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正弦定理、余弦定理(培优)第一讲(4课时)


正弦定理、余弦定理的应用(培优班)导学案
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一、学习目标
(1)熟记正弦定理、余弦定理内容。 (2)能够用正弦定理、余弦定理解决相应问题。

二、知识导读
1.正弦定理 :________ 正弦定理的几个变形 (1)a =________ ,b=_________ ,c=_________ (2)sinA

=_______, sinB=________ , sinC=_______ (3)a:b:c =____________________. 在解三角形时,常用的结论 (1)在三角形 中,A>B _________ _____________ ( 2 ) sin(A+B)=sinC ( 3 ) 三角形的面积公式:
正弦定理可解决两类问题: (1) (2)

2.余弦定理: a 变形:cos A

2

=

, b = ,cos B=

2

, c2 = ,cos C=

.

余弦定理可解决两类问题: ①已知两边及夹角或两边及一边对角的问题; ②已知三边问题 根据所给条件确定三角形的形状,主要有两种途径: ①化边为角;②化角为边,并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换。

三、知识应用
例 1、 (1)(2009· 广东)已知△ABC 中,∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a、b、c.若 a=c = 6+ 2,且∠A=75° ,则 b 等于( A.2 B.4+2 3 ) C.4-2 3 D. 6- 2 )

(2) (2011· 滨州质检)△ABC 中, AB= 3, AC=1, ∠B=30° , 则△ABC 的面积等于( A. 3 2 B. 3 4 C. 3 或 3 2 D. 3 3 或 2 4

(3)在△ABC 中,a、b、c 分别为内角 A、B、C 的对边,若 ccosB=bcosC,且 cosA 2 = ,则 sinB 等于( 3 A.± 6 6 B. ) 6 6 C.± 30 6 D. 30 6
1

(4)(2010· 天津)在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c.若 a2-b2= 3bc, sinC=2 3sinB,则 A=( A.30° ) C.120° D.150° 2 ,则符合条件的三角形有( 2 D.0 个 ) D 等边三角形 )

B.60°

(5)在△ABC 中,a= 5,b= 3,sinB= A.1 个 B.2 个 C.3 个
2

(6)在△ABC 中, B=60° ,b =ac,则该三角形一定是( A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 等腰三角形

例 2、 (1)(2011· 南京模拟)在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a= 4 5,b=7,cosC= ,则角 A 的大小为__________. 5 (2)(2011· 沈阳模拟)在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,若 b2+c2= → → a2+bc,且AC· AB=4,则△ABC 的面积等于__________. (3)(2011· 上海模拟)在直角坐标系 xOy 中,已知△ABC 的顶点 A(-1,0),C(1,0),顶点 sinA+sinC x2 y2 B 在椭圆 + =1 上,则 的值为__________. 4 3 sinB

四、综合应用
AC cosB 例 3、 (2010· 天津)在△ABC 中, = . AB cosC (1)求证:B=C; π? 1 (2)若 cosA=- ,求 sin? ?4B+3?的值. 3

例 4、(2010· 浙江)在△ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 cos2C= 1 - . 4 (1)求 sinC 的值; (2)当 a=2,2sinA=sinC 时,求 b 及 c 的长.

2

例 5、(2010· 辽宁)在△ABC 中,a、b、c 分别为内角 A、B、C 的对边,且 2asinA=(2b +c)sinB+(2c+b)sinC. (1)求 A 的大小; (2)求 sinB+sinC 的最大值.

例 6、(2010· 安徽)设△ABC 是锐角三角形,a、b、c 分别是内角 A、B、C 所对边长,并 π 2 ? ?π ? 且 sin2A=sin? ?3+B?sin?3-B?+sin B. (1)求角 A 的值; → → (2)若AB· AC=12,a=2 7,求 b、c(其中 b<c).

5 例 7、(2010· 全国Ⅱ)△ABC 中,D 为边 BC 上的一点,BD=33,sinB= ,cos∠ADC 13 3 = ,求 AD. 5
3

例 8、在△ABC 中,a、b、c 分别表示三个内角 A、B、C 的对边,如果( a ? b )sin(A-B)
2 2

=

( a ? b )sin(A+B) ,判断三角形的形状.
2 2

例 9、在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A,B,C 的对边,且 (1)求角 B 的大小; (2)若 b=

cos B b ?? . cos C 2a ? c

13 ,a+c=4,求△ABC 的面积

4


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