nbhkdz.com冰点文库

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件:选修4-4 第2节 参数方程

时间:2014-07-23


第二节

参数方程

[主干知识梳理] 几种常见曲线的参数方程 1.直线 经过点 P0(x0,y0),倾斜角为 α 的直线的参数方程是
? ?x=x0+tcos α, ? ? ?y=y0+tsin α

(t 为参数).

2.圆 以 O(a, b)为圆心, r 其中 α 是参数.
? ?x=rcos α, 当圆心在(0,0)时,方程为? ? ?y=rsin α. ? ?x=a+rcos α, 为半径的圆的参数方程是? ? ?y=b+rsin α,

.

3.椭圆
? ?x=acos φ, x2 y2 (1)椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的参数方程是? 其中 φ 是 a b ? y = b sin φ , ?

参数.
? ?x=bcos φ, x2 y2 (2)椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的参数方程是? 其中 φ 是 b a ? ?y=asin φ,

参数.

[基础自测自评]
? ?x=3t+2, 1.(教材习题改编)参数方程? ? ?y=t-1

(t 为参数)的普通方程为

________________. 解析 由 y=t-1,得 t=y+1,代入 x=3t+2,得 x=3y+5. 即 x-3y-5=0. 答案 x-3y-5=0

2 ? ?x=t , 2 . (2013· 陕西高考 ) 圆锥曲线 ? ? ?y=2t

(t 为参数 ) 的焦点坐标是

________. 解析 代入法消参,得到圆锥曲线的方程为 y2=4x, 则焦点坐标为(1,0). 答案 (1,0)

3.(2012· 湖北高考)在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴 π 的正半轴为极轴建立极坐标系.已知射线 θ= 与曲线 4
? ?x=t+1, ? 2 ? y = ? t - 1 ? ?

(t 为参数)相交于 A,B 两点,则线段 AB 的中点的

直角坐标为________.

π 解析 记 A(x1,y1),B(x2,y2),将 θ= , 4 转化为直角坐标方程为 y=x(x≥0), 曲线为 y=(x-2)2, 联立上述两个方程得 x2-5x+4=0, 所以 x1+x2=5, 故线段 AB 答案
?5 5? ? , 的中点坐标为? ?2 2?. ? ?

?5 5? ? ? , ?2 2? ? ?

4.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l

? ?x=t, 的参数方程为? ? ?y=t+1

(参

? ?x=cos θ+1, 数 t∈R), 圆 C 的参数方程为? ? ?y=sin θ

(参数 θ∈[0,2π)),

则圆心 C 到直线 l 的距离是________.

解析

直线方程可化为 x-y+1=0,圆的方程可化为(x-1)2+y2

=1.由点到直线的距离公式可得,圆心 C(1,0)到直线 l 的距离为 |2| 2 2= 2. 1 +?-1? 答案 2

5.(2013· 广东高考)已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2cos θ.以极点 为原点, 极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线 C 的参 数方程为________. 解析 极坐标方程化为直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,
? ?cos θ=x-1 令? ? ?sin θ=y ? ?x=cos θ+1 ,即? ? ?y=sin θ

(θ 为参数).

答案

? ?x=cos θ+1, ? ? ?y=sin θ

(θ 为参数)

[关键要点点拨]
? ?x=x0+tcos α, 1.在直线的参数方程? ? ?y=y0+tsin α

(t 为参数)中 t 的几何意义

是表示在直线上过定点 P0(x0,y0)与直线上的任一点 P(x,y)构 成的有向线段 P0P 的长度且在直线上任意两点 P1、 P2 的距离为 |P1P2|=|t1-t2|= ?t1+t2?2-4t1t2. 2.参数方程化为普通方程的关键是消参数:一要熟练掌握常用技 巧(如整体代换);二要注意变量取值范围的一致性,这一点最 易忽视

参数方程与普通方程互化
[典题导入] (2012· 广东高考)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 和 C2
? ?x=t, 的参数方程分别为? ? ?y= t

(t

? ? x= 为参数 ) 和 ? ? ? y=

2cos θ, (θ 为参 2sin θ

数),则曲线 C1 与 C2 的交点坐标为________.

[听课记录] C1 的普通方程为 y2=x(x≥0,y≥0), C2 的普通方程为 x2+y2=2.
2 ? y ? =x,x≥0,y≥0, 由? 2 2 ? ?x +y =2,

? ?x=1, 得? ? ?y=1,

故 C1 与 C2 的交点坐标为(1,1). 答案 (1,1)

[互动探究] 本例 1 中“曲线
? ?x=1+2t, “? ? ?y=1-2t ? ?x=t, C1 的参数方程 ? ? ?y= t

(t 为参数 )”若变为

(t 为参数)”,试判断曲线 C1 与 C2 的位置关系. 得 x+y=2,又 C2 化为 x2+y2=2,

解析

? ?x=1+2t, 由? ? ?y=1-2t,

|2| ∴圆心到直线 x+y-2=0 的距离,d= = 2=r, 2 ∴C1 与 C2 相切.

