全套更高更妙的物理竞赛ppt课件竞赛课件16：热力学基础

?

热一律应用于理想气体等值过程

i m i i E ? N ? kT ? ? RT (? pV ) 2 M 2 2
单原子分子 i为分子自由度
双原子分子 多原子分子 定容比热 定容比热

i=3 i=5 i=6
C p ? CV ? R

cV
cp

i?2 ? ?? CV i Cp

过 程 特 征

等温变化
ΔE＝０

等容变化
W＝ 0

等压变化
Q,W,ΔE≠0
ΔE＝Q +W

绝热变化
Q＝０
ΔE＝Ｗ

热 一 律 形 式

0 ?W ?Q 等温膨胀降压 Q ?W 时，对外做功 V m ，气体吸热； ? RT ln 2 M V1 等温压缩升压 p m ? RT ln 1 时，外界做功 M p2 ，气体放热； 功量等于热量 ?E ? 0 ，内能保持不 变

0＝W+Q

?E ? Q 等容升温升 m 压时，气体 Q ? cV ? T2 ? T1 ? M 吸热，内能 增加；等容 W ?0 降温降压时 ，气体放热 m ，内能减少 ? E ? CV ?T2 ? T1 ? M ．热量等于 内能增量

ΔE ＝Q

? E ? W ? Q ?E ? W 等压升温膨胀时 绝热膨胀降压
m ? R ?T2 ? T1 ? Q吸 ?M ? E ? ?W
M 少；绝热压缩 升压升温时， 等压降温压缩时， 外界做功，内 放热并外界做功， 能增加；功量 m m 内能减少 ?E ? cV ?T2 ? T1 ? ?E ? cV ?T2 ? T1 ? M M 等于内能增量

，吸热并对外做 降温时，对外 Q?0 W ? p ?V2 ? V1 ? 功，内能增加 做功，内能减 m
W ??

cV ?T2 ? T1 ?

Q放 ? ??E ? W

理想气体做绝热膨胀，由初状态（p0，V0） 至末状态（p，V），试证明在此过程中气体所做的功为
p0V0 ? pV W? ? ?1

绝热膨胀时,对外做功量等于内能的减少:

i W ? ?E ? NR(T0 ? T ) 2
p0V0 pV i ? NR( ? ) 2 NR NR

i?2 ? ? i

p0V0 ? pV ? ? ?1

为了测定气体的γ( ? C p )，有时用下列方法：一定量 CV 的气体初始的温度、压强和体积分别为 T0、p0、V0．用一根通有电流 的铂丝对它加热．设两次加热的电流和时间都相同．第一次保持气 体体积V0不变，温度和压强各变为T１和p１；第二次保持压强p0不变， ( p ? p )V ? ? 而温度和体积各变为T２和V１．试证明 (V ? V ) p
1 0 0 1 0 0

等容升温时,吸收的电热全部用作增加内能:

等压升温时,吸收的电热用作增加内能与对外做功:

CV p1V0 p0V0 Q ? ?E ? CV n(T1 ? T0 ) ? ?CV n(( p1 ??p0 )V0) R nR nR

V0 ? p1 ? p0 ? 则 ?? ? p0 ?V1 ? V0 ? CV
Cp

p0V1 p0V0 Q ? ?E ? W ? C p n(T1 ? T0 ) ? C p n( ? ) nR nR Cp ? ? p0 ?V1 ? V0 ? R

两个相同的绝热容器用带有活栓的绝热细管相连，开始时活栓 是关闭的，如图，容器1里在质量为m的活塞下方有温度T0、摩尔质量M、摩尔数n 的单原子理想气体；容器2里质量为m/2的活塞位于器底且没有气体．每个容器里 活塞与上顶之间是抽成真空的．当打开活栓时容器1里的气体冲向容器2活塞下方， 于是此活塞开始上升（平衡时未及上顶），不计摩擦，计算当活栓打开且建 立平衡后气体的温度T，取

