?

k2 ?

1 ?2 2 k

≥2×2=4,

当且仅当k2=? 2 ,即k=-1时取等号,故直线方程为x+y-3=0.

【点评】利用直线方程解决问题时,为简化运算要灵活选用 直线方程的形式.一般地,已知一点通常选择点斜式;已知斜 率选择斜截式或点斜式;已知截距选择截距式.

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

变式训练5

已知直线l过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分

别交于A、B两点,求l在两轴上的截距之和最小时直线l的方 程. 【解析】(法一)依题意,直线l的斜率k存在且k<0,
2 设l的方程为y=k(x-3)+2,则A(3-? ,0),B(0,2-3k), k

∴l在两轴上的截距之和为2-3k+3-? =5+[(-3k)+(-? )]≥5+2?6 .

2 k

2 k

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6 3

第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

∴k=-? 时,l在两轴上截距之和最小,此时l的方程为 3 6 -6=0.

6 ?x+3y-

(法二)设A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0),
x y 则直线l的方程为? +? =1. a b

∵l过点P(3,2),∴?+?=1,∴a+b=(a+b)(?+?)=5+? +?≥5+2
6 ? .

3 a

2 b

3 a

2 b

3b a

2a b

故当且仅当?=?且?+?=1,即a=3+

3b a

2a b

3 a

2 b

?,b=2+?6 时截距之和最 6

小,此时l的方程为? 6 x+3y-3?6 -6=0.

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

题型6 对称问题

?

例6

已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2),求

(1)点A关于直线l的对称点A'的坐标; (2)直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m'的方程. 【分析】两点关于直线l对称等价于两点连线段被直线l垂直 平分;直线关于直线对称转化为点关于直线对称.

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

【解析】(1)设A'(x,y),由已知得

?

?y?2 2 ? ? ?1, ? ? x ?1 3 ? ?2 ? x ? 1 ? 3 ? y ? 2 ? 1 ? 0, ? 2 2 ?
33 4 13 13

解得

?

33 ? x ? ? , ? ? 13 ? ?y ? 4 . ? 13 ?

∴A'(-? ,? ). (2)在直线m上取一点如M(2,0),则M(2,0)关于直线l的对称点

必在m'上,设对称点为M'(a,b),

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b?0 ? a?2 2 ? ? 3 ? ? 1 ? 0, ? ? 2 2 则? 解得 b ? 0 2 ? ? ? ?1, ? ?a ? 2 3
6 30 ∴M'(? ,?). 13 13

第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

? ?

6 ? a ? , ? ? 13 ? ?b ? 30 . ? 13 ?

设m与l的交点为N,由?

?2 x ? 3 y ? 1 ? 0, ? ?3x ? 2 y ? 6 ? 0,

得N(4,3).

又∵m'经过点N(4,3), ∴直线m'的方程为9x-46y+102=0.

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

【点评】两直线l1、l2关于直线l的对称问题也可先在所求直 线l1上任取一动点P(x,y),P关于直线l的对称点设为Q(x0,y0),则 Q在直线l2上,利用PQ被直线l垂直平分,将Q点坐标用P点坐

标表示,再利用Q点坐标满足直线l2的方程求出P点坐标满足
的方程即所求的直线l1的方程,这种方法叫做坐标转移法(或 代入法).

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

变式训练6

(1)求直线3x-y-4=0关于点P(2,-1)对称的直线l的

方程.
(2)求直线a:2x+y-4=0关于直线l:3x+4y-1=0对称的直线b的方程.

【解析】(1)(法一)设直线l上任一点为(x,y),它关于点P(2,-1) 的对称点(4-x,-2-y)在直线3x-y-4=0上, ∴3(4-x)-(-2-y)-4=0,∴3x-y-10=0,

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

∴所求直线l的方程为3x-y-10=0.
(法二)由于直线l与3x-y-4=0平行,故设直线l的方程为3x-y+b=0,

则由点P到两直线的距离相等,
得? 2
| 6 ?1? 4 | 3 ?1

=?

| 6 ?1? b | 3 ?1
2

,

解得:b=-10或b=-4(舍去).

