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山东省威海市2016届高三上学期期末考试 数学试题(理)


山东省威海市高三上学期期末考试数学试题(理)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,共 5 页.考试时间 120 分钟.满分 150 分.答题前,考生务必用 0.5 毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在答题纸规定的位 置. 第 I 卷(选择题 共 50 分) 注意事项:每小题选出答案后,用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,

用橡皮擦 干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.i 是虚数单位,复数 A. ?1 ? i

2i ? ?1 ? i ,则 z 的共轭复数是 z B. ?i ? 1 C. i ? 1 D. ?i ? 1

x 2.已知集合 A ? x log 2 ? x ? 4 ? ? 0 , B ? y y ? a ? 1? a ? 0且a ? 1? ,则 CR A ? B=

?

?

?

?

A.

? ?? ?5,

B. ?1 , 4?

C. ?1 , 4? ??5, ? ??

D. ?1 , 4? ? ?5, ? ??

2 2 3. 已知随机变量 ? 服从正态分布 N 2,? ,且函数 f ? x ? ? x ? 2x ? ? ?1 不存在零点的概率为

?

?

0.08,则随机变量 P ? 0 ? ? ? 2? ? A.0.08 B.0.42 C.0.84 D.0.16

4.执行右边的程序框图,若输出 S ? A.6 C.8 B.7 D.9

511 ,则输入 p= 256

5. 设 l , m 是 两 条 不 同 的 直 线 , ? 是 一 个 平 面 , 已 知

m / /? ,则 l ? m是l ? ? 的
A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6. 偶函数 f ? x? ? Asin ?? x ? ? ?? A ? 0,? ? 0, 0 ? ? ? ? ? 的图象向右平移 于原点对称,则 ? 的值可以为 A.1 B.2 C.3 D.4 7.已知双曲线 M :

? 个单位得到的图象关 4

1 y 2 x2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 与抛物线 y ? x 2 有公共焦点 F,F 到 M 的一条渐近线的 2 8 a b
·1·

距离为 3 ,则双曲线方程为

A.

x2 y 2 ? ?1 7 3

B.

y 2 x3 ? ?1 3 7

C.

x2 ? y2 ? 1 3

D. y ?
2

x2 ?1 3

8.已知 f ? x ? ? 2x ,若 p ? f

?

1 ? a?b? ab , q ? f ? ? , r ? ? f ? a ? ? f ? b ? ? ,其中 a ? b ? 0 ,则下列 2 ? 2 ?

?

关系式中正确的是 A. p ? q ? r B. p ? r ? q

C. r ? p ? q

D. q ? p ? r

9.已知直线 l : ax ? y ? 2 ? 0 ? a ? R ? 与圆 M : x2 ? y 2 ? 4 y ? 3 ? 0 的交点为 A、B,点 C 是圆 M 上一 动点,设点 P ? 0, ?1? ,则 PA ? PB ? PC 的最大值为 A.7 B.8 C.10 D.12

uur

uur

uuu r

10.设函数 f ? x ? ? 2 ln x ? A. ? ?

1 2 mx ? nx ,若 x ? 2是f ? x ? 的极大值点,则 m 的取值范围为 2
C.

? 1 ? , ?? ? ? 2 ?

B. ? ?

? 1 ? ,0? ? 2 ?

?0, ???

D. ? ??, ? ? ? ? 0, ?? ?

? ?

1? 2?

第 II 卷(非选择题 共 100 分) 注意事项: 1.请用 0.5 毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在答题纸的指定位置.书写的答案如需改动,要 先划掉原来的答案,然后再写上新答案. 2.不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效.在试题卷上答题无效. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.不等式 x ?1 ? x ? 4 ? 2 的解集为______________.

?x ? y ? 0 ? x?2 y 12.设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ,则 z ? 2 的取值范围为________. ?4 x ? y ? ?6 ?
25 1? ? 2 13.若 ? x ? m ? ? x ? ? 展开式中含 x 的项的系数为 ? ,则 m 的值为_____. 2 x? ?
2 6

14.以下四个命题: ①若命题“ ? p ”与“ p或q ”都是真命题,则命题 q 一定是真命题; ②若 x ? k? ? k ? Z ? ,则 sin x ?

