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13北京西城区(北区) 2012-2013学年度第一学期期末试题高二数学(理科)

时间:2015-07-24


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北京西城区(北区) 2012-2013 学年度第一学期期末试题

高二数学(理科)
试卷满分:150 分考试时间:120 分钟 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的 3? 1.在直角坐标系 xOy 中,在 y 轴上截距为 ?1 且倾斜角为 的直线方程为( ) 4 A. x ? y ? 1 ? 0 B. x ? y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 1 ? 0 ) D. ?9 2.已知向量 a ? (?1, 2,1), b ? (3, x, y ) ,且 a A.3 B. ?3

b ,那么实数 x ? y 等于(
C.9

3.已知一个正方体的八个顶点都在一个球的表面上,若此正方体的棱长为 2,则球的表面 积是( ) B. ??? C. 8? ) D.1 或
16 3

A. 24? 4.若椭圆 A.3

D. 6 ?

x2 y 2 1 ? ? 1(m ? 0) 的离心率为 ,则实数 m 等于( 4 m 2 16 B.1 或 3 C.3 或 3

5.已知直线 a 和两个平面 ? , ? ,给出下列两个命题: 命题 p:若 a 命题 q:若 a

? , a ? ? ,则 ? ? ? ;
? ,a
? ,则 ?
) B. ?q 为假 C. p ? q 为真 ) D. p ? q 为真

?;

那么下列判断正确的是( A.p 为假

6.设 x, y ? R ,则“ x ? y ? 4 ? 0 ”是“ x ? 0 且 y ? 0 ”的( A.充分而不必要条件 C.即不充分也不必要条件 7.设点 F1 , F2 为双曲线 C: x 2 ? 6,则 PF1 ? PF2 的值是( A. ?3 B.3
2

B.必要而不充分条件 D.充分必要条件

y ? 1 的左、右焦点,P 为 C 为一点,若△ PF1 F2 的面积为 3
) C. ?9 D.9

uuu r uuu r

8.已知矩形 ABCD, AB ? 1 , BC ? x ,将△ABD 沿矩形对角线 BD 所在的直线进行翻折, 在翻折过程中,则( ) A. ?x ? (0, 2) ,都存在某个位置,使得 AB ? CD B. ?x ? (0, 2) ,都不存在某个位置,使得 AB ? CD C. ?x ? 1 ,都存在某个位置,使得 AB ? CD D. ?x ? 1 ,都不存在某个位置,使得 AB ? CD

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上. 9.命题“ ?x ? R, x 2 ? 0 ”的否定是_____________________. 10.设 a, b ? R ,若直线 ax ? y ? b ? 0 与直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 垂直,则实数 a ? _______. 11.抛物线 x 2 ? 4 y 的焦点坐标是__________. 12.下图是一个几何体的三视图,那么这个几何体的表面积是__________.
4 2 正视图 2 俯视图 A 左视图 A
1

D

1

C B
1

1

D B

C

第 12 题图 13.如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,设 AD ? AA1 ? 1, AB ? 2 , 则|CC1 ? BD1||__________, CC1 ? CA1| _________.

第 13 题图

uuu r

uuur

uuu r uuu r

14.在直角坐标系 xOy 中,设 P 为两动圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? (r ? 2) 2 ,( x ? 2) 2 ? y 2 ? r 2 (r ? 1) 的一个交点,记动点 P 的轨迹为 C.给出下列三个结论: ①曲线 C 过坐标原点; ②曲线 C 关于 x 轴对称; ③设点 P( x, y ) ,则有 | y |?| 2 x | . 其中,所有正确的结论序号是__________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出相应的文字说明,证明过程或者演算 步骤. 15.(本小题 13 分) 如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,设 AA1 ? 2 .M,N 分别是 C1 D1 , CC1 的中点. (1)求异面直线 A1 N 与 MC 所成角的其余弦值; (2)设 P 为线段 AD 上任意一点,求证: MC ? PN .

D A
1

1

M B

C
1

1

N

P A

D B

C

16.(本小题 13 分) 已知圆 C 经过点 A(1,3),B(5,1),且圆心 C 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上. (1)求圆 C 的方程; (2)设直线 l 经过点(0,3),且 l 与圆 C 相切,求直线 l 的方程.

17.(本小题 13 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AC ? BC , AC ? BC ? CC1 ,M 为 AB 的中点. (1)求证: BC1 平面 MA1C ;
B B

1

(2)求直线 BC1 与平面 AA1 B1 B 所成角的大小.
M C C1 A1

A

18.(本小题 13 分) x2 已知椭圆 C1 : ? y 2 ? 1 ,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心率. 4 (1)求椭圆 C2 的方程; (2)设 O 为坐标原点,过 O 的直线 l 与 C1 相交于 A,B 两点,且 l 与 C2 相交于 C,D 两点.若 | CD |? 2 | AB | ,求直线 l 的方程.

19.(本小题 14 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中,底面△ABC 为等边三角形,?APC ? 90? , AC ? 2 PA ? 4 , 且平面 PAC ? 平面 ABC. (1)求三棱锥 P ? ABC 的体积; (2)求二面角 B ? AP ? C 的余弦值; (3)判断在线段 AC 上是否存在点 Q,使得△PQB 为直角三角形?若存在,找出所有符 AQ 合要求的点 Q,并求 的值;若不存在,说明理由. QC
P

A

C

B

20.(本小题 14 分) 已知动圆 P(圆心为点 P)过定点 A(1,0),且与直线 x ? ?1 相切,记动点 P 的轨迹 为 C. (1)求轨迹 C 的方程; (2)设过点 P 的直线 l 与曲线 C 相切,且与直线 x ? ?1 相交于点 Q.试研究:在坐标平 面内是否存在定点 M,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M?若存在,求出点 M 的坐 标;若不存在,说明理由.


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