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

∴所求直线l的方程为3x-y-10=0.
(2)设直线b上的动点P(x,y)关于l:3x+4y-1=0的对称点为Q(x0,y0).
? y0 ? y 4 ? , ? x ? x 3 ? 0 则有 ? ?3 ? x ? x0 ? 4 ? y ? y0 ? 1 ? 0. ? 2 2 ?

?

7 x ? 24 y ? 6 解得x0=? 25

,y0=

?24 x ? 7 y ? 8 ?. 25

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

由于Q(x0,y0)在直线a:2x+y-4=0上,则

?24 x ? 7 y ? 8 7 x ? 24 y ? 6 ? + ? -4=0, 25 25

化简得2x+11y+16=0即为所求直线b的方程.

?

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

1.解决有关直线方程的综合题,要根据题目给出的条件灵活
选用直线方程的形式,且要注意题目中的隐含条件.

2.求直线方程的基本方法包括利用条件直接求直线的基本
量和利用待定系数法求直线的基本量.

3.研究最值问题时,可以从几何图形入手,找到最值时的情形,
也可以从代数角度考虑,构建目标函数,进而转化为研究函数 的最值问题.

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

4.不重合的两条直线,当两直线的斜率均不存在时,两直线平 行;当一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,两直 线垂直;当一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率是非零

实数时,两直线相交但不垂直. 5.中心对称和轴对称
(1)中心对称:
? x ' ? 2 a ? x, ①点P(x,y)关于O(a,b)的对称点为P'(x',y')满足 ? y ' ? 2b ? y. ?

?

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决. (2)轴对称: ①点A(a,b)关于直线Ax+By+C=0(B≠0)的对称点为A'(m,n),则
A ? n?b ? ( ? ) ? ?1, ? ? a B 有? m ? ? A ? a ? m ? B ? b ? n ? C ? 0. ? 2 2 ?

?

②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来 解决.

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

?



若直线l经过点(3,2),且在两坐标轴上的截距相

等,求直线l的方程.

【错解1】如图,由于直线l在两坐标轴上的截距相等,故l的斜 率为±1.若k=1,则直线方程为y-2=x-3;若k=-1,则直线方程为y-2

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

=-(x-3).故直线方程为x-y-1=0或x+y-5=0. 【错解2】由题意,直线在两坐标轴上的截距相等,则可设直
x y 3 2 线方程为? +? =1.由直线过点(3,2),得? +? =1,即a=5,即方程为 a a a a

x+y-5=0.

【剖析】在上述两种错解中,错解一忽视了截距的意义,截距
不是距离,它可正可负,也可以为0.显见,当k=1时,直线x-y-1=0 在两坐标轴上的截距分别为1和-1,它们不相等.另外,这种解

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

法还漏掉了直线在两坐标轴上的截距均为0的情况.错解二 中,没有注意到截距式方程的适用范围,同样也产生了漏解. 【正解1】由于直线l在两坐标轴上有截距,因此直线不与x、 y轴垂直,斜率存在,且k≠0. 设直线方程为y-2=k(x-3), 令x=0,则y=-3k+2,令y=0,则x=3-? .
2 k

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

2 2 由题设可得-3k+2=3-? ,解得k=-1或k=? . 3 k 2 ∴直线l的方程为y-2=-(x-3)或y-2=? (x-3). 3

故直线l的方程为x+y-5=0或2x-3y=0. 【正解2】由题设,设直线l在x、y轴的截距均为a. 若a=0,则l过点(0,0),又过点(3,2),

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

∴直线l的方程为y=? x,即2x-3y=0.
y 若a≠0,则设l为? +? =1. a
2 由l过点(3,2),知? +? =1,故a=5. a 3 a x a

2 3

∴直线l的方程为x+y-5=0. 综上可知,直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0.

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

基础· 角度· 思路

一、选择题(本大题共5小题,每小题6分)
1.(基础再现)若直线l与直线y=1,x=7分别交于点P,Q,且线段

PQ的中点坐标为(1,-1),则直线l的斜率为? (
(A)? .
1 3

)

(B)-? .

