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2013高考数学点19 等比数列的运算和性质


考点 19 等比数列的运算和性质 【高考再现】
热点一、等比数列基本量的计算
1.(2012 年高考(浙江理) )设公比为 q(q>0)的等比数列{a n}的前 n 项和为{S
n

}.若 S2 ? 3a2 ? 2 , S4 ? 3a4 ? 2 ,则 q =______________.

2. (20

12 年高考(辽宁理) )已知等比数列 ?an ? 为递增数列,且
2 a5 ? a10 , 2(an ? an ? 2 ) ? 5an ?1 ,则数列的通项公式 an ? ______________.

3. (2012 年高考(北京文) )已知 {an } 为等比数列.下面结论中正确的是 ( A. a1 ? a3 ? 2a2 C.若 a1 ? a3 ,则 a1 ? a2 【答案】B 【解析】 a1 ? 0, q ? 0 时,可知 a1 ? 0, a3 ? 0, a2 ? 0 ,所以 A 选项错误;当 q ? ?1 时,C 当 选项错误;当 q ? 0 时, a3 ? a2 ? a3q ? a1q ? a4 ? a2 ,与 D 选项矛盾.因此根据均值 定理可知 B 选项正确. 4. 2012 年高考 ( (重庆文) 首项为 1,公比为 2 的等比数列的前 4 项和 S 4 ? ______ )
2 2 B. a12 ? a3 ? 2a2



D.若 a3 ? a1 ,则 a4 ? a2

【答案】:15 【解析】: S4 ?
1 ? 24 ? 15 1? 2

5.2012 年高考 ( (辽宁文)已知等比数列{an}为递增数列.若 a1>0,且 2(a n+a n+2)=5a )
n+1

,则数列{an}的公比 q = _____________________.

6. (2012 年高考(课标文) )等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn,若 S3+3S2=0,则公比
q =_______

7. (2012 年高考 (江西文) 等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,公比不为 1。 a1 ? 1 , ) 若 且对任意的 【答案】11 【解析】由已知可得公比 q ? ?2, a1 ? 1 ,可得 S5 ?
1 ? (?2)5 ? 11 . 1 ? (?2)
n ? N
*

都有 an? 2 ? an?1 ? 2an ? 0 ,则 S5 ? _________________。

【方法总结】
关于等差(比)数列的基本运算,其实质就是解方程或方程组,需要认真计算,灵 活处理已知条件.容易出现的问题主要有两个方面:一是计算出现失误,特别是 利用因式分解求解方程的根时,不注意对根的符号进行判断;二是不能灵活运用 等差(比)数列的基本性质转化已知条件,导致列出的方程或方程组较为复杂,增 大运算量.

热点二、等比数列性质的应用
1.(2012 年高考(新课标理) )已知 ?an ? 为等比数列, a4 ? a7 ? 2 , a5 a6 ? ?8 ,则
a1 ? a10 ? (

) B. 5 C. ?? D. ??

A. 7

2. (2012 年高考(湖北理) )定义在 (??,0) ? (0, ??) 上的函数 f ( x) ,如果对于任意 给定的等比数列 {an } , { f (an )} 仍是等比数列,则称 f ( x) 为“保等比数列函数”. 现有定义在 (??,0) ? (0, ??) 上的如下函数:① f ( x) ? x 2 ; ③ f ( x) ? | x | ; ( A.① ② ) B.③ ④ C.① ③ D.② ④ ② f ( x) ? 2 x ;

④ f ( x) ? ln | x | .则其中是“保等比数列函数”的 f ( x) 的序号为

3. 2012 年高考 ( (安徽理) 公比为 3 2 等比数列 {an } 的各项都是正数,且 a3a11 ? 16 , ) 则( A. 4 【答案】B
2 【解析】 a3a11 ? 16 ? a7 ? 16 ? a7 ? 4 ? a16 ? a7 ? q9 ? 32 ? log 2 a16 ? 5

) B. 5 C. ? D. ?