mg 打开活栓重新平衡后 2中活塞下气体压强为 2 S mg 2nRT 由 V ? ? nRT ? H ? 2S mg 3 E0 ? n ? RT 2中活塞下气体内能为 2 h H? H? ? 由能量守恒可得: 3 nR ? T ? T0 ? ? nMg ? ? ? mg h ? ? ? ? ? 2 2? ?2 2 ? ? 3 nMg nR ? T ? T0 ? ? nR ?T0 ? 2T ? ? nR ?T ? T0 ? 2 2mg

mg 1中活塞下气体压强为 S nRT0 mg 由 V ? nRT0 ? h ? S mg 3 1中活塞下气体内能为 E 0 ? n RT0 2

m ?5 nM

1
m n M T0

2
m/2

26 T? T0 27

在大气压下用电流加热一个绝热金属片，使其在恒 定的功率P下获得电热能，由此而导致的金属片绝对温度T随时间t的 增长关系为 T (t ) ? T ? ?1 ? ? ( t ? t )? ? ．其中Ｔ0、α、t0均为常量．求金属片热 容量Cp(T)．（本题讨论内容，自然只在一定的温度范围内适用）
1/ 4 0 0

热容量定义

P ? ?t Cp ? ?T
1 ?4 1 ?4

1 ? ? ? t ? ?t ? t0 ? ? ? T0 ? 1 ? ? ? t ? t0 ? ? ?T T0 ? ? ? 其中 ? ?t ?t

T0? ? ?? 1 ? ? ? t ? t0 ?? ? 4 3 4P ? T ? cp ? ?? ? T0? ? T0 ?

1 3 1? ? ? 1 ? ? 4 4 4 ? ? ? ? ? T0 ? ? 1 ? ? t ? t ? 1 ? ? t ? t ? ? ? t ? 1 ? ? t ? t ? 0 ?? 4 ? ? 0 ?? ? 0 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?t

3 ? ? 4

T0? ? 4

? T0 ? ?? ? ?T ?

3

由v1摩尔的单原子分子理想气体与v2摩尔双原 子分子理想气体混合组成某种理想气体，已知该混合理想 11 气体在常温下的绝热方程为 PV 7 常量．试求 v1与v2的比值 ? α.
i ? 2 11 设混合气体的自由度为i, 由 ? ? i 7

7 i? 2

混合前后气体总内能守恒:

3 5 7 ? 1 ? RT ? ? 2 ? RT ? ?? 1 ? ? 2 ? ? RT 2 2 4

即 ??3

?1 ? 3? 2

一个高为152 cm的底部封闭的直玻璃管中下半部充 满双原子分子理想气体，上半部是水银且玻璃管顶部开口，对气体 缓慢加热，到所有的水银被排出管外时，封闭气体的摩尔热容随体 积如何变化？传递给气体的总热量是多少？ (大气压强p0=76 cmHg)

取76cmHg为单位压强,76cm长管容为单位体积,
p ? 1 ? ?2 ?V ? ? 3 ?V 2 由图知 T1 ? T2 ? nR
在此单位制下,气体的p-V关系为 p 2 p 1 0

1

从T1到Tm 过程,对外做功,内能增加,故:

2 ? 1 ? 3 ? V ?V 2.25 由 ? Tm ? T1 Tmax nR

2

2 ? 1.5 5 2.25 ? 2 ? ? 3 ? 0.5 ? nR ? Q吸1 ? W ? ?E ? ? ? 2 2 ? nR ? 2 从Tm到T2 过程,对外做功,内能减少,故: ? 2.25 ? p ? 3 ? p ? ? 5 1 nR ? ? ? 3 ? p ? 1.5 ? ? ? Q吸2 ? W ? ?E ? 2 ?1.5 ? p? ? nR ? ? 2 ? ? ? ? 续解

1

1.5 2

返回

已知0.1摩尔单原子气体作如图所示变化,求 变化过程中出现的最高温度与吸收的热量 p/atm A 气体的p-V关系为 p ? 2 ? 1 V 1.5 2 由气体方程 pV ? 0.1RT 1.0
2 p ? 2 ? p ? ? 0.1 RT