1 3

3 (C)-? . 2

2 (D)? . 3

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

【解析】由直线l与直线y=1,x=7分别交于点P、Q,可设P(x1, 1),Q(7,y1),再由线段PQ的中点坐标为(1,-1),可解得:x1=-5,y1= -3.即直线l上有两点P(-5,1),Q(7,-3),代入斜率公式可解得直线l

的斜率为k=

1? 3 1 ?=-? . 3 ?5 ? 7

【答案】B

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

2.(基础再现)已知直线mx+4y-2=0与2x-5y+n=0互相垂直,交点 为(1,p),则m-n+p的值是? ( (A)24. (B)20. (C)0. ) (D)-4.
m 4
2 5

【解析】直线mx+4y-2=0与2x-5y+n=0互相垂直,则有(-?)· ?=-

1?m=10,而交点为(1,p).故
20.

? p ? ?2, ?10 ? 4 p ? 2 ? 0, ? 所以m-n+p= ? ? ?n ? ?12, ?2 ? 5 p ? n ? 0

?

?

【答案】B

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

3.(基础再现)已知点A(1,-2),B(m,2),且线段AB的垂直平分线

的方程是x+2y-2=0,则实数m的值是? (
(A)-2. (B)-7. (C)3. (D)1.

)

【解析】依题意,线段AB的中点( 得m=3.

1? m ?,0)在直线x+2y-2=0上, 2

【答案】C

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

4.(视角拓展)若动点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:x+y-7=0和l2: x+y-5=0上移动,则AB的中点到原点的距离的最小值为? ( )
(A)3
2. ?

(B)2?3 .

(C)3?3 .

(D)4?2 .

【解析】AB的中点在与l1,l2平行且到l1,l2距离相等的直线上,

即所求最小值为l1,l2到原点距离的平均数.∴dmin=

d1 ? d 2 ?=3 2?. 2

【答案】A

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

5.(能力综合)已知b>0,直线(b2+1)x+ay+2=0与直线x-b2y=0互 相垂直,则ab的最小值等于? (
(A)1. (B)2. (C)2
2. ?

)
(D)2
3?.

1 b2 ? 1 【解析】由两条直线垂直的充要条件可得:- ?· ? =-1,解得 b2 a

b2 ? 1 a=? 2 b
1 ? b? b

,所以ab=

b2 ? 1 b2 ? 1 ?· b=? b2 b
b

=b+?.又因为b>0,所以b+?≥2

1 b

1 b

1 ,即b=1时取等号. =2,当且仅当b=?

【解析】B

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

二、填空题(本大题共4小题,每小题7分) 6.(视角拓展)经过点(-2,2),且与两坐标轴所围成的三角形面 积为1的直线l的方程为
x a

.
y b

【解析】设所求直线方程为? +? =1,
? 2 2 ? ? ? 1, ? ? a b ? ? 1 | a || b |? 1, ? ?2
? a ? ?1, ?a ? 2, 解得 ?b ? ? ? 或? ? 2 ? ?b ? 1.

由已知可得

∴2x+y+2=0或x+2y-2=0为所求.
【答案】2x+y+2=0或x+2y-2=0

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

7.(视角拓展)与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线方程 是 . 【解析】设(x0,y0)是直线2x+3y-6=0上任一点,则2x0+3y0-6=0 (*),其关于点(1,-1)的对称点的坐标是(x,y),
? x0 ? x ? 1, ? ? 2 由? ? y0 ? y ? ?1, ? ? 2

?

? x0 ? 2 ? x, 得? 代入(*)式,得2(2-x)+3(-2-y)-6=0,即2x ? y ? ? 2 ? y , ? 0

+3y+8=0.

【答案】2x+3y+8=0

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

8.(高度提升)在直线2x-y-4=0上有一点P,使它与两点A(4,-1), B(3,4)的距离之差最大,则点P的坐标为 .

【解析】点A(4,-1),B(3,4)在直线l:2x-y-4=0两侧,作点A关于直 线l的对称点A1(0,1),则当A1、B、P三点共线时距离之差值最

大,此时可求得直线A1B方程为x-y+1=0,
? x ? y ? 1 ? 0, 于是由 ? ?2 x ? y ? 4 ? 0

?解得?

? x ? 5, ? ? y ? 6.

故点P的坐标为(5,6). 【答案】(5,6)

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

9.(能力综合)设l1的倾斜角为α,α∈(0,? 2 ),l1绕其上一点P沿逆 时针方向旋转α角得直线l2,l2的纵截距为-2,l2绕P沿逆时针方 向旋转? -α角得直线l3:x+2y-1=0,则l1的方程为
2

?