4.(2012 年高考(安徽文) )公比为 2 的等比数列{ an } 的各项都是正数,且
a3 a11 =16,则 a5 ? (

) B. 2 C. ? D. ?

A. 1 【答案】A

2 【解析】选 A a3a11 ? 16 ? a7 ? 16 ? a7 ? 4 ? a5 ? 22 ? a5 ? 1

5. (2012 年高考(广东文) )(数列)若等比数列 ?an ? 满足 a2 a4 ? ,则
2 a1a3 a5 ? _________.

1 2

【方法总结】
等比数列与等差数列在定义上只有“一字之差”,它们的通项公式和性质有许多相 似之处,其中等差数列中的“和”“倍数”可以与等比数列中的“积”“幂”相类比.关注 它们之间的异同有助于我们从整体上把握它们,同时也有利于类比思想的推 广. 对于等差数列项的和或等比数列项的积的运算, 若能关注通项公式 an ? f (n) 的下标 n 的大小关系,可简化题目的运算.

【考点剖析】

二.命题方向
1.等比数列的定义、性质、通项公式及前 n 项和公式是高考的热点. 2.客观题突出“小而巧”, 考查学生对基础知识的掌握程度, 主观题考查较为全面, 在考查基本运算、基本概念的基础上,又注重考查函数与方程、等价转化、分类

讨论等思想方法. 3.题型既有选择题、填空题又有解答题,难度中等偏高.

三.规律总结
基础梳理 1.等比数列的定义 如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个 数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母 q 表示. 2.等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,则它的通项 an=a1·n-1. q 3.等比中项 若 G2=a· b(ab≠0),那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项. 4.等比数列的常用性质

5.等比数列的前 n 项和公式 等比数列{an}的公比为 q(q≠0),其前 n 项和为 Sn, 当 q=1 时,Sn=na1; a1?1-qn? a1-anq 当 q≠1 时,Sn= = . 1-q 1-q 一个推导

两个防范 (1)由 an+1=qan,q≠0 并不能立即断言{an}为等比数列,还要验证 a1≠0. (2)在运用等比数列的前 n 项和公式时,必须注意对 q=1 与 q≠1 分类讨论,防 止因忽略 q=1 这一特殊情形导致解题失误. 三种方法 等比数列的判断方法有: an+1 an (1)定义法:若 a =q(q 为非零常数)或 =q (q 为非零常数且 n≥2 且 n∈N*), an-1 n 则{an}是等比数列.
2 (2)中项公式法:在数列{an}中,an≠0 且 an+1=an·n+2(n∈N*),则数列{an}是等 a

比数列. (3)通项公式法: 若数列通项公式可写成 an=c·n(c, 均是不为 0 的常数, q q n∈N*), 则{an}是等比数列.
注:前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列.

【基础练习】
1. (人教 A 版教材习题改编)在等比数列{an}中,如果公比 q<1,那么等比数列 {an}是( ). B.递减数列 D.无法确定数列的增减性

A.递增数列 C.常数列

1 2. (经典习题)已知{an}是等比数列,a2=2,a5= ,则公比 q 等于( 4 1 1 A.-2 B.-2 C.2 D.2 【答案】 【解析】 D a5 1 1 由题意知:q3=a =8,∴q=2.
2

).

3. (经典习题)在等比数列{an}中,a4=4,则 a2·6 等于( a A.4 B.8 C.16 D.32

).

S5 4. (经典习题)设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,8a2+a5=0,则S =(
2

).