当p=1.0atm、V=2L时有最高温度 至此气体对外做功，吸收热量， 0 内能增大！Q吸1 ? W ? ?E1

p 0.5
1

B

W1 W2
2 3

V/L

此后气体继续对外做功，吸收热量，内能减少， Q吸2 ? W2 ? ?E2

全过程气体共吸收热量为

Q吸 ? Q吸1 ? Q吸2

Q吸2

? 2.25 ? p ? 3 ? p ? ? 1 5 ? ? 1.5 ? p ? ? ? nR ? ? 3 ? p ? ? 1.5? ? ? ? 2 2 nR ? ? ? ?

查阅

? ?3 p2 ? 7.5 p ? 4.5
? ? ? 3 p ? 1.25?
2

3 ? 16

1.25 3 当p ? p0时 Q吸2m ? 3 16
全过程气体共吸收热量为

Q吸

27 ? p0V0 ? ? 16

在两端开口的竖直Ｕ型管中注入水银，水银柱的全 长为h．将一边管中的水银下压，静止后撤去所加压力，水银便会振 荡起来，其振动周期为 T1 ? 2? h ;若把管的右端封闭，被封闭的空 2g 气柱长L，然后使水银柱做微小的振荡，设空气为理想气体，且认为 水银振荡时右管内封闭气体经历的是准静态绝热过程，大气压强相 考虑封闭气体,从A状态到C状态,由泊松方程: (． Δm) y 当h0水银柱产生的压强．空气的绝热指数为 γ (1) 试求水银振动的周 max ? ? p ( LS ) ? p [( L ? y ) S ] 0 y 期T2；(2)求出γ与T1、T2的关系式. Δm L h p y ? p0 ? [( )γ? y ? 1] p0 ?? 0 ? g ymax LL ?y y y 考虑封闭气体在 C状态时液柱受 ? (1 ? ? ? 1) p0 O L,有: 力,以位移方向为正

专题16-例2

h0 F? p S S ? 2(?m) g ? ?y (? ? p ? 0 gS ? 2 ? Sg ) y L

T2 ? 2?

? ( pm ? p ) S ? 2 ? ySg hhS ? y ? 0 ?2 2 ? ?
?? ? 2
k h
0

? T1 ? L ? h0 ?? T 2 L ?? 1 ? ? ? 1? ? ? ?T T 2 L h ? ? 2? 0 ? 2

h0 h0 ? (2 ? ?? gS ? ) 2g ? Sg L L ? gyS ? 2? ySg

A

B

C

? ? ? ? ? ? 1? ?
2

设热气球具有不变的容积VB=1.1 m3，气球蒙皮体 积与VB 相比可忽略不计，蒙皮的质量为mH=0.187 kg，在外界气温 t1=20℃，正常外界大气压p1=1.013×105 Pa的条件下，气球开始升空， 此时外界大气的密度是ρ1=1.2 kg/m3．(1) 试问气球内部的热空气的温 度t2应为多少，才能使气球刚好浮起？(2) 先把气球系在地面上，并 把其内部的空气加热到稳定温度t3=110℃，试问气球释放升空时的初 始加速度a等于多少？（不计空气阻力）(3) 将气球下端通气口扎紧， 使气球内部的空气密度保持恒定．在内部空气保持稳定温度t3=110℃ 的情况下，气球升离地面，进入温度恒为20℃的等温大气层中．试 问，在这些条件下，气球上升到多少高度h能处于力学平衡状态？ ? mgh / kT ? h ? ?1e分布，式中 （空气密度随高度按玻尔兹曼规律 m为空 气分子质量，k为玻耳兹曼常数，T为绝对温度）(4) 在上升到第3问 的高度h时，将气球在竖直方向上拉离平衡位臵10 cm，然后再予以 释放，试述气球将做何种运动
1

