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高中数学 第九章9.7 抛物线(共82张PPT)

时间:2017-08-31


数学

R A(文)

§9.7 抛物线
第九章 解析几何

基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源
1.抛物线的定义 抛物线的定义实质上给 出了一个重要的内容: 可将抛物线上的点到焦 点的距离转化为到准线 的距离,可以使运算化

1.抛物线的概念

平面内与一个定点 F 和一条定 直线 l(F?l)的距离 相等 的点的 轨迹叫做抛物线.点 F 叫做抛 物线的 焦点 , 直线 l 叫做抛物 线的 准线 .
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基础知识

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思想方法

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基础知识·自主学习
要点梳理
2.抛物线的标准方程与几何性质
标 准 方 程 图 形 y =2px (p>0) (p>0)
2

难点正本 疑点清源
2.抛物线方程中,字母 p 的

y2= -2px

x 2= 2py (p>0)

x2= -2py (p>0)

几何意义是抛物线的焦 p 点 F 到准线的距离, 等 2 于焦点到抛物线顶点的 距离.牢记它对解题非常 有益.

p 的几何意义: 焦点 F 到准线 l 的距离

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要点梳理
顶 点 对 称 轴 焦 点 离心 率 e=1 F
?p ? ? ? ? ,0? ?2 ?

难点正本 疑点清源
2.抛物线方程中,字母 p 的
O(0,0)

几何意义是抛物线的焦 p 点 F 到准线的距离, 等 2 于焦点到抛物线顶点的

y=0

x=0

F ? ? p ? ? ?- ,0? 2 ? ?

F
? p? ? ? ?0, ? 2? ?

F
? p? ? ? ?0,- ? 2? ?

距离.牢记它对解题非常 有益.

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基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源
3.求抛物线方程时,要依据
准线 方程 范围 开口 方向

题设条件,弄清抛物线的
p x=- 2 x≥0, y∈R 向右 p x= 2 x≤0, y∈R 向左 p y=- 2 y≥0, x∈R 向上 p y= 2 y≤0, x∈R 向下

对称轴和开口方向,正确 地选择抛物线的标准方 程.

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基础自测

题号
1 2 3 4
5

答案
y2=4x

解析

4
5 6
B C

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题型分类·深度剖析
题型一
【例1】

抛物线的定义及应用
已知抛物线y2=2x的焦
思维启迪 解析 探究提高

点是F,点P是抛物线上的动 点,又有点A(3,2),求|PA|+ |PF|的最小值,并求出取最小值 时点P的坐标.

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题型一
【例1】

抛物线的定义及应用
已知抛物线y2=2x的焦
思维启迪 解析 探究提高

点是F,点P是抛物线上的动 点,又有点A(3,2),求|PA|+ |PF|的最小值,并求出取最小值 时点P的坐标.

由定义知,抛物线上点P到焦 点F的距离等于点P到准线l的 距离d,求|PA|+|PF|的问题可 转化为求|PA|+d的问题.

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题型一
【例1】

抛物线的定义及应用
已知抛物线y2=2x的焦
思维启迪 解析 探究提高

点是F,点P是抛物线上的动 点,又有点A(3,2),求|PA|+ |PF|的最小值,并求出取最小值 时点P的坐标.



将x=3代入抛物线方程

y2=2x,得y=± 6.



6 >2,∴A

在抛物线内 部,如图.
设抛物线上点 P 到准线 l:x= 1 - 的距离为 d,由定义知|PA| 2 +|PF|=|PA|+d,

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题型一
【例1】

抛物线的定义及应用
已知抛物线y2=2x的焦
思维启迪 解析 探究提高

点是F,点P是抛物线上的动 点,又有点A(3,2),求|PA|+ |PF|的最小值,并求出取最小值 时点P的坐标.

当PA⊥l时,|PA|+d最小,最 7 小值为 ,即|PA|+|PF|的最小 2 7 值为 ,此时P点纵坐标为2, 2 代入y2=2x,得x=2,∴点P 的坐标为(2,2).

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题型一
【例1】

抛物线的定义及应用
已知抛物线y2=2x的焦
思维启迪 解析 探究提高

点是F,点P是抛物线上的动 点,又有点A(3,2),求|PA|+ |PF|的最小值,并求出取最小值 时点P的坐标.

与抛物线有关的最值问题,一 般情况下都与抛物线的定义有 关.由于抛物线的定义在运用 上有较大的灵活性,因此此类 问题也有一定的难度.“看到 准线想焦点,看到焦点想准 线”,这是解决抛物线焦点弦 有关问题的重要途径.

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变式训练1

(2011· 辽宁)已知F是抛物线y2=x的焦点,A、B是该抛 ( C )

物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为 3 A. 4
解析

B.1

5 C. 4

7 D. 4

1 ∵|AF|+|BF|=xA+xB+2=3,

5 ∴xA+xB=2.
xA+xB 5 ∴线段AB的中点到y轴的距离为 = . 2 4

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题型二 抛物线的标准方程和几何性质
思维启迪 解析 探究提高

【例2】 抛物线的顶点在原点,对称 轴为y轴,它与圆x2+y2=9相交, 公共弦MN的长为2 5 ,求该抛物 线的方程,并写出它的焦点坐标 与准线方程.