1 2 ? 1? ? 0 ; ? 2 ;③ ?x0 ? R ,使 ln ? x0 sin x
·2·

④由曲线 y ? x, y ?

1 3 , x ? 2 围成的封闭图形的面积为 ? ln 2 . x 2

其中真命题的序号是________(把你认为真命题的序号都填上). 15.把正整数排列成如图甲所示三角形数阵,然后擦去偶数行中的奇数和奇数行中的偶数,得到如图 乙所示三角形数阵,设 aij 为图乙三角形数阵中第 i 行第 j 个数,若 amn ? 2015 ,则实数对 ? m, n ? 为 ________. 三、解答 题:本大 题共 6 小 题,共 75 分.解答 应写出文 字说明, 证明过程 或演算步 骤. 16.(本小题满分 12 分)已知向量 m ? ? cos A,sin B ? , n ? ? cos B, ? sin A ? , m ? n ? ? cos 2C , 且 A,B,C 分别为 ?ABC 的三边 a, b, c 所对的角. (I)求角 C 的大小; (II)若 a ? b ? 2c ,且 ?ABC 的面积为 15 3 ,求 c 边的长.

u r

r

u r r

17. (本小题满分 12 分) 数列 ?an ? 各项均为正数,其中 a1 ? 2, an?1是an与2an ? an?1 的等比中项。 (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)设 bn ?

an 2015 ,Tn为?bn ? 的前 n 项和,求使 Tn ? 成立时 n 的最小值. 2016 ? an ? 1?? an?1 ? 1?

18. (本小题满分 12 分) 某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖,一等奖 500 元,二等奖 200 元, 三等奖 10 元.抽奖规则如下;顾客先从装有 2 个红球、4 个白球的甲箱中随机摸出两球,再从装有 1 个红球、2 个黑球的乙箱随机摸出一球,在摸出的 3 个球中,若都是红球,则获一等奖;若有 2 个红
·3·

球,则获二等奖;若三种颜色各一个,则获三等奖,其它情况不获奖. (I)设某顾客在一次抽奖中所得奖金数为 X,求 X 的分布列和数学期望; (II)若某个时间段有三位顾客参加抽奖,求至多有一位获奖的概率. 19. (本小题满分 12 分) 已知四棱台 ABCD ? A 1B 1C 1D 1 的上下底面分别是边长为 2 和 4 的正方形, AA 1 ? 4且AA 1 ? 底面 ABCD,点 P 为 DD1 的中点. (I)求证: AB1 ? 面 PBC; (II)在 BC 边上找一点 Q,使 PQ//面 A 1 ABB 1 ,并求二面 角

B1 ? PQ ? D 的余弦值.

20. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ? e ? ax .
x

(I)若 f ? x ? 在x ? 0 处的切线过点 ? 2, ?1? ,求 a 的值; (II)讨论函数 f ? x ? 在?1 , ? ?? 上的单调性; (III)令 a ? 1 ,F ? x ? ? xf ? x ? ? x ,若 F ? x1 ? ? F ? x2 ?? x1 ? x2 ? ,证明: x1 ? x2 ? ?2 .
2

x2 y 2 2 21. (本小题满分 14 分)已知椭圆 E : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 离心率为 ,点 P ? 0,1? 在短轴 CD a b 2
上,且 PC ? PD ? ?1 . (I)求椭圆 E 的方程; (II)过点 P 的直线 l 与椭圆 E 交于 A,B 两点. (i)若 PB ?

uuu r uuu r

uur

u r 1 uu AP ,求直线 l 的方程; 2

(ii)在 y 轴上是否存在与点 P 不同的定点 Q,使得 若不存在,请说明理由.

QA QB

?

PA PB

恒成立,若存在,求出点 Q 的坐标,

·4·

·5·

·6·

·7·

·8·

·9·

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