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2015高中数学 第1部分 4.2.1第2课时 直线与圆的位置关系课时达标检测 新人教A版必修2

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【三维设计】2015 高中数学 第 1 部分 4.2.1 第 2 课时 直线与圆的 位置关系课时达标检测 新人教 A 版必修 2
一、选择题 1.若直线 x+y+m=0 与圆 x +y =m 相切,则 m 的值为( A.0 或 2 C.2
2 2 2 2

)

B.0 或 4 D.4

解析:选 C

法一:圆 x +y =m 的圆心坐标为(0,0),半径长 r= m(m>0),由题意得 |m| 2 = m,即 m =2m, 2 又 m>0,所以 m=2. 法二:由?
2

? ?x+y+m=0, ?x +y =m ?
2 2 2

消去 y 并整理,

得 2x +2mx+m -m=0. 因为直线与圆相切,所以上述方程有唯一实数解, 因此 Δ =(2m) -8(m -m)=0,即 m -2m=0, 又 m>0,所以 m=2. 2.过点(1,1)的直线与圆(x-2) +(y-3) =9 相交于 A,B 两点,则|AB|的最小值为 ( ) A.2 3 C.2 5 B.4 D.5
2 2 2 2 2

解析:选 B 当圆心和点(1,1)的连线与 AB 垂直时,弦心距最大,|AB|最小;易知弦心 距的最大值为 ?2-1? +?3-1? = 5,故|AB|的最小值为 2 9-5=4. 3.已知圆 C:(x-a) +(y-2) =4(a>0)及直线 l:x-y+3=0,当直线 l 被圆 C 截得 的弦长为 2 3时,a 等于( A. 2 C. 2-1 ) B.2- 2 D. 2+1
2 2 2 2

|a-2+3| |a+1| 解析:选 C 圆心 C(a,2)到直线 l 的距离 d= = , 2 2 所以?

?|a+1|?2 ?2 3?2 ? +? ? =4, ? 2 ? ? 2 ?

解得 a=-1- 2(舍去),或 a= 2-1. 故选 C. 4.已知圆 C1:(x+1) +(y-1) =1,圆 C2 与圆 C1 关于直线 x-y-1=0 对称,则圆 C2
2 2

的方程为(

)
2 2

A.(x+2) +(y-2) =1 C.(x+2) +(y+2) =1 解析:选 B
2 2

B.(x-2) +(y+2) =1 D.(x-2) +(y-2) =1
2 2

2

2

设点 (x , y) 与圆 C1 的圆心 ( - 1,1) 关于直线 x - y - 1 = 0 对称,则

y-1 ? ?x+1=-1, ?x-1 y+1 ? ? 2 - 2 -1=0,

解得?

? ?x=2, ?y=-2, ?

从而可知圆 C2 的圆心坐标为(2,-2),又知

其半径为 1,故所求圆 C2 的方程为(x-2) +(y+2) =1,故选 B. 5.已知点 P(a,b)(ab≠0)是圆 x +y =r 内的一点,直线 m 是以 P 为中点的弦所在的 直线,直线 l 的方程为 ax+by=r ,那么( A.m∥l 且 l 与圆相交 C.m∥l 且 l 与圆相离 解析:选 C ∵点 P(a,b)在圆内, ∴a +b <r . 又∵kOP= , ∴km=- . 直线 l 的方程为 ax+by=r , ∴kl=- , ∴l∥m.设圆心到直线 l 的距离为 d,
2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

) B.m⊥l 且 l 与圆相切 D.m⊥l 且 l 与圆相离

b a

a b

a b

r2 r2 则 d= 2 > =r,故直线 l 与圆相离. a +b2 r
二、填空题 6.已知圆 C 的半径为 2,圆心在 x 轴的正半轴上,直线 3x+4y+4=0 与圆 C 相切,则 圆 C 的方程为________. |3a+4| 2 2 解析:设圆心为(a,0)(a>0),则 =2,∴a=2,故所求方程为(x-2) +y =4, 5 即 x +y -4x=0. 答案:x +y -4x=0 7.已知两点 A(-2,0),B(0,2),点 C 是圆 x +y -2x=0 上任意一点,则△ABC 的面积 最小值是____________. │1-0+2│ 3 2 解析:直线 AB 的方程为 x-y+2=0,圆心到直线 AB 的距离为 d= = , 2 2
2 2 2 2 2 2

3 2 所以,圆上的点到直线 AB 的最小距离为 -1, 2

S△ABC= ×│AB│×(
答案:3- 2

1 2

3 2 1 3 2 -1)= ×2 2×( -1)=3- 2. 2 2 2

8.已知圆的方程为 x +y +4x-2y-4=0,则 x +y 的最大值为________. 解析:方程 x +y +4x-2y-4=0 可化为(x+2) +(y-1) =9,它 表 示 圆 心 为 A( - 2,1) , 半 径 为 3 的 圆 , 如 右 图 所 示 . x + y = ( ?x-0? +?y-0? ) 表示圆上的点到坐标原点的距离的平方,显 然,连接 OA 并延长交圆于点 B,则|OB| 即 x +y 的最大值,为||OA|+3| =( 5+3) =14 +6 5. 答案:14+6 5 三、解答题 9.已知圆 C:x +(y-1) =5,直线 l:mx-y+1-m=0. (1)求证:对任意 m∈R,直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点; (2)设 l 与圆 C 交于 A,B 两点,若|AB|= 17,求 l 的倾斜角; (3)求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程. 解:(1)证明:由已知直线 l:y-1=m(x-1),知直线 l 恒过定点 P(1,1). ∵1 =1<5,∴P 点在圆 C 内, 所以直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2), 联立方程组
?x +?y-1? =5, ? ? ? ?mx-y+1-m=0,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

消去 y 得

(m +1)x -2m x+m -5=0,x1,x2 是一元二次方程的两个实根, ∵|AB|= 1+m |x1-x2|, ∴ 17= 1+m ·
2 2

16m +20 2 ,∴m =3,m=± 3, 2 1+m

2

π 2π ∴l 的倾斜角为 或 . 3 3 (3)设 M(x,y),∵C(0,1),P(1,1),当 M 与 P 不重合时,|CM| +|PM| =|CP| , ∴x +(y-1) +(x-1) +(y-1) =1.整理得轨迹方程为 x +y -x-2y+1=0(x≠1). 当 M 与 P 重合时,M(1,1)满足上式, 故 M 的轨迹方程为 x +y -x-2y+1=0.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

10.已知⊙O:x +y =1 和定点 A(2,1),由⊙O 外一点 P(a,b)向⊙O 引切线 PQ,切点 为 Q,且满足|PQ|=|PA|. (1)求实数 a,b 间满足的等量关系; (2)求线段 PQ 的最小值. 解:(1)连接 OP, ∵Q 为切点, ∴PQ⊥OQ, 由勾股定理有|PQ| =|OP| -|OQ| . 又∵|PQ|=|PA|, ∴|PQ| =|PA| , 即 a +b -1=(a-2) +(b-1) , 整理,得 2a+b-3=0. (2)由 2a+b-3=0 得 b=-2a+3, ∴|PQ|= a +b -1= a +?-2a+3? -1 = 5a -12a+8=
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

6 2 4 5?a- ? + , 5 5

6 2 5 ∴当 a= 时,|PQ|min= , 5 5 2 5 即线段 PQ 的最小值为 . 5


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