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题型二 抛物线的标准方程和几何性质
思维启迪 解析 探究提高

【例2】 抛物线的顶点在原点,对称 轴为y轴,它与圆x2+y2=9相交, 公共弦MN的长为2 5 ,求该抛物 线的方程,并写出它的焦点坐标 与准线方程.

首先确定方程的形式,根据条 件列方程确定方程中的系数.

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题型二 抛物线的标准方程和几何性质
思维启迪 解析 探究提高

【例2】 抛物线的顶点在原点,对称 轴为y轴,它与圆x +y =9相交, 公共弦MN的长为2 5 ,求该抛物 线的方程,并写出它的焦点坐标 与准线方程.
2 2



由题意,抛物线方程为x2=

2ay (a≠0).
设公共弦MN交y轴于A,N在y轴 右侧,
则|MA|=|AN|,而|AN|= 5.

∵|ON|=3,∴|OA|= =2,∴N( 5,± 2).

32-? 5?2

∵N点在抛物线上,∴5=2a· 2), (± 5 即2a=± , 2
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题型二 抛物线的标准方程和几何性质
思维启迪 解析 探究提高

【例2】 抛物线的顶点在原点,对称 轴为y轴,它与圆x +y =9相交, 公共弦MN的长为2 5 ,求该抛物 线的方程,并写出它的焦点坐标 与准线方程.
2 2

故抛物线的方程为x2=

5 y或x2= 2

5 - y. 2 5 2 抛物线 x = y 的焦点坐标为 2 ? 5? 5 ?0, ?,准线方程为 y=- . 8? 8 ?

5 抛物线 x =- y 的焦点坐标为 2 ? 5? 5 ?0,- ?,准线方程为 y= . 8? 8 ?
2

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题型二 抛物线的标准方程和几何性质
思维启迪 解析 探究提高

【例2】 抛物线的顶点在原点,对称 轴为y轴,它与圆x2+y2=9相交, 公共弦MN的长为2 5 ,求该抛物 线的方程,并写出它的焦点坐标 与准线方程.

(1)由抛物线的标准方程,可以首 先确定抛物线的开口方向、焦点的 位置及p的值,再进一步确定抛物 线的焦点坐标和准线方程. (2)求抛物线标准方程的常用方法 是待定系数法,其关键是判断焦点 位置、开口方向,在方程的类型已 经确定的前提下,由于标准方程只 有一个参数p,只需一个条件就可 以确定抛物线的标准方程.

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变式训练 2 如图, 已知 解

设直线OA的方程为y=kx,k≠0,则直 抛物线 y2=2px (p>0) 线OB的方程为y=-1x, k ?y=kx, 有一个内接直角三角 ? 2p ? 2 由 得x=0或x= k2 . ?y =2px, 形,直角顶点在原点, ?

两直角边 OA 与 OB 的

?2p 2p? ∴A点坐标为? k2 , k ?,B点坐标为(2pk2,-2pk), ? ?

长分别为 1 和 8,求抛 由|OA|=1,|OB|=8, ? 2k2+1 ?4p 物线的方程. ① k4 =1, ? 可得 ?4p2k2?k2+1?=64, ② ? ②÷ ①解方程组得k6=64,即k2=4. 16 4 2 则p = 2 2 = . k ?k +1? 5
2 5 4 5 又p>0,则p= ,故所求抛物线方程为y2= x. 5 5
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题型三
【例3】

直线与抛物线的位置关系
(2011· 江西)已知过抛
思维启迪 解析

探究提高

物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率 为2 2 的直线交抛物线于A(x1, y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且 |AB|=9. (1)求该抛物线的方程. (2)O为坐标原点,C为抛物线上 → → → 一点,若 OC = OA +λ OB ,求λ 的值.

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题型三
【例3】

直线与抛物线的位置关系
(2011· 江西)已知过抛
思维启迪 解析

探究提高

物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率 为2 2 的直线交抛物线于A(x1, y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且 |AB|=9. (1)求该抛物线的方程. (2)O为坐标原点,C为抛物线上 → → → 一点,若 OC = OA +λ OB ,求λ 的值.

(1)联立方程,利用焦点弦公式求 解;(2)先求出A、B坐标,利用关 系式表示出点C坐标,再利用点C 在抛物线上求解.

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题型三
【例3】

直线与抛物线的位置关系
(2011· 江西)已知过抛

思维启迪 解析

探究提高

物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率 为2 2 的直线交抛物线于A(x1, y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且 |AB|=9. (1)求该抛物线的方程.

(1)直线AB的方程是y=2 2 (x

p - ),与y2=2px联立,从而有4x2 2 5p 2 -5px+p =0,所以x1+x2= . 4
由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9,

(2)O为坐标原点,C为抛物线上 所以p=4,从而抛物线方程是y2= → → → 一点,若 OC = OA +λ OB ,求λ 8x. (2)由p=4知4x2-5px+p2=0可化 的值.