?

.

【解析】由已知,l1⊥l3,∴k1=tan α=2,k2=tan ∵l2的纵截距为-2,∴l2的方程为y=-? x-2.
4 3

2 tan α 4 2α=1 ? tan 2? =- 3?. α

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4 ? ? y ? ? x ? 2, 由? 3 ? ?x ? 2 y ?1 ? 0

第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

?

得P(-3,2),又P点在直线l1上,

∴l1的方程为2x-y+8=0. 【答案】2x-y+8=0

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

三、解答题(本大题共3小题,每小题14分) 10.(视角拓展)已知直线l经过直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点. (1)点A(5,0)到l的距离为3,求l的方程; (2)求点A(5,0)到l的距离的最大值. 【解析】(1)经过两条已知直线交点的直线系方程为

(2x+y-5)+λ(x-2y)=0,

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0,

|10 ? 5 λ ? 5 |
2

(2 ? λ) ? (1 ? 2 λ) 2

?=3.
1 2

解得λ=2或λ=? .

∴l的方程为x=2或4x-3y-5=0.
(2)由? ?
?2 x ? y ? 5 ? 0, ? x ? 2 y ? 0,

解得交点P(2,1),如图,过P作任一直线l,设d为
10

点A到l的距离,则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立),∴dmax=|PA|=

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

11.(高度提升)已知直线l:x+2y+1=0,点G(1,2). (1)求直线l关于点G对称的直线l'的方程; (2)直线m:x-3y+6=0与直线l交于点P,过P点的直线与x轴负半 轴,y轴正半轴分别交于A、B两点,求△AOB面积的最小值. 【解析】(1)依题意易知l与l'平行,设l'的方程为x+2y+C=0(C ≠1). ∵点G(1,2)到两直线l与l'的距离相等,

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

∴由点到直线的距离公式得

|1 ? 2 ? 2 ? 1| 1 ?2
2 2

?=

|1 ? 2 ? 2 ? C | 1 ?2
2 2

?,

∴C=-11. ∴直线l'的方程为x+2y-11=0.
? x ? 2 y ? 1 ? 0, (2)联立 ? ? x ? 3 y ? 6 ? 0,

?∴x=-3,y=1,

∴P(-3,1),依题意过P点的直线的斜率一定存在且不为0, ∴设过P点的直线y=k(x+3)+1,依题意可知k>0.

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3k ? 1 3k ? 1 当y=0时,x=- ?,∴A(-? k k 1 ∴S△AOB=? |OA||OB| 2

第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

,0);当x=0时,y=3k+1,∴B(0,3k+1).

=? · |? |· |3k+1|
1 9k 2 ? 6k ? 1 = ?| ? | 2 k

1 2

3k ? 1 k

=? |9k+? +6|, 2 k ∵当k>0时,9k+? ≥6(当且仅当k=? 时取等号), ∴? |9k+? +6|≥6,∴△AOB面积的最小值为6.
1 2

1

1

1 k

1 3

1 k

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3 3

第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

12.(高度提升)直线y=-? x+1和x轴,y轴分别交于点A,B,以线 段AB为边在第一象限内作等边△ABC,如果在第一象限内有
1 )使得△ABP和△ABC的面积相等,求m的值. 一点P(m,? 2

【解析】因为直线y=-? x+1和x轴,y轴分别交于点A,B,所以A
3 (?3,0),B(0,1),则|AB|=2,等边△ABC的高为2×? = 2 3 x+1的距离为d= -? 3
?,原点到y= 3

3 3

?

1

3 1 ? ( )2 3

=?

3 2

<?3 ,

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第七章 7.1 直线方程与两直线的位置关系

所以C、P在y=-

3 ? x+1的同侧,而△ABP和△ABC的面积相等. 3

3 所以直线CP∥AB,设CP的方程为y=-? x+c(c>1), 3



?

c ?1 1 1? 3

=|AB|× ?=

3 2

3?,c=3.

3 又y = - ? 3

1 1 3 x+3过P(m,?),得? = ? 2 2 3

m+3,则m=

5 3 ? . 2


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