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2015年全国高中数学联赛试题

时间:2016-01-25


2015 年全国高中数学联合竞赛一试试题( A 卷)
一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,满分 64 分 1.设 a , b 为不相等的实数,若二次函数 f ( x) ? x2 ? ax ? b 满足 f (a) ? f (b) ,则 f (2) 的值为 2.若实数 ? 满足 cos ? ? tan ? ,则
1 ? cos 4 ? 的值为 sin

?

3.已知复数数列 {zn } 满足 z1 ? 1, zn?1 ? zn ?1 ? ni(n ? 1, 2,3,?) ,其中 i 为虚数单位, zn 表示 zn 的 共轭复数,则 z2015 的值为 4.在矩形 ABCD 中, AB ? 2, AD ? 1 ,边 DC (包含点 D, C )上的动点 P 与 CB 延长线上(包含
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 点 B )的动点 Q 满足 DP ? BQ ,则向量 PA 与向量 PQ 的数量积 PA ? PQ 的最小值为

5.在正方体中随机取 3 条棱,它们两两异面的概率为 6.在平面直角坐标系 xOy 中,点集 K ? ( x, y ) ( x ? 3 y ? 6)( 3x ? y ? 6) ? 0 所对应的平面区域 的面积为 7.设 ? 为正实数,若存在 a, b(? ? a ? b ? 2? ) ,使得 sin ? a ? sin ?b ? 2 ,则 ? 的取值范围是 8.对四位数 abcd (1 ? a ? 9,0 ? b, c, d ? 9) ,若 a ? b, b ? c, c ? d ,则称 abcd 为 P 类数,若
a ? b, b ? c, c ? d ,则称 abcd 为 Q 类数,用 N ( P), N (Q) 分别表示 P 类数与 Q 类数的个数,则 N ( P) ? N (Q) 的值为

?

?

二、解答题:本大题共 3 小题,满分 56 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 9.(本题满分 16 分)若实数 a, b, c 满足 2a ? 4b ? 2c , 4a ? 2b ? 4c ,求 c 的最小值. 10.(本题满分 20 分)设 a1 , a2 , a3 , a4 是 4 个有理数,使得

?a a
i

j

3 1 ? ? 1 ? i ? j ? 4? ? ??24, ?2, ? , ? ,1,3? ,求 a1 ? a2 ? a3 ? a4 的值. 2 8 ? ?

x2 11.(本题满分 20 分)在平面直角坐标系 xOy 中, F1 , F2 分别是椭圆 ? y 2 ? 1的左、右焦点, 2

设不经过焦点 F1 的直线 l 与椭圆交于两个不同的点 A, B ,焦点 F2 到直线 l 的距离为 d ,如果直 线 AF1 , l , BF1 的斜率依次成等差数列,求 d 的取值范围.

2015 年全国高中数学联合竞赛加试试题( A 卷)
一、 (本题满分 40 分)设 a1 , a2 ,?, an (n ? 2) 是实数,证明:可以选取 ?1, ? 2 ,?, ? n ??1, ?1? ,使

? n ? ? n ? ? n ? 得 ? ? ai ? ? ? ? ? i ai ? ? (n ? 1) ? ? ai 2 ? . ? i ?1 ? ? i ?1 ? ? i ?1 ?
二、 (本题满分 40 分)设 S ? ? A1, A2 ,?, An ? ,其中 A1 , A2 ,?, An 是 n 个互不相同的有限集合 (n ? 2) ,满足对任意的 Ai , Aj ? S ,均有 Ai ? Aj ? S ,若 k ? min Ai ? 2 .证明:存在 x ? ? Ai ,
1?i ? n
i ?1 n

2

2

使得 x 属于 A1 , A2 ,?, An 中的至少

n 个集合(这里 X 表示有限集合 X 的元素个数). k

? 上一点,点 K 在线段 AP 上,使得 三、 (本题满分 50 分)如图, ?ABC 内接于圆 O , P 为 BC
BK 平分 ?ABC ,过 K , P, C 三点的圆 ? 与边 AC 交于 D ,连接 BD 交圆 ? 于点 E ,连接 PE 并

延长与边 AB 交于点 F .证明: ?ABC ? 2?FCB .(解题时请将图画在答卷纸上)

A

F K B E P

O D C

?

四、 (本题满分 50 分)求具有下述性质的所有正整数 k : ( kn )! 对任意正整数 n , 2( k ?1) n ?1 不整除 . n!


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