为x2-5x+4=0,

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题型三
【例3】

直线与抛物线的位置关系
(2011· 江西)已知过抛
思维启迪 解析

探究提高

物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率 为2 2 的直线交抛物线于A(x1, y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且 |AB|=9. (1)求该抛物线的方程. (2)O为坐标原点,C为抛物线上 → → → 一点,若 OC = OA +λ OB ,求λ 的值.

从而x1=1,x2=4,y1=-2 2 , y2=4 2, 从而A(1,-2 2),B(4,4 2). → 设 OC =(x3,y3)=(1,-2 2 )+
λ(4,4 2)=(4λ+1,4 2λ-2 2),
2 又y 3 =8x3,所以[2 2 (2λ-1)]2=

8(4λ+1),

即(2λ-1)2=4λ+1,
解得 λ=0 或 λ=2.

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题型三
【例3】

直线与抛物线的位置关系
(2011· 江西)已知过抛
思维启迪 解析

探究提高

物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率 为2 2 的直线交抛物线于A(x1, y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且 |AB|=9. (1)求该抛物线的方程. (2)O为坐标原点,C为抛物线上 → → → 一点,若 OC = OA +λ OB ,求λ 的值.

(1)直线与抛物线的位置关系和直 线与椭圆、双曲线的位置关系类 似,一般要用到根与系数的关系; (2)有关直线与抛物线的弦长问 题,要注意直线是否过抛物线的焦 点,若过抛物线的焦点,可直接使 用公式|AB|=x1+x2+p,若不过焦 点,则必须用一般弦长公式.

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变式训练 3 设抛物线 C:y2=4x,F 为 C 的焦点,过 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点. → OB → (1)设 l 的斜率为 1,求|AB|的大小;(2)求证:OA· 是一个定值.
∵F(1,0),∴直线l的方程为y=x-1, ?y=x-1, ? 设A(x1,y1),B(x2,y2),由? 2 ?y =4x ? 得x2-6x+1=0,∴x1+x2=6,x1x2=1. (1)解
∴|AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2= 2· ?x1+x2?2-4x1x2 = 2· 36-4=8.
(2)证明 设直线l的方程为x=ky+1, ?x=ky+1, ? 由? 2 得y2-4ky-4=0. ?y =4x ?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 3 设抛物线 C:y2=4x,F 为 C 的焦点,过 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点. → OB → (1)设 l 的斜率为 1,求|AB|的大小;(2)求证:OA· 是一个定值.
∴y1+y2=4k,y1y2=-4, → → OA=(x1,y1),OB=(x2,y2).

→ → ∵OA· =x1x2+y1y2 OB
=(ky1+1)(ky2+1)+y1y2 =k2y1y2+k(y1+y2)+1+y1y2
=-4k2+4k2+1-4=-3. → → ∴OA· 是一个定值. OB
题型分类 思想方法 练出高分

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答题模板 13.直线与抛物线的位置关系问题
典例:(12 分)(2011· 湖南)已知平面内一动点 P 到点 F(1,0)的距离与点 P 到 y 轴的距离的差等于 1.(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 l1,l2,设 l1 与轨迹 C 相交 → → 于点 A,B,l2 与轨迹 C 相交于点 D,E,求AD· 的最小值. EB 规 范 解 答 审 题 视 角 温 馨 提 醒

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答题模板 13.直线与抛物线的位置关系问题
典例:(12 分)(2011· 湖南)已知平面内一动点 P 到点 F(1,0)的距离与点 P 到 y 轴的距离的差等于 1.(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 l1,l2,设 l1 与轨迹 C 相交 → → 于点 A,B,l2 与轨迹 C 相交于点 D,E,求AD· 的最小值. EB 规 范 解 答 审 题 视 角 温 馨 提 醒

(1)依题设可知,利用直接法求轨迹方程;(2)先设直线 l1 的斜率为 k,依题 → EB → 设条件可求出AD· 关于 k 的解析式,利用基本不等式求最值.

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答题模板 13.直线与抛物线的位置关系问题
典例:(12 分)(2011· 湖南)已知平面内一动点 P 到点 F(1,0)的距离与点 P 到 y 轴的距离的差等于 1.(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 l1,l2,设 l1 与轨迹 C 相交 → → 于点 A,B,l2 与轨迹 C 相交于点 D,E,求AD· 的最小值. EB

审 题 视 角


规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)设动点 P 的坐标为(x, 由题意有 ?x-1?2+y2-|x| y),

=1. 化简得 y2=2x+2|x|.
当 x≥0 时,y2=4x;当 x<0 时,y=0.
5分 所以,动点 P 的轨迹 C 的方程为 y2=4x (x≥0)和 y=0 (x<0). (2)由题意知,直线 l1 的斜率存在且不为 0,设为 k,则 l1 的方程为 y

=k(x-1).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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答题模板 13.直线与抛物线的位置关系问题
典例:(12 分)(2011· 湖南)已知平面内一动点 P 到点 F(1,0)的距离与点 P 到 y 轴的距离的差等于 1.(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 l1,l2,设 l1 与轨迹 C 相交 → → 于点 A,B,l2 与轨迹 C 相交于点 D,E,求AD· 的最小值. EB

审 题 视 角
?y=k?x-1?, ? 由? 2 ?y =4x ?