A.-11 【答案】 【解析】 A

B.-8

C.5

D.11

设等比数列的首项为 a1,公比为 q.因为 8a2+a5=0,

所以 8a1q+a1q4=0. ∴q3+8=0,∴q=-2,
S5 a1 (1 ? q 5 ) 1? q 1 ? q 5 1 ? (?2)5 ? ? ? ? ? ?11 S2 1? q a1 (1 ? q 2 ) 1 ? q 2 1? 4

6. (教材习题改编)等比数列 {an } 中, a4 ? 4 ,则 a2 a6 等于( A.4 B.8 C.16 D.32

)

【答案】C 【解析】 a2 a6 ? a4 2 ? 16 : 7.(经典习题)已知等比数列 {an } 的前三项依次为 a ? 1, a ? 1, a ? 4 , 则 an = ( ?3? A.4·? ?n ?2? 【答案】C 【解析】 (a ? 1)2 ? (a ? 1)(a ? 4) ? a ? 5 :
a1 ? 4 , q ?

) ?2? B.4·? ?n ?3? ?3? C.4·? ?n-1 ?2? ?2? D.4·? ?n-1 ?3?

3 3 n ?1 , an ? 4( ) 2 2

【名校模拟】

一.基础扎实 1.(长春市实验中学 2012 届高三模拟考试(文))等比数列 {a n } 中,
a1 ? a 2 ? 3, a 2 ? a3 ? 6 ,则 a 7 等于(

) D.243

A.64

B.81

C.128

已知 2. (成都市 2012 届高中毕业班第二次诊断性检测理) 则该数列前 6 项之积为( A. 8 B. 12 C. 32 ) D. 64

是等比数列,



【答案】A 【解析】 依题意得知,
a1a2 a3a4 a5 a6 ? ? a3a4 ? ? 23 ? 8
3

3.(成都市 2012 届高中毕业班第二次诊断性检测文)巳知等比数列
值是( )

中,a3=3,a5=9,则 a1 的

A.1

B.

C.-1

D.

4.(2012 年大连沈阳联合考试第二次模拟试题理)设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 已知数列 ? S n ? 是首项和公比都是 3 的等比数列,则 {an } 的通项公式
an ? ______________.

5. (浙江省 2012 届浙南、浙北部分学校高三第二学期 3 月联考试题理)已知等比数列 {an } 的各项都为正数, 且当 n ? 3 时,a4 ? a2 n ?4 ? 102 n , 则数列 2lg a1 ,2lg a2 , 2lg a3 ,2lg a4 ,
? , 2lg an , ? 的前 n 项和 S n 等于



6.(江西省2012届十所重点中学第二次联考文)已知数列{an}是递增等比数列, a2=2,a4-a3=4,则此数列的公比q=_______ 【答案】2 【解析】由题意 a4 ? a3 ? a2 q 2 ? a2 q ? 2q 2 ? 2q ? 4 ,所以 q ? 2 . 7. (山东省泰安市 2012 届高三第一次模拟考试文)等比数列 ?a n ?中,已知
a1 ? a2 ? 1 , a3 ? a4 ? 1 ,则 a7 ? a8 的值为 2

.

【答案】 :4 【解析】 :令等比数列公比为 q,
q2 ? a3 ? a4 ?2 a1 ? a 2



? a 7 ? a 8 ? (a 3 ? a 4 )q 4 ? 4

二.能力拔高 1.(2012 云南省第一次高中毕业生统一检测复习文)已知 S n 是等比数列 { an } 的 前 n 项和, a1 与 a3 的等差中项等于 15. 如果 S4 ? 120 ,那么 A. 18 B. 25 C. 32 D. 39
S 2012 ? S2009 ?( 32009

)

2. (湖北省八校 2012 届高三第一次联考理)设 {an } 是等比数列, “ a1 ? a2 ? a3 ” 则 是“数列 {an } 是递减数列”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 )

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3. (山东省济南市 2012 届高三 3 月 (二模) 月考文) 在等比数列{an}中,an ? 0 (n