解答

⑴热气球刚好浮起满足

读题

?1VB g ? m H g ? ? 3VB g ? ? m H ? ? 3VB ? a
⑶气球上升到h高处平衡时满足
mH ? ?3VB ?h ? ? ?1e?mgh / kT1 VB

293 而由 ?1T1 ? ?2T2 可得 m2 ? ?1VB T2 ⑵热气球内加热到t3 由 ?1T1 ? ?3T3

?V g ? mH g ? mt g F B 浮

t2 ? 68.4℃

a ? 1.03m/s2
? 827m

?hVB g ? mH g ? ?3VB g
kT1 ?1 ? VB h? ln mg mH ? ?3VB

⑷气球在平衡位置上方x(<<h)时
?e ? mg ( h? x ) / kT1 ? e ? mgh / kT1 ? ? ? V g ? ?F ? ? ? V ? m ? ? V g ? ? 1 B ? V H h B 3 B ? ? ? ? h? x B

气球受力满足∑F= －Kx，故做谐振!

mg ?? ?1VB g ? x kT1

2 m N 2 ? g 2VB A 2 A 1 ? ?1 ?? ? ?V xB . 1 B g ? x. p1 p1V RT 1 1

?

热力学第二定律

热力学第二定律的克劳修斯表述：在低温热 源吸取热量，把它全部放入高温热源，而不引起 其他变化是不可能的．这是从热传导的方向性来 表述的，也就是说，热传导只能是从高温热源向 低温热源方向进行的． 热力学第二定律的开尔文表述：从单一热源 吸取热量，把它完全转变为功而不引起其他变化 是不可能的．这是从机械能与内能转化过程的方 向来表述的，也就是说，当将内能转变为机械能 时，若不辅以其它手段是不可能的．

若一系统由某一状态出发，经过任意的一系列的过程，最后 又回到原来的状态，这样的过程称为循环过程．
p

正循环中: W1<0
W2>0

W=W1-W2<0

Q吸 ? W
0

Q Q W1

W2

W2

W1

V

逆循环中: W1<0
W2>0

W=W2-W1>0

Q放 ? W

做正循环的系统，在膨胀阶段所吸收的热量Q1大于在压缩阶段 放出热量Q2，其差值Q1-Q2在循环中转变为系统对外所做的功W， 能完成这种转变的机械称为热机，热机就是正循环工作机.

W ?? Q1 Q1 ? Q2 ? Q1 Q2 ? 1? Q1

锅炉

Q
1

气缸

水泵 冷凝器 水池 Q2

水泵

1 mol 氦气经过如图所示的循环过程，其中 p2 ? 2 p1 , V4 ? 2V1 求 1→2、2→3、3→4、4→1各过程中气体吸收的热量和热机的效率

由理想气体状态方程得

Q12 ? CV ,m (T2 ? T1 ) ? CV ,mT1

T2 ? 2T1 T3 ? 4T1

T4 ? 2T 1

p2

P

2

Q23

3

Q23 ? Cp,m (T3 ? T2 ) ? 2Cp,mT1

Q12
1

Q34
Q41
1

T ?2 2 Cp,mT1 Q ?Q ?Q ? C 1? 3V C,m R V ,m
1 12 23

Q34 ? CV ,m (T4 ? T3 ) ? ?2CV ,mT1 p1 Q41 ? Cp,m (T1 ? T4 ) ? ?Cp,mT1

4

W ?( p ? p )(V ?V ) ? pV ? RT ?Q W RT1 Q ?? ? ? Q Q T1 (3CV ,m ? 2R) ?15.3%
1 1
2 1 4 1

o

V1

V4 V

1

2

1

1

做逆循环的系统，依靠外界对系统所做的功,使系统从低温热源 处吸收热量，并将外界对系统做的功和由低温热源所吸取的热在 高温处通过放热传递给外界，能完成这种转变的机械称为致冷机， 致冷机是逆循环工作机.