规 范 解 答
得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0.

温 馨 提 醒
7分

设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1,x2 是上述方程的两个实根, 4 于是 x1+x2=2+k2,x1x2=1. 1 因为 l1⊥l2,所以 l2 的斜率为- . k 设 D(x3,y3),E(x4,y4), 则同理可得 x3+x4=2+4k2,x3x4=1.
基础知识 题型分类 思想方法

9分

练出高分

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答题模板 13.直线与抛物线的位置关系问题
典例:(12 分)(2011· 湖南)已知平面内一动点 P 到点 F(1,0)的距离与点 P 到 y 轴的距离的差等于 1.(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 l1,l2,设 l1 与轨迹 C 相交 → → 于点 A,B,l2 与轨迹 C 相交于点 D,E,求AD· 的最小值. EB

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

→ EB → → (EF → → 故AD· =(AF+FD)·→ +FB) → EF → FB → EF → FB → |FB → → → → → → |EF → =AF· +AF· +FD· +FD· =|AF|· |+|FD|· |
=(x1+1)(x2+1)+(x3+1)(x4+1)=x1x2+(x1+x2)+1+x3x4+(x3+x4)+1 ? 4? ?2+ 2?+1+1+(2+4k2)+1 =1+ k? ? ? 1? 1 2 =8+4?k +k2?≥8+4×2 k2·2=16. 11分 k ? ? 1 → → 2 当且仅当 k =k2,即 k=± 时,AD· 取最小值 16. 1 EB 12分
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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答题模板 13.直线与抛物线的位置关系问题
典例:(12 分)(2011· 湖南)已知平面内一动点 P 到点 F(1,0)的距离与点 P 到 y 轴的距离的差等于 1.(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 l1,l2,设 l1 与轨迹 C 相交 → → 于点 A,B,l2 与轨迹 C 相交于点 D,E,求AD· 的最小值. EB

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

第一步:联立方程,得关于 x 或 y 的一元二次方程;

第二步:写出根与系数的关系,并求出 Δ>0 时参数范围(或指出直线过曲线内一点)
第三步:建立关于所求问题的目标函数;
第四步:最值问题常结合函数单调性或基本不等式求出; 定值问题只证明函数为常数 函数,与变量无关;

第五步:反思回顾,有无忽略特殊情况.

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答题模板 13.直线与抛物线的位置关系问题
典例:(12 分)(2011· 湖南)已知平面内一动点 P 到点 F(1,0)的距离与点 P 到 y 轴的距离的差等于 1.(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 l1,l2,设 l1 与轨迹 C 相交 → → 于点 A,B,l2 与轨迹 C 相交于点 D,E,求AD· 的最小值. EB 规 范 解 答 审 题 视 角 温 馨 提 醒

解决直线与圆锥曲线位置关系问题,要注意以下几点: (1)理解数形结合思想,掌握解决此类问题的一般方法; (2)不要忽略对 Δ>0 的限制或验证; (3)涉及平面向量运算时,要注意垂直、中点等几何性质的应用; (4)最值范围问题,要确定目标函数;探索性问题要先假设存在,然后推理 求解.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

思想方法·感悟提高
1.认真区分四种形式的标准方程 (1)区分 y=ax2 与 y2=2px (p>0), 前者不是抛物线的标准方程. (2)求标准方程要先确定形式,必要时要进行分类讨论,标准 方程有时可设为 y2=mx 或 x2=my(m≠0).

方 法 与 技 巧

2.抛物线的焦点弦:设过抛物线 y2=2px (p>0)的焦点的直线与抛 物线交于 A(x1,y1),B(x2,y2),则: p2 (1)y1y2=-p2,x1x2= 4 ; 2p (2)若直线 AB 的倾斜角为 θ,则|AB|= 2 ; sin θ 1 1 2 (3)若 F 为抛物线焦点,则有|AF|+|BF|=p.

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思想方法·感悟提高

失 误 与 防 范

1. 求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求 p 值, 但首先要判断抛物线是否为标准方程,以及是哪一 种标准方程.
2.注意应用抛物线的定义解决问题.

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题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

基础知识

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思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

y2 x2 1.抛物线的顶点在坐标原点,焦点与双曲线 - =1 的一 5 4 个焦点重合,则该抛物线的标准方程可能是 A.x2=4y C.y2=-12x B.x2=-4y D.x2=-12y ( )

解 析

基础知识

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思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

y2 x2 1.抛物线的顶点在坐标原点,焦点与双曲线 - =1 的一 5 4 个焦点重合,则该抛物线的标准方程可能是 A.x2=4y C.y2=-12x B.x2=-4y D.x2=-12y ( D )

解 析
由题意得 c= 5+4=3,∴抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0, -3),∴该抛物线的标准方程为 x2=12y 或 x2=-12y.