[规律方法] 1.消去参数的方法一般有三种:

(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式,然后代入消去参数;
(2)利用三角恒等式消去参数; (3)根据参数方程本身的结构特征,选用一些灵活的方法从整 体上消去参数. 2.将参数方程化为普通方程时,要注意防止变量x和y取值范

围的扩大或缩小,必须根据参数的取值范围,确定函数f(t)和
g(t)的值域,即x和y的取值范围.

[跟踪训练] 1 . (1)(2014· 东 莞 模 拟 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 下 , 曲 线 C1 :
? ?x=2t+2a, ? ? ?y=-t

(t 为参数 ),曲线

? ?x=2cos θ, C2:? ? ?y=2+2sin θ

(θ 为参

数). 若曲线 C1, C2 有公共点, 则实数 a 的取值范围是________.

解析 将曲线 C1,C2 的参数方程化为普通方程, 得 C1:x+2y-2a=0,C2:x2+(y-2)2=4. 因为曲线 C1 与 C2 有公共点, |4-2a| 所以圆心到直线的距离 ≤2, 5 解得 2- 5≤a≤2+ 5. 答案 [2- 5,2+ 5]

(2)(2013·陕西高考)如图,以过原点的直线的倾斜角θ为参数,

则圆x2+y2-x=0的参数方程为________.

解析

? ?1 ? 1? 1 ? ?2 ? 2 由题意得圆的方程为?x-2? +y = ,圆心?2,0? ?在 4 ? ? ? ?

x 轴上,

1 半径为 ,则其圆的参数方程为 2 ? 1 1 ?x=2+2cos α ? ?y=1sin α ? 2

(α 为参数),注意 α 为圆心角,θ 为同弧所对的圆

? 1 1 ?x=2+2cos 2θ 周角,则有 α=2θ,有? ?y=1sin 2θ ? 2


2 ? ?x=cos θ 即? ? ?y=sin θcos

θ

(θ 为参数).

答案

2 ? ?x=cos θ ? ? ?y=sin θcos

θ

(θ 为参数).

直线的参数方程
[典题导入] (2014· 东北三省三校第二次联考)在直角坐标系 xOy 中,已 知点 P(0, 3), 曲线 C
? ?x= 的参数方程为? ? ?y=

5cos φ, (φ 为参数). 以 15sin φ

原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标 方程为 ρ= ? ?. π ? θ - 2cos? ? 6?
? ?

3

(1)判断点P与直线l的位置关系,说明理由;

(2)设直线l与曲线C的两个交点为A,B,求|PA|·|PB|的值.
[听课记录] (1)∵直线 l 的极坐标方程为 3,

? π? ? 2ρcos?θ-6? ?= ? ?

即 3ρcos θ+ρsin θ= 3, ∴直线 l 的直角坐标方程为 3x+y= 3, ∴点 P(0, 3)在直线 l 上.

1 ? ?x=-2t, (2)设直线 l 的参数方程为? ?y= 3+ 3t 2 ? x 2 y2 曲线 C 的直角坐标方程为 + =1, 5 15

(t 为参数),

l 将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程得
? ? 1? ? ?2 ? 3?-2t? +? ? ? ?

3? ? 3+ t?2=15,∴t2+2t-8=0, 2 ?

Δ=36>0,设方程的两根为t1,t2, ∴|PA|·|PB|=|t1||t2|=|t1t2|=|-8|=8.

[规律方法] 经 过 点 P(x0 , y0) , 倾 斜 角 为 α 的 直 线 l 的 参 数 方 程 为
? ?x=x0+tcos α, ? ? ?y=y0+tsin α

(t 为参数).若 A,B 为直线 l 上两点,其对应的

参数分别为 t1,t2.线段 AB 的中点为 M,点 M 所对应的参数为 t0. 注意以下几个常用的结论: t1+t2 |t1+t2| (1)t0 = ; (2)|PM|= |t0|= ; (3)|AB|= |t2 - t1|; (4)|PA|· |PB| 2 2 =|t1t2|.

[跟踪训练] 2.(2014· 河南模拟)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? ?x=3- 2t, 2 ? ? 2 ? y= 5+ t ? 2 ?

(t 为参数),在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取

相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴) 中,圆 C 的方程为 ρ=2 5sin θ.

(1)求圆 C 的圆心到直线 l 的距离; (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A、B.若点 P 的坐标为(3, 5),求|PA| +|PB|. 解析 (1)由 ρ=2 5sin θ,得 x2+y2-2 5y=0,

即圆 C 的直角坐标方程为 x2+(y- 5)2=5. ? ?x=3- 2t, 2 ? 由? 2 ? y= 5+ t, ? 2 ? 可得直线 l 的普通方程为 x+y- 5-3=0.

