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2010年新田二中高一数学竞赛

时间:2014-01-18


试卷整合:唐春晖

2010 年新田二中高一数学竞赛?暑期培训(6)
试卷满分:150 分
一、

考试时间:120 分钟
A)∩B 等于( )

选择题:每小题 5 分,共 50 分。将答案代号填入题后的括号内。
U

1. 已知全集 U=R,且 A={x︱︱

x-1︱>2},B={x︱x 2 -6x+8<0} ,则( A.[-1,4] B. (2,3) C. (2,3]

D.(-1,4) ( y )

2. 函数 f ( x) 的部分图象如右图所示,则 f ( x) 的解析式可能是 A. f ( x) ? x ? cos x B. f ( x) ? x ? sin x C. f ( x ) ? x cos x D. f ( x ) ? x sin x
O

x

3. 设有两个命题,p:不等式︱x︱+︱x+1︱>a 的解集为 R;q:函数 f(x)=log(7-3a)x 在(0, +∞)是增函数,若 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,那么实数 a 的取值范围是 A. [1,2) B.(2,
7 ] 3





C. [2,

7 ] 3

D. (1,2]? ( )

4.函数 f : ? 1,2? ? ? 1,2? 满足 f ? f ?x ?? ? f ?x ? , 则这样的函数个数共有 A.1 个 5.函数 B.2 个
log3 x

C.3 个

D.4 个 ( )

y ?3

的图象是

A.

B.

C.

D.

6. 已知数列{an}满足 3an+1+an=4(n≥1), 且 a1=9, 其前 n 项之和为 Sn。 则满足不等式|Sn-n-6|< 的最小整数 n 是 A.5 7. 函数 f ? x ? ? ( B .6 C.7 D.8 (

1 125


x ? 3 ? 3x 的值域为



试卷整合:唐春晖

A. ?1, 2 ?

?

?

B. ?1, 3 ?

?

?

C. ?1, ? 2

? 3? ? ?

D. ?1, 2 ? ( )

8. 当 x ? (0,

?
4

) 时,下面四个函数中最大的是
B. sin(sin x) C. cos(sin x) D. cos(cos x)

A. sin(cos x)

9.已知函数 y ? f (2 x ? 1) 是定义在 R 上的奇函数,函数 y ? g ( x) 的图像与函数 y ? f ( x) 的 图像关于直线 x ? y ? 0 对称,若 x1 ? x2 ? 0, 则g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? A.0 B.1 C .2 D.-2 ( ) ( )

1? x 10.设 f ( x) ,记 f1 ? x ? ? f ? x ? ,若 f n?1 ( x) ? f ( f n ( x)),则 f 2009 ( x)= = 1? x 1 1? x x ?1 A. x B.C. D. x 1? x x ?1
二、 填空题:每小题 8 分,共 64 分。将答案填在题后横线上。

11.已知函数 f ( x) ? ?

?? x ? 1 (?1 ? x ? 0) , 则 f ( x) ? f (? x) ? ?1 的解集为 ? ? x ? 1 (0 ? x ? 1)

.

12. 已知

tan(a ? ? ) sin(a ? 2 ? ) 1 ? 的值是 ? 3 ,且 ? ? k? , a ? ? ? n? ? , (n ,k ? Z ),则 tan ? sina 2 2

____________________。 13. 若函数 f ( x) 与 g ( x) ? 2
?x

互为反函数,则 f ( x ? 3x ) 的单调递增区间是 _________ 。
2

14. 函数 f 定义在正整数集上, 且满足 f(1)=2007, f(1)+f(2)+…+f(n)=n2f(n), (n>1) , 则 f(2007) 的值是_________________。 15. 已知 f ( x) 是定义在 R 上的函数,且 f ( x) ? 的值为 。
,且当 0 ,[ x ]?

1 ? f ( x ? 2) 2 ? 3 ,则 f (2007) ,若 f (3) ? 1 ? f ( x ? 2)
?
4

16. 已知函数 f ( x) ? a ? b sin 2 x ? c cos 2 x 的图象经过点 A(0,1) 、 B (? ) 1 , 4 时, f ( x) 的最大值为 2 2 ? 1 ,则 f ( x) 的解析式为 f ( x) =

。 .

1 ) 17.函数 f ( x) ? 3ax 2 ? 2bx ? a ? b(a ? 0)在(0, 上零点的个数为

18.下列命题中
①对于每一个实数 x, f ( x)是y ? 2 ? x 和y ? x 这两个函数中的较小者,则 f ( x) 的最大值
2

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是 1. ②已知 x1是方程x ? lg x ? 3 的根, x 2是方程x ? 10 x ? 3 的根,则 x1 ? x 2 ? 3 . ③函数 f ( x) ? ax ? bx ? 3a ? b 是偶函数,其定义域为[a-1,2a],则 f ( x) 的图象是以(0,
2

1)为顶点,开口向下的抛物线. ④若集合 P={ x|x=3m+1, m ? N }, Q={ x|x=5n+2, n ? N },则 P ? Q={x|x=15m-8, m ? N } ⑤若函数 f ( x) 在 (??, ??) 上递增,且 a ? b ? 0 ,则 f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) . 其中正确的命题的序号是________. 三、 解答题:每小题 12 分,共 36 分。解答应写出必要的文字说明、运算过程或推理步骤. 19.(本小题满分 20 分) 已知 ?
+ + +

?
2

? x ? 0, sin x ? cos x ?

1 . 5

(I)求 sin x ? cos x 的值;

3 sin 2
(Ⅱ)求

x x x x ? 2 sin cos ? cos2 2 2 2 2 的值. tan x ? cot x

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20.(本小题满分 20 分) 设二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c , (a, b, c ? R) 满足下列条件:
2

①当 x ? R 时, f ( x) 的最小值为 0,且 f ( x ?1) ? f (? x ?1) 成立; ②当 x ? (0,5) 时, x ? f ( x) ≤2 x ? 1 +1 恒成立。 (Ⅰ)求 f (1) 的值; (Ⅱ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅲ)求最大的实数 m(m>1),使得存在实数 t ,只要当 x∈ ?1, m ? 时,就有 f ( x ? t ) ? x 成立。

21. (本小题 12 分)若非零函数 f ( x) 对任意实数 a, b 均有 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) , 且当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ; (Ⅰ)求证: f ( x) ? 0 ; (Ⅱ)求证:判断函数 f ( x) 的奇偶性; (Ⅲ)当 f (4) ?

1 1 时,解不等式 f ( x ? 3) ? f (5 ? x 2 ) ? 16 4