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思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2.已知直线 l 过抛物线 C 的焦点,且与 C 的对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|=12,P 为 C 的准线上一点,则△ABP 的面积为 A.18 B.24 C.36 D.48 ( )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2.已知直线 l 过抛物线 C 的焦点,且与 C 的对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|=12,P 为 C 的准线上一点,则△ABP 的面积为 A.18 B.24 C.36 D.48 ( C )

解 析 不妨设抛物线的标准方程为 y2=2px(p>0),由于 l 垂直 p 于对称轴且过焦点,故直线 l 的方程为 x= .代入 y2= 2
2px 得 y=± p,即|AB|=2p,又|AB|=12,故 p=6,所以 1 抛物线的准线方程为 x=-3, S△ABP= ×6×12=36. 故 2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1 2 3

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5 6 7 8 9

3. 设抛物线 y2=8x 的焦点为 F, 准线为 l, 为抛物线上一点, P PA⊥l, A 为垂足.如果直线 AF 的斜率为- 3,那么|PF|等于( A.4 3 B.8 C.8 3 D.16 )

解 析

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

3. 设抛物线 y2=8x 的焦点为 F, 准线为 l, 为抛物线上一点, P PA⊥l, A 为垂足.如果直线 AF 的斜率为- 3,那么|PF|等于( B ) A.4 3 B.8 C.8 3 D.16

解 析

?y2 ? P? 8 ,y?,则 ? ?

A(-2,y),

y-0 由 kAF=- 3,即 =- 3, -2-2 得 y=4 3, y2 |PF|=|PA|= 8 +2=8.

基础知识

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1 7 9 2 3 4 6 8 5 4. 从抛物线 y2=4x 上一点 P 引抛物线准线的垂线, 垂足为 M,
且|PM|=5, 设抛物线的焦点为 F, 则△MPF 的面积为( A.5 B.10 C.20 D. 15 )

解 析

基础知识

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思想方法

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A组

专项基础训练

1 7 9 2 3 4 6 8 5 4. 从抛物线 y2=4x 上一点 P 引抛物线准线的垂线, 垂足为 M,
且|PM|=5, 设抛物线的焦点为 F, 则△MPF 的面积为( B ) A.5 B.10 C.20 D. 15

解 析
由抛物线方程 y2=4x 易得抛物线的准线 l 的方程为 x= -1, 又由|PM|=5 可得点 P 的横坐标为 4, 代入 y2=4x, 1 可求得其纵坐标为± 4,故 S△MPF= ×5×4=10,选 B. 2

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1 2 3

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专项基础训练
5 6 7 8 9

5.若点 P 到直线 y=-1 的距离比它到点(0,3)的距离小 2,则点 P 的轨迹方程是__________.

解 析

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专项基础训练
5 6 7 8 9

5.若点 P 到直线 y=-1 的距离比它到点(0,3)的距离小 2,则点 P x2=12y 的轨迹方程是__________.

解 析
由题意可知点 P 到直线 y=-3 的距离等于它到点(0,3) 的距离,故点 P 的轨迹是以点(0,3)为焦点,以 y=-3 为 准线的抛物线,且 p=6,所以其标准方程为 x2=12y.

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6.已知抛物线 y2=4x 上一点 M 与该抛物线的焦点 F 的距离|MF| =4,则点 M 的横坐标 x=________.

解 析

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6.已知抛物线 y2=4x 上一点 M 与该抛物线的焦点 F 的距离|MF| 3 =4,则点 M 的横坐标 x=________.

解 析
抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0),准线为 x=-1.根据抛物线 的定义,点 M 到准线的距离为 4,则 M 的横坐标为 3.

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5 6 7 8 9

7.设 P 是曲线 y2=4x 上的一个动点,则点 P 到点 B(-1,1)的距离 与点 P 到直线 x=-1 的距离之和的最小值为______________.

解 析

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7.设 P 是曲线 y2=4x 上的一个动点,则点 P 到点 B(-1,1)的距离 5 与点 P 到直线 x=-1 的距离之和的最小值为______________.

解 析
∵抛物线的顶点为 O(0,0),p=2,∴准线方程为 x=-1,焦 点 F 坐标为(1,0), ∴点 P 到点 B(-1,1)的距离与点 P 到准线 x =-1 的距离之和等于|PB|+|PF|.

如图,|PB|+|PF|≥|BF|,当 B、P、F 三点共线时 取得最小值,

此时|BF|= ?-1-1?2+?1-0?2= 5.

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5 6 7 8 9

8.(10 分)抛物线的顶点在原点,以 x 轴为对称轴,经过焦点且倾斜 角为 135° 的直线, 被抛物线所截得的弦长为 8, 试求抛物线方程.

解 析

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4

专项基础训练
5 6 7 8 9

8.(10 分)抛物线的顶点在原点,以 x 轴为对称轴,经过焦点且倾斜 角为 135° 的直线, 被抛物线所截得的弦长为 8, 试求抛物线方程.