所以圆 C 的圆心(0, 5)到直线 l 的距离为 |0+ 5- 5-3| 3 2 = . 2 2 (2)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,
? 得? ?3- ? ? ? 2? ?2 ? 2 ?2 t? +? t? =5,即 t2-3 2t+4=0. 2 ? ?2 ?

由于 Δ=(3 2)2-4×4=2>0, 故可设 t1,t2 是上述方程的两个实根,

? ?t1+t2=3 所以? ? t2=4. ?t1·

2,

又直线 l 过点 P(3, 5), 故由上式及 t 的几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3 2.

圆与圆锥曲线的参数方程及应用 [典题导入]
(2012· 湖南高考 ) 在直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1 :
? ?x=t+1, ? ? ?y=1-2t,

(t 为参数)与曲线

? ?x=asin θ, C2:? ? ?y=3cos θ,

(θ 为参数,a>

0)有一个公共点在 x 轴上,则 a=________.

[听课记录] 曲线 C1 的普通方程为 2x+y=3, x2 y2 曲线 C2 的普通方程为 2+ =1, a 9 直线 2x+y=3 与 x
?3 ? ? 轴的交点坐标为?2,0? ?, ? ?

x2 y2 故曲线 2+ =1 也经过这个点, a 9 3? 3? ? 代入解得 a= ?舍去-2? ?. 2? ? 3 答案 2

[规律方法] 已知圆、圆锥曲线的参数方程解决有关问题时,一般是把参

数方程化为普通方程,通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点
有关的问题,如最值、范围等

[跟踪训练] 3.(2013· 湖北高考)在直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的参数方程为
? ?x=acos φ, ? ? ?y=bsin φ

(φ 为参数,a>b>0).在极坐标系(与直角坐标系

xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为
? π? ? 极轴)中, 直线 l 与圆 O 的极坐标方程分别为 ρsin?θ+4? ?= ? ?

2 m(m 2

为非零常数)与 ρ=b.若直线 l 经过椭圆 C 的焦点,且与圆 O 相 切,则椭圆 C 的离心率为________.

x2 y2 解析 由题意知,椭圆 C 的普通方程为 2+ 2=1, a b 直线 l 的直角坐标方程为 x+y=m, 圆 O 的直角坐标方程为 x2+y2=b2, 设椭圆 C 的半焦距为 c,则根据题意可知, |m| |m|=c, =b,所以有 c= 2b, 2 c c 6 所以椭圆 C 的离心率 e= = 2 2= . a 3 b +c 答案 6 3

【创新探究】 坐标系与参数方程的综合应用 (2013· 辽宁高考)在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极 点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆 C1,直线 C2 的极坐 标方程分别为 ρ=4sin
? π? ? θ,ρcos?θ-4? ?=2 ? ?

2.

(1)求 C1 与 C2 交点的极坐标; (2)设 P 为 C1 的圆心,Q 为 C1 与 C2 交点连线的中点.已知直
3 ? x = t +a, ? 线 PQ 的参数方程为? b 3 (t∈R 为参数), 求 a, b 值. y= t +1 ? ? 2

【思路导析】 先将极坐标方程化为普通方程确定交点的直 角坐标,进而再转化为极坐标;确定P,Q的直角坐标,进而

确定PQ的直角坐标方程,与参数方程给出的关系式联立,解
得a,b.

【解析】 (1)圆 C1 的直角坐标方程为 x2+(y-2)2=4, 直线 C2 的直角坐标方程为 x+y-4=0.
2 2 ? ?x +?y-2? =4, 解? ? ?x+y-4=0

? ?x1=0, 得? ? ?y1=4,

? ?x2=2, ? ? ?y2=2. ? ? π? ? ? ? C2 交点的极坐标为?4,2?,?2 ? ? ?

所以 C1 与

π? 2, ? . 4? ?

注:极坐标系下点的表示不唯一.

(2)由(1)可得, P 点与 Q 点的直角坐标分别为(0,2),(1,3). 故直线 PQ 的直角坐标方程为 x-y+2=0, b ab 由参数方程可得 y= x- +1. 2 2 ?b ?2=1, 所以? ?-ab+1=2. ? 2

解得 a=-1,b=2.

[体验高考]
? ?x=2cos t, ? (2013· 新课标全国Ⅱ高考)已知动点 P, Q 都在曲线 C: ? ?y=2sin t

(t 为参数)上,对应参数分别为 t=α 与 t=2a(0<α<2π),M 为 PQ 的中点. (1)求 M 的轨迹的参数方程; (2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 α 的函数,并判断 M 的轨迹 是否过坐标原点.

解析

(1)依题意有 P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),

因此 M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α). M
? ?x=cos α+cos 2α 的轨迹的参数方程为? ? ?y=sin α+sin 2α

(α 为参数,0<α<2π).

(2)M 点到坐标原点的距离 d= x2+y2= 2+2cos α(0<α<2π).

当 α=π 时,d=0, 故 M 的轨迹过坐标原点.


赞助商链接

相关文档

更多相关标签