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高中数学选修2-1苏教版课件:3.1.3 空间向量基本定理

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高中数学 选修2-1 问题情境 平面向量基本定理表明,平面内任一 向量可以用该平面的两个不共线向量来线 性表示,那么, 空间任一向量能用三个不共线的向量 来线性表示吗? 构建数学 ? ?? ?? 如果 e1 , e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一 ? ? ? ?? ? ? =?1 e1+?2 e2. 平面内的任一向量 a ,有且只有一对实数λ1, λ2,使得 a 1.复习平面向量基本定理的内容及其理解. 2.类比平面向量基本定理,得出空间向量基本定理. (1)空间向量的基本定理. ?? ?? ? ?? ? ?   如果三个向量e1, ???e2, ???e3不共面,那么对于空间任一向量 p?, ??? ? ? ?? ?? ? ?? 存在一个惟一的有序实数组(x,y,z),使 p=xe1+ye2+ze3 . (2)空间向量基本定理的证明. ? ?? ?? ?? ? (3)如果三个向量 e1,e2 , e3 不共面,那么空间的任一向量都可 ? ?? ? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? e3 }叫做空间的一个基 由 e1, e2 , e3 线性表示,我们把{ e1 ,e2 , ?? ?? ? ?? ? 底 e1, e2,e3 叫做基向量. (4)空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. (5)如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直,那么这个基 底叫做正交基底,特别地,当一个正交基底的三个基向量都是单位 ? ? ? ? 向量时,称这个基底为单位正交基底,通常用 { i , j , k }表示. (6)推论:设O,A,B,C是不共面的四点,则对空间任一点P,都 ??? ? ??? ? ??? ? ???? 存在惟一的三个有序实数x,y,z,使 OP=xOA +yOB+zOC . 数学应用 例1 如图,在正方体OADB - CA ' D ' B '中,点E是AB与OD的交点, ??? ? ??? ? ??? ? ???? ? ???? ? M 是OD与CE的交点,试分别用向量OA , ???OB, ???OC表示OD '和OM . B’ D’ A’ ???? ? ??? ? ??? ? ???? 解: ???OD? =OA+OB+OC ???? ? 1 ??? ? 1 ??? ? 1 ???? OM= OA+ OB+ OC 3 3 3 C’ B O M E A D 例2 如图,已知空间四边形OABC,其对角线 ??? OB, ??? AC, ??? M, ???N 分别是对边OA, ???BC的中点,点G在线段MN 上, ??? ??? ? ??? ? ???? ???? 且MG=2GN,用基底 ??? OA, ???OB, ???OC表示向量OG. ???? ???? ? ???? ? ???? ? 2 ???? ? 1 ??? ? 2 ???? ???? ? 解: ???OG=OM+MG=OM+ MN= OA+ (ON-OM ) 3 2 3 O ??? ? ??? ? ???? ??? ? 1 2 1 1 = OA+ [ (OB+OC )- OA] 2 3 2 2 M ? 1 ??? ? ???? 1 ??? ? 1 ??? = OA+ (OB+OC )- OA 2 3 3 G ? 1 ??? ? 1 ???? A 1 ??? N = OA+ OB+ OC 6 3 3 B ???? 1 ??? ? 1 ??? ? 1 ???? ? OG= OA+ OB+ OC 6 3 3 C

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