解 析
如图,依题意设抛物线方程为 y2=2px (p>0), 1 则直线方程为 y=-x+2p. 设直线交抛物线于 A(x1,y1)、B(x2,y2),则由抛 p 物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x1 +2 p +x2+ , 2 p p 即 x1+2+x2+2=8. ① 解
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8.(10 分)抛物线的顶点在原点,以 x 轴为对称轴,经过焦点且倾斜 角为 135° 的直线, 被抛物线所截得的弦长为 8, 试求抛物线方程.

解 析

又 A(x1,y1)、B(x2,y2)是抛物线和直线的交点,

1 ? ?y=-x+ p, p2 2 由? 消去 y 得 x2-3px+ 4 =0. ?y2=2px, ? ∴x1+x2=3p. 将其代入①得 p=2,∴所求抛物线方程为 y2=4x.

当抛物线方程设为 y2=-2px 时,同理可求得抛物线方程为 y2 =-4x. 综上,抛物线的方程为 y2=± 4x.
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5 6 7 8

9 → 9.(12 分)已知定点 A(1,0)和直线 x=-1 上的两个动点 E,F,且AE → → → → → ⊥AF,动点 P 满足EP∥OA,FO∥OP(其中 O 为坐标原点).

(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 B(0,2)的直线 l 与(1)中的轨迹 C 相交于两个不同的点 M, → → N,若AM· <0,求直线 l 的斜率的取值范围. AN

解 析

基础知识

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5 6 7 8

9 → 9.(12 分)已知定点 A(1,0)和直线 x=-1 上的两个动点 E,F,且AE → → → → → ⊥AF,动点 P 满足EP∥OA,FO∥OP(其中 O 为坐标原点).

(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 B(0,2)的直线 l 与(1)中的轨迹 C 相交于两个不同的点 M, → → N,若AM· <0,求直线 l 的斜率的取值范围. AN

解 析



→ → ∵AE· =(-2,yE)· AF (-2,yF)=yE·F+4=0, y ∴yE·F=-4, y ① → → → → → → 又EP=(x+1,y-yE),FO=(1,-yF),且EP∥OA,FO∥OP,

(1)设 P(x,y),E(-1,yE),F(-1,yF).

∴y-yE=0 且 x(-yF)-y=0, y ∴yE=y,yF=-x,代入①得 y2=4x(x≠0),
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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5 6 7 8

9 → 9.(12 分)已知定点 A(1,0)和直线 x=-1 上的两个动点 E,F,且AE → → → → → ⊥AF,动点 P 满足EP∥OA,FO∥OP(其中 O 为坐标原点).

(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 B(0,2)的直线 l 与(1)中的轨迹 C 相交于两个不同的点 M, → → N,若AM· <0,求直线 l 的斜率的取值范围. AN

解 析

∴动点 P 的轨迹 C 的方程为 y2=4x(x≠0).

(2)设 l:y-2=kx(易知 k 存在),联立 y2=4x 消去 x, 得 ky2-4y+8=0,令 M(x1,y1),N(x2,y2), 4 8 则 y1+y2=k ,y1·2=k, y → → AM· =(x1-1, 1)· 2-1, 2)=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2 AN y (x y 2 2 ?y1y2? ?y1+y2?2 3 y2·2 y1+y2 y2 1 = 16 - 4 +1+y1y2=? 4 ?2- +2y1y2+1 4 ? ?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8

9 → 9.(12 分)已知定点 A(1,0)和直线 x=-1 上的两个动点 E,F,且AE → → → → → ⊥AF,动点 P 满足EP∥OA,FO∥OP(其中 O 为坐标原点).

(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 B(0,2)的直线 l 与(1)中的轨迹 C 相交于两个不同的点 M, → → N,若AM· <0,求直线 l 的斜率的取值范围. AN

解 析
12 = k +1<0,∴-12<k<0,
则实数 k 的取值范围为(-12,0).

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1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

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专项能力提升

1 7 2 3 4 6 5 1.已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F(1,0),过焦点 F 的

直线 l 与抛物线 C 相交于 A、 两点, B 若直线 l 的倾斜角为 45° , 则弦 AB 的中点坐标为 A.(1,0) B.(2,2) C.(3,2) ( D.(2,4) )

解 析

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B组

专项能力提升

1 7 2 3 4 6 5 1.已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F(1,0),过焦点 F 的

直线 l 与抛物线 C 相交于 A、 两点, B 若直线 l 的倾斜角为 45° , 则弦 AB 的中点坐标为 A.(1,0) B.(2,2) C.(3,2) ( C ) D.(2,4)

解 析
依题意得,抛物线 C 的方程是 y2=4x,直线 l 的方程是 y=x ?y2=4x ? -1.由? 消去 y 得(x-1)2=4x,即 x2-6x+1=0,因 ?y=x-1 ? 6 此线段 AB 的中点的横坐标是 =3,纵坐标是 y=3-1=2, 2 所以线段 AB 的中点坐标是(3,2),因此选 C.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6

7 → 2.设 F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A,B,C 为该抛物线上三点,若FA → → → → → +FB+FC=0,则|FA|+|FB|+|FC|等于 ( )