﹡ ∈N ),且 a6 ? a4 ? 24 , a3a5 ? 64 ,则{an}的前 6 项和是

【答案】31
2 【解析】由 a3a5 ? a4 ? 64, an ? 0 可得 a4 ? 8 ,进而得 a6 ? a4 ? 24 ,

即 a4 q 2 ? a4 ? 24 ,解得 q ? 2 ,根据通项公式可得 a1 ? 1 。
1 ? 26 所以 S6 ? ? 31 。 1? 2

4.(唐山市 2011—2012 学年度高三年级第一次模拟考试文)等比数列
1 1 ? ?3 aa ? 1 1 4 q ? 1 , a2 a3 2 ,则 a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? a8 ? ( ,
A. 64 B. 31 C. 32 D. 63

{an }

的公比

)

三.提升自我 1.(2012 年云南省第一次统一检测理)在等比数列 ? a n ? 中, a 6 与 a 7 的等差中项 等于 48 , a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 ? 128 6 . 如果设 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,那么 S n ? A. 5n ? 4 B. 4 n ? 3 C. 3n ? 2 D. 2 n ? 1

2.(湖北八校 2012 高三第二次联考文) 已知 {an } 是等比数列, a2 ? 4 , a5 ? 32 ,
则 a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an an ?1 ? ( )

A. 8(2n ? 1)

8 B. (4n ? 1) 3

C.

16 n (2 ? 1) 3

2 D. (4n ? 1) 3

3.(浙江省温州中学 2012 届高三 10 月月考理)等比数列 {a n } 的公比为 q ,其前

n 项的积为 Tn ,并且满足条件 a1 ? 1 , a99 a100 ? 1 ? 0 ,

a99 ? 1 ? 0 。给出下列结论: a100 ? 1

① 0 ? q ? 1 ;② a99 ? a101 ? 1 ? 0 ,③ T100 的值是 Tn 中最大的;④使 Tn ? 1 成立的最大 自然数 n 等于 198. 其中正确的结论是 .

4.(2011 学年浙江省第二次五校联考理)设公比为正数的等比数列 {an } 的前 n 项 和为 S n ,已知 a3 ? 8, S2 ? 48 ,数列 {bn } 满足 bn ? 4log 2 an . (Ⅰ)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)是否存在 m ? N ? ,使得 若不存在,请说明理由.
bm ? bm?1 是数列 {bn } 中的项?若存在,求出 m 的值; bm?2

5. (北京市西城区 2012 届高三 4 月第一次模拟考试试题理)设等比数列 {an } 的各 项均为正数,公比为 q ,前 n 项和为 S n .若对 ?n ? N* ,有 S2 n ? 3Sn ,则 q 的取值 范围是( A. (0,1] ) B. (0, 2) C. [1, 2) D. (0, 2)

【原创预测】
b 1.已知函数 f ( x) ? log 2 x ,正项等比数列{bn}的公比为 2,若 f (b12b14 ? 20 ) ? 4 .

则 2 f (b11 )? f (b12 )??? f (b20 ) = 【答案】 :8 【解析】 :由题意得, f (b12b14 ?b20 ) ? log 2 (b12b14 ?b20 ) ? log 2 (a15q11?13???19 ) ? 4 , 则 a1q15 ? 2 , 所以 2 f (b11 )? f (b12 ) ??? f (b20 ) ? 2
2
log ( b11b12?b20 ) 2

?2

10 log ( b1 q10?11?12???19 ) 2

? 2log2 8 ? 8

2.在等比数列 {an } 中,若 a4 , a8 是方程 x ? 4 x ? 3 ? 0 的两根,则 a6 的值是(



A.

3

B. ? 3

C. ? 3

D. ?3

3.设 {an } 是公比为 q 的等比数列,令 bn ? an ? 1(n ? 1, 2,?), 若数列{bn } 的连续四 项在集合{-53,-23,19,37,82}中,则 q 等于(
3 4 A. ? 或 ? 4 3 3 2 B. ? 或 ? 2 3

) D. ?
4 3

C. ?

3 2


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