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高三数学一轮复习课时作业 (23)正弦定理和余弦定理A 文 新人教B版

时间:2016-03-07


课时作业(二十三)A [第 23 讲

正弦定理和余弦定理]

[时间:35 分钟 分值:80 分] 基础热身 1.在△ABC 中,A=45°,B=60°,a=10,则 b=( ) 10 6 A.5 2 B.10 2 C. D.5 6 3 2 2 2 2.在△ABC 中,若 sin A=sin B+sin C,则△ABC 的形状是( ) A

.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 3.在△ABC 中,a=6,B=30°,C=120°,则△ABC 的面积是( ) A.9 B.18 C. 9 3 D.18 3 5 3 4.在△ABC 中,已知 cosA= ,sinB= ,则 cosC 的值为( ) 13 5 16 16 56 56 A. B.- C. D.- 65 65 65 65 能力提升 5.判断下列说法,其中正确的是( ) A.a=7,b=14,A=30°有两解 B.a=30,b=25,A=150°只有一解 C.a=6,b=9,A=45°有两解 D.b=9,c=10,B=60°无解 6. 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 acosA=bsinB,则 sinAcosA 2 +cos B=( ) 1 1 A.- B. C.-1 D.1 2 2 2 2 7. 若△ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 满足(a+b) -c =4,且 C=60°,则 ab 的值为( ) 4 2 A. B.8-4 3 C.1 D. 3 3 sinA cosB cosC 8.若 = = ,则△ABC 是( )

a

b

c

A.等边三角形 C.等腰直角三角形

B.直角三角形,且有一个角是 30° D.等腰三角形,且有一个角是 30°

9.在平面直角坐标系 xOy 中,已知△ABC 的顶点 A(-4,0)和 C(4,0),顶点 B 在椭圆 25 2 y sinA+sinC + =1 上,则 =________. 9 sinB 1 2 2 2 10.在△ABC 中,若 S△ABC= (a +b -c ),那么角 C=________. 4 11. 在△ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 A∶B=1∶2,且 a∶b=1∶ 3, 则 cos2B 的值是________. 12. (13 分在△ABC 中, 角 A, B,C 的对边分别是 a,b,c, 已知 3acosA=ccosB+bcosC. (1)求 cosA 的值; 2 3 (2)若 a=1,cosB+cosC= ,求边 c 的值. 3 难点突破 cosA-2cosC 2c-a 13. (12 分)在△ABC 中, 内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 = . cosB b sinC (1)求 的值; sinA 1 (2)若 cosB= ,△ABC 的周长为 5,求 b 的长. 4
1

x2

课时作业(二十三)A 【基础热身】

a b asinB 10sin60° 1.D [解析] 由 = 得,b= = =5 6. sinA sinB sinA sin45° 2 2 2 2 2 2 2.B [解析] 用正弦定理可以将条件:sin A=sin B+sin C 化为 a =b +c . 1 1 3 3.C [解析] 由条件易得 A=B=30°,所以 b=a=6,S= absinC= ×6×6× = 2 2 2
9 3. 12 4.A [解析] 由已知可得 sinA= ,sinA>sinB,由于在△ABC 中,由 sinA>sinB?A>B 13 4 20 36 16 知角 B 为锐角, 故 cosB= , 所以 cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB= - =- , 故 cosC 5 65 65 65 16 = . 65 【能力提升】 1 14× 2 bsinA 5.B [解析] A 中,由正弦定理得 sinB= = =1,所以 B=90°,故只有一 a 7 1 25× 2 bsinA 解,A 错误;B 中,由正弦定理得 sinB= = <1,又 A 为钝角,故只有一解,B 正 a 30 2 9× 2 bsinA 确;C 中,由正弦定理得 sinB= = >1,所以角 B 不存在,故无解,C 错误;D 中, a 6 3 10× 2 csinB 由正弦定理得 sinC= = <1,因为 b<c,B=60°,且 0°<C<180°,所以角 C b 9 有两解,D 错误.故选 B. 2 6.D [解析] ∵acosA=bsinB,∴sinAcosA=sin B, 2 2 2 ∴sinAcosA+cos B=sin B+cos B=1. 2 2 2 2 2 7.A [解析] 由(a+b) -c =4,得 a +b -c +2ab=4.① 2 2 2 由余弦定理得 a +b -c =2abcosC=2abcos60°=ab,② 4 将②代入①得 ab+2ab=4,即 ab= .故选 A. 3 8.C [解析] 在△ABC 中,由正弦定理: sinA cosB cosC sinA cosB a = 2RsinA , b = 2RsinB , c = 2RsinC ,代入 = = 得: = = a b c 2RsinA 2RsinB cosC sinB sinC ,∴ = =1. 2RsinC cosB cosC ∴tanB=tanC=1,∴B=C=45°.∴△ABC 是等腰直角三角形. 5 BC+BA 9. [解析] 由正弦定理知,原式= ,又由椭圆定义知 BC+BA=10,AC=8,∴ 4 AC 5 原式= . 4 π 1 1 2 2 2 10. [解析] 根据三角形面积公式得,S= absinC= (a +b -c ), 4 2 4 a2+b2-c2 a2+b2-c2 ∴sinC= .又由余弦定理:cosC= , 2ab 2ab

2

π ∴sinC=cosC,∴C= . 4 1 11.- [解析] 因为 a∶b=1∶ 3,所以 sinA∶sinB=1∶ 3,又 A∶B=1∶2,则 2

B=2A, 所以 sinA∶sinB=sinA∶sin2A=1∶ 3, 即 cosA=

3 , ∴A=30°, ∴B=60°.cos2B 2

1 =cos120°=- . 2 2 2 2 2 2 2 12.[解答] (1)由余弦定理 b =a +c -2accosB,c =a +b -2abcosC, 1 有 ccosB+bcosC=a,代入已知条件得 3acosA=a,即 cosA= . 3 1 2 2 (2)由 cosA= 得 sinA= , 3 3 1 2 2 则 cosB=-cos(A+C)=- cosC+ sinC, 3 3 2 3 代入 cosB+cosC= , 3 得 cosC+ 2sinC= 3, 从而得 sin(C+φ )=1, 其中 sinφ = π 6 则 C+φ = ,于是 sinC= , 2 3 由正弦定理得 c= 【难点突破】 13.[解答] (1)由正弦定理,设 = = =k. sinA sinB sinC 2c-a 2ksinC-ksinA 2sinC-sinA 则 = = . b ksinB sinB cosA-2cosC 2sinC-sinA 所以原等式可化为 = . cosB sinB 即(cosA-2cosC)sinB=(2sinC-sinA)cosB, 化简可得 sin(A+B)=2sin(B+C), 又因为 A+B+C=π , 所以原等式可化为 sinC=2sinA, sinC 因此 =2. sinA sinC (2)由正弦定理及 =2 得 c=2a, sinA 1 由余弦定理及 cosB= 得 4 2 2 2 b =a +c -2accosB 1 2 2 2 =a +4a -4a × 4 2 =4a . 所以 b=2a. 又 a+b+c=5. 从而 a=1, 因此 b=2. 3 6 π , cosφ = , 0<φ < . 3 3 2

asinC 3 = . sinA 2 a b c

3

4


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