A.9

B.6

C.4

D.3

解 析

基础知识

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1 2

B组
3

专项能力提升
4

7 6 5 → 2.设 F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A,B,C 为该抛物线上三点,若FA → → → → → +FB+FC=0,则|FA|+|FB|+|FC|等于 ( B )

A.9

B.6

C.4

D.3

解 析
设 A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),又 F(1,0). → → → 由FA+FB+FC=0 知(x -1)+(x -1)+(x -1)=0,
1 2 3

即 x1+x2+x3=3, → |+|FB|+|FC|=x +x +x +3p=6. → → |FA 1 2 3 2

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专项能力提升

1 7 2 3 4 6 5 3.已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,准线为 l,过抛物线 C 上的点

A 作准线 l 的垂线, 垂足为 M, 若△AMF 与△AOF(其中 O 为坐标 原点)的面积之比为 3∶1,则点 A 的坐标为 A.(2,2 2) C.(2,± 2) B.(2,-2 2) D.(2,± 2) 2 ( )

解 析

基础知识

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专项能力提升

5 1 7 2 3 4 6 3.已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,准线为 l,过抛物线 C 上的点

A 作准线 l 的垂线, 垂足为 M, 若△AMF 与△AOF(其中 O 为坐标 原点)的面积之比为 3∶1,则点 A 的坐标为 A.(2,2 2) C.(2,± 2) B.(2,-2 2) D.(2,± 2) 2
如图所示,由题意,可得|OF|=1,

(

)

解 析

由抛物线的定义,得|AF|=|AM|,

∵△AMF 与△AOF(其中 O 为坐标原点)的面积之比 为 3∶1, 1 ×|AF|×|AM|×sin∠MAF S△AMF 2 ∴ = =3, S△AOF 1 ×|OF|×|AF|×sin?π-∠MAF? 2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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专项能力提升

5 1 7 2 3 4 6 3.已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,准线为 l,过抛物线 C 上的点

A 作准线 l 的垂线, 垂足为 M, 若△AMF 与△AOF(其中 O 为坐标 原点)的面积之比为 3∶1,则点 A 的坐标为 A.(2,2 2) C.(2,± 2) B.(2,-2 2) D.(2,± 2) 2
∴|AF|=|AM|=3,设
2 ?y0 ? A? 4 ,y0?, ? ?

( D )

解 析

y2 0 ∴ 4 +1=3,解得 y0=± 2. 2 y2 0 ∴ 4 =2,∴点 A 的坐标是(2,± 2). 2

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4 5 6 7

4.已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的动点,点 P 到准线的距离为 d, ?7 ? 且点 P 在 y 轴上的射影是 M,点 A?2,4?,则|PA|+|PM|的最 ? ? 小值是________.

解 析

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4 5 6 7

4.已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的动点,点 P 到准线的距离为 d, ?7 ? 且点 P 在 y 轴上的射影是 M,点 A?2,4?,则|PA|+|PM|的最 ? ? 9 小值是________. 2

解 析
设抛物线 y =2x 的焦点为 F,则
2

?1 ? F?2,0?,又点 ? ?

?7 ? A?2,4?在抛物 ? ?

1 1 线的外侧, 抛物线的准线方程为 x=- , 则|PM|=d- , 又|PA| 2 2 9 +d=|PA|+|PF|≥|AF|=5,所以|PA|+|PM|≥ . 2

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题型分类 思想方法 练出高分

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B组
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4 5 6 7

5.设抛物线 y2=2px (p>0)的焦点为 F,准线为 l,点 A(0,2),连接 FA 交抛物线于点 B, B 作 l 的垂线, 过 垂足为 M, AM⊥MF, 若 则 p 的值为________.

解 析

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4 5 6 7

5.设抛物线 y2=2px (p>0)的焦点为 F,准线为 l,点 A(0,2),连接 FA 交抛物线于点 B, B 作 l 的垂线, 过 垂足为 M, AM⊥MF, 若
2 则 p 的值为________.

解 析
由抛物线定义可知|BM|=|BF|,又由平面几何知识得|BM|= ?p ? |BA|,所以点 B 为 AF 的中点,又 B?4,1?在抛物线上,所以 ? ? p 2 1 =2p× ,即 p2=2,又 p>0,故 p= 2. 4

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6.设 O 是坐标原点,F 是抛物线 y2=2px (p>0)的焦点,A 是抛物 → → 线上的一点,FA与 x 轴正向的夹角为 60° ,则|OA|=________.

解 析

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4 5 6 7

6.设 O 是坐标原点,F 是抛物线 y2=2px (p>0)的焦点,A 是抛物 21 → → p 线上的一点,FA与 x 轴正向的夹角为 60° ,则|OA|=________. 2

解 析
过 A 作 AD 垂直于 x 轴于点 D,令|FD|=m, 则|FA|=2m,p+m=2m,m=p.
?p ? ? +p?2+? ?2 ?