Q2 e? W
W Q1 ? Q2 Q2 ?? ? ? 1 ? Q1 Q1 Q
1

卡诺循环是由两个准静态等温过程和两个准静 态绝热过程组成 ,只在两个有恒定温度的高、低温热 源吸、放热的理想循环. p T1 ? T2 高温热源 T1 p1 A
T1

p2 p4

B D

Q1

W
T2

p3

C

卡诺热机
V

W
W ? Q1 ? Q2

o

Q2

V1 V4

V2

V3

Q2 T1 ? ? 1? ? 1? Q1 T2

低温热源 T2 Q1 Q2 ? T1 T2

?

可逆过程与不可逆过程

一台电冰箱放在室温为 20 C 的房间里 ，冰箱储藏柜中 的温度维持在 5 C . 现每天有 2.0 ? 107 J 的热量自房间传入冰箱内 , 若要维持冰箱内温度不变 , 外界每天需做多少功 , 其功率为多少? 设 在 5 C 至 20 C 之间运转的致冷机 ( 冰箱 ) 的致冷系数, 是卡诺致冷机 致冷系数的 55% .

T2 55 e ? e卡 ? 55% ? ? ? 10.2 T1 ? T2 100 由致冷机致冷系数 e ?1 Q2 得 Q1 ? Q2 e? Q1 ? Q2 e ' 房间传入冰箱的热量 ' 7 热平衡时 Q Q ? 2.0 ? 10 J
e ?1 e ?1 ' 則 Q1 ? Q2 ? Q ? 2.2 ? 107 J e e
'

? Q2

保持冰箱储藏柜在 5 C , 每天需做功

W ? Q1 ? Q2 ? Q1 ? Q ? 0.2 ? 10 J7
7

W 0.2 ? 10 故功率 P ? ? W ? 23W t 24 ? 3600

定容摩尔热容量CV为常量的某理想气体，经历如图 专题 16例 1 所示的p—V平面上的两个循环过程A B C A 和A B C A ，相应的效

率分别为η1和η2，试比较η1和η2的大小.
W ?? Q1

1

1

1

1

2

2

2

2

p

B1

W1 ?

1 1 ( pB1 ? pC1 )(V2 ? V1 ) ? ( pB1 ? pA1 )(V2 ? V1 ) 2 2

又

1 W1 ? k (V2 ? V1 )2 2 W2 A2 1 C2 同理 W2 ? k ?(V2 ? V1 )2 O 2 m V1 C ? TB1 ? TA1 ? V2 A1→B1过程吸热: Q1吸 ? V M 2 对此多方过程 ,多 MP V 2 kV k 1 ? ? ? n ? ? 2? ? ? A1 1 1 ? 2 2 MP V kV 1 B1 2 2 Q1吸 ? ? CV ?V2 ? V1 ? 方指数 n=-1! C mR V R 2 mR R ?V2 ? V1 ? n ? 1? ? k? 1 ? ? 2 2 ? 同理 Q2吸 ? ? CV ?V2 ? V1 ? ? 1 ? ? ? CV ?V2 ? V1 ? R 2

pB1 ? pA1 ? k (V2 ? V1 )

A1

W1

C1 B2

设有一以理想气体为工作物质的热机循环，如图所示， 试证明其效率为 W p ? ? 1 p1 Q吸 1→2过程对外做功,且:

W1? 2

p1V2 ? p2V1 ? ?E ? ? ?1

绝热

p2

3

2

W2?3 ? p2 ?V1 ? V2 ? p p2V2 p2V2 ? p1V i i1V2?? ?n R ? ? 3→1过程吸热: Q ? n R ? T1 ? T3 ? ? ? 2 2 ?? ? nR nR 1 ?
p1V2 ? p2V1 ? p2 ?V1 ? V2 ? ? ?1 ? 1?? ?? p1V2 ? p2V2 ? ?1
? V1 ? ? ? ?1 ? V2 ? ? p1 ? ? ??1 ? p2 ?