→ ∴|OA|=

21 3p? = p. 2
2

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5 1 7 2 3 4 6 7.(13 分)已知 A(8,0),B、C 两点分别在 y 轴上和 x 轴上运动,并 → BP → → → 且满足AB· =0,BC=CP,

(1)求动点 P 的轨迹方程; (2)是否存在过点 A 的直线 l 与动点 P 的轨迹交于 M、N 两点, → → 且满足QM· =97, QN 其中 Q(-1,0), 若存在, 求出直线 l 的方程; 若不存在,说明理由.

解 析

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B组

专项能力提升

5 1 7 2 3 4 6 7.(13 分)已知 A(8,0),B、C 两点分别在 y 轴上和 x 轴上运动,并 → BP → → → 且满足AB· =0,BC=CP,

(1)求动点 P 的轨迹方程; (2)是否存在过点 A 的直线 l 与动点 P 的轨迹交于 M、N 两点, → → 且满足QM· =97, QN 其中 Q(-1,0), 若存在, 求出直线 l 的方程; 若不存在,说明理由.

(1)设 B(0,b),C(c,0),P(x,y); → → 则AB=(-8,b),BP=(x,y-b), → → BC=(c,-b),CP=(x-c,y). → → ∴AB· =-8x+b(y-b)=0.① BP
?c=x-c, → → 由BC=CP,得? ?-b=y, ? ?

解 析



基础知识

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思想方法

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B组

专项能力提升

5 1 7 2 3 4 6 7.(13 分)已知 A(8,0),B、C 两点分别在 y 轴上和 x 轴上运动,并 → BP → → → 且满足AB· =0,BC=CP,

(1)求动点 P 的轨迹方程; (2)是否存在过点 A 的直线 l 与动点 P 的轨迹交于 M、N 两点, → → 且满足QM· =97, QN 其中 Q(-1,0), 若存在, 求出直线 l 的方程; 若不存在,说明理由.

解 析

∴b=-y 代入①得 y2=-4x.

∴动点 P 的轨迹方程为 y2=-4x.
(2)当直线 l 的斜率不存在时, x=8 与抛物线没有交点, 不合题意.

当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的斜率为 k,则 l:y=k(x -8).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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专项能力提升

5 1 7 2 3 4 6 7.(13 分)已知 A(8,0),B、C 两点分别在 y 轴上和 x 轴上运动,并 → BP → → → 且满足AB· =0,BC=CP,

(1)求动点 P 的轨迹方程; (2)是否存在过点 A 的直线 l 与动点 P 的轨迹交于 M、N 两点, → → 且满足QM· =97, QN 其中 Q(-1,0), 若存在, 求出直线 l 的方程; 若不存在,说明理由.

设 M(x1,y1),N(x2,y2), → → 则QM=(x1+1,y1),QN=(x2+1,y2), → → 由QM· =97, QN
得(x1+1)(x2+1)+y1y2=97. 即 x1x2+x1+x2+1+k2(x1-8)(x2-8)=97,
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解 析

练出高分

B组

专项能力提升

5 1 7 2 3 4 6 7.(13 分)已知 A(8,0),B、C 两点分别在 y 轴上和 x 轴上运动,并 → BP → → → 且满足AB· =0,BC=CP,

(1)求动点 P 的轨迹方程; (2)是否存在过点 A 的直线 l 与动点 P 的轨迹交于 M、N 两点, → → 且满足QM· =97, QN 其中 Q(-1,0), 若存在, 求出直线 l 的方程; 若不存在,说明理由.

解 析

∴(1+k2)x1x2+(1-8k2)(x1+x2)+1+64k2=97.②

将 y=k(x-8)代入 y2=-4x 得 k2x2+(4-16k2)x+64k2=0. ∵直线 l 与 y2=-4x 交于不同的两点, ∴Δ=(4-16k2)2-4×k2×64k2>0,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分

B组

专项能力提升

5 1 7 2 3 4 6 7.(13 分)已知 A(8,0),B、C 两点分别在 y 轴上和 x 轴上运动,并 → BP → → → 且满足AB· =0,BC=CP,

(1)求动点 P 的轨迹方程; (2)是否存在过点 A 的直线 l 与动点 P 的轨迹交于 M、N 两点, → → 且满足QM· =97, QN 其中 Q(-1,0), 若存在, 求出直线 l 的方程; 若不存在,说明理由.

2 2 <k< , 4 4 2 16k -4 由根与系数的关系得 x1+x2= ,x x =64. k2 2 1 2 2 2 16k -4 代入②式得:64(1+k )+(1-8k ) k2 +1+64k2=97. 1 1 2 整理得 k =4,∴k=± . 2 即-
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

解 析

练出高分

B组

专项能力提升

5 1 7 2 3 4 6 7.(13 分)已知 A(8,0),B、C 两点分别在 y 轴上和 x 轴上运动,并 → BP → → → 且满足AB· =0,BC=CP,

(1)求动点 P 的轨迹方程; (2)是否存在过点 A 的直线 l 与动点 P 的轨迹交于 M、N 两点, → → 且满足QM· =97, QN 其中 Q(-1,0), 若存在, 求出直线 l 的方程; 若不存在,说明理由.

解 析

1 ? 2 2? ? ∵k=± ??- , ?, 2 ? 4 4? ?

∴这样的直线 l 不存在.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分


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