2→3过程外界对气体做功:

V2

V1

V

１ mol 理想气体在 400 K—300 K 之间完成一卡诺循 环．在400K等温线上，起始体积为0.0010 m3，最后体积为0.0050 m3， 计算气体在此过程中所做的功，以及从高温热源吸收的热量和传给 低温热源的热量. 在400 K等温过程中对外做的功与从高温热源所吸收的热 相同:

V2 3 Q1 ? RT ln ? 8.31 ? 400 ? ln 5J ? 5.35 ? 10 J V1

Q1 Q2 由 ? 在300 K等温过程中向低温热源放热为: T1 T2

3 3 Q2 ? Q1 ? 4.01 ? 10 J 4

在卡诺循环中的净功为:

W ? Q1 ? Q2 ? 1.34 ? 10 J
3

如图所示为单原子理想气体的两个封闭热循环： 12341和15641，比较这两个热循环过程的效率哪个高？高多少倍？ 对过程12341: P 5 6 W ? pV 4p

净功

12341

0

0

0

3 3 3p0 吸热 Q1? 2 ? R ? T2 ? T1 ? ? V0 p0 2 2 2p0 Cp Q2?3 ? C p ? T3 ? T2 ? ? 2 p0V 0 p 0 R i ? 2 5W C p 2 0 ?12341 ?? ? 由 Q 13 i 2 C 吸 ? R p
对过程15641:

2

3 4 2V0 V

1
V0

29 Cp 3 Q1?4 ? Q4?5 ? 3 p0V0 ? 4 p0V0 ? 2 p0V0 2 R ?15641 39 W 6 ? ?15641 ? ? ?12341 29 Q吸 29

W15641 ? 3 p0V0

用N mol的理想气体作为热机的工作物质，随着热机 做功，气体的状态变化，完成一个循环1-2-3-1，如图所示，过程1-2 和2-3在图象中是直线段，而过程3-1可表达为T ? 0.5T1 ? 3 ? BV ? BV，式 中B是一个未知常量，T1是图示坐标轴上标出的给定绝对温度．求气 体在一个循环中做的功

对过程3→1:

T 2T1 T1 0 1 V1

2

由T ? 0.5T1 ? 3 ? BV ? BV
T=T1时有: BV1 ? 1, 1 2

BV2 ? 2 即V2 ? 2V1 ? V3
p1 2V1 2T1
3 p1 2V1 T1 2

3 V2 V

p1 V1 T1

其中p1 ? BNRT1

续解

3→1的P-V关系为

p ? 0.5 BT1 NR ? 3 ? BV ?
1 p1 W ? ? ? V1 2 2
p p1
p1 2

1

2

NRT1 ? 4

3 V V1 V2

0

一热机工作于两个相同材料的物体A和B之间，两物 体的温度分别为TA和TB（TA＞TB），每个物体的质量为m、比热恒 定，均为s．设两个物体的压强保持不变，且不发生相变． (a)假定热机能从系统获得理论上允许的最大机械能，求出两物体A 和B最终达到的温度T0的表达式，给出解题的全部过程． (b)由此得出允许获得的最大功的表达式． (c)假定热机工作于两箱水之间，每箱水的体积为2.50 m3，一箱水 的温度为350 K，另一箱水的温度为300 K．计算可获得的最大机械 能． 已知水的比热容＝4.19×103 ，水的密度＝1.00×103kg.m-3．

专题16-例3

(a)设热机工作的全过程由n(n→∞)个元卡诺循 环组成，第i次卡诺循环中，卡诺热机从高温热 源（温度设为Ti）处吸收的热量为ΔQ1后，温度 降为Ti+1；在低温热源（温度设为Tj）处放出的热 量为ΔQ2后，温度升高为Tj+1，满足
续解

?Q1 ? ms(Ti ? Ti ?1 )

?Q1 ?Q2 ? Ti Tj

?Q2 ? ms(Tj?1 ? Tj )
令

Ti ? Ti ?1 T j ?1 ? T j ? Ti Tj
n n n n ? ?? A ?A n A A ? A?? A

? Ti ? Ti ?1 ?
Ti

A ? n

?T ? ?iT ?1 i ?1 ? ? ? ?? ? ??1 ? ? lim lim ?1 ? ?? ?? ?T T ? ? ? n? ? i ?n n?? i ?1 ? ? i i? ? n?? 1 ??
n

TB 同理可得A ? ln T0

TA 得A ? ln T0

T0 ? e ? A T0 ? TA

TATB

(b)由卡诺热机的循环过程可知：

W ? Q1 ? Q2 ? ms ?TA ? T0 ? ? ms ? T0 ? TB ? ? ms TA ? TB ? 2 TATB
TA ? TB

? ? ms ?

?

?

2

一反复循环运转的装臵在水流速度为 u=0.1 m/s的海洋上将大海的热能转化为机械能．考虑深 度h=1 km的海水最上层的温度T1=300 K，而与水面相邻 的空气温度为T2=280 K．装臵在垂直于水流方向上的宽度 为L=1 km．估计该装臵所能提供的最大功率，已知水的 比热为c=4200 J/(kg.K)，水的密度ρ=103 kg/m3．

解答

读题

工作物质为单位时间流过的水 ?uLh
取温度从T1→T2中的某一元过程： 热机总功率：
n

pi ? cm ? ?Ti ?1 ? Ti ? ?

Ti ? T2 Ti

? ?Ti ?1 ? Ti ? ? p ? lim? pi ? lim?cm ?? Ti ?1 ? Ti ? ? T2 ? T ? ? n?? i ?1 n?? i ?1 i ? ?
n

? cm ? T1 ? T2 ? ? cmT2 lim ?
n?? i ?1

n

? Ti ?1 ? Ti ?
Ti
n

Q吸
n ?A A?A

?i

? lim n??
i ?1

n

? ? T ?? T T ?T ?Ti ?1 ? Ti ? ? cm ?T1 n A i ? 1 1 T ? 2?? P ? A ? i ?1 ? i? 1 ?
Ti

?n ?nlim cmT 2 ??
i ?1

?T ? T ? 2i Ti?

?? ? n ? n ?

T1 p ? cm ?T1 ? T2 ? ? cmT2 ln T2 8 ? 2.9 ? 10 kW

T1 A ? ln T2

某空调器按卡诺循环运转，其中的做功装 臵连续工作时所提供的功率为p0． ⑴夏天，室外温度为恒定的T1，启动空调器连续工作， 最后可将室温降至恒定的T2．室外通过热传导在单位时间 内向室内传输的热量正比于（T1－T2）（牛顿冷却定律）， 比例系数为A．试用T1、p0和A来表示T2． ⑵当室外温度为30℃时，若这台空调器只有30％的时间 处于工作状态，则室温可维持在20℃．试问室外温度最高 为多少时，用此空调器仍可使室温维持在20℃？ ⑶冬天，可将空调器吸热、放热反向．试问室外温度最低 为多少时，用此空调器可使室温在20℃？

解答

读题

⑴ 夏天，空调为致冷机，从室内吸热Q2，向室外放热Q1 Q1 Q2 ? 2 ? ?p T1 T2 p p 2 0 0 0

p0 ? Q1 ? Q2

A(T1 ? T2 ) ? T2 p0 , T2 ? T1 ? ? ? ? 2A ?

A

T1 ?

? 4A ? ?
2

Q2 ? A(T1 ? T2 ) 2 ? A ? 10 ? 0.3 p0 ? 293 ? ⑵代入数据: ? 2 ? ? A ? ? T1? ? 293 ? ? p0 ? 293
2 ? A ? 10 ? 0.3 p0 ? 293 ? ? ? ? A ? (293 ? T1??) ? p0 ? 293

T1? ? 38.3℃
? Q2

?，向室内放热 ⑴ 冬天，空调为热机，从室外吸热 Q1

T1?? ? 1.7℃