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高中数学必修2知识点归纳


必修 2 知识点归纳
第一章 空间几何体

1 V台体 = h S上 + S上 ? S下 + S下 3
⑸球的表面积和体积:

(

)

1、空间几何体的结构:空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体 ⑴常见的多面体有:棱柱、棱锥、棱台;常见的旋转体有:圆柱、圆锥、圆台、 球。简

单组合体的构成形式: 一种是由简单几何体拼接而成,例如课本图 1.1-11 中(1) (2)物体表示的 几何体; 一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成, 例如课本图 1.1-11 中 (3) (4) 物体表示的几何体。

4 S 球 = 4πR 2,V球 = πR 3 3 .一般地,面积比等于相似比的平方,体积比等于相似
比的立方。

第二章 点、直线、平面之间的位置关系及其论证
1、公理 1:如果一条直线上两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。

α

A

B

l

? A ∈ l, B ∈ l ? l ?α ? ? A ∈α , B ∈α

简单组合体

公理 1 的作用:判断直线是否在平面内 2、公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。

定平面 α ⑵棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公 共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 ⑶棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分,这样 的多面体叫做棱台。 1、空间几何体的三视图和直观图 把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影, 中心投影的投影线交于一点; 把 在一束平行光线照射下的投影叫平行投影,平行投影的投影线是平行的。 (1)定义: 正视图:光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图; 侧视图:光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图; 俯视图:光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。 几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。 (2)三视图中反应的长、宽、高的特点: “长对正” , “高平齐” , “宽相等” 2、空间几何体的直观图(表示空间图形的平面图). 观察者站在某一点观察几 何体,画出的图形. 3、斜二测画法的基本步骤: ①建立适当直角坐标系 xOy (尽可能使更多的点在坐标轴上)
' ' ' ' ' ' ,注意它们确定的平面 ②建立斜坐标系 ∠x O y ,使 ∠x O y =450(或 1350)

C α A

B

若 A,B,C 不共线,则 A,B,C 确

推论 1:过直线的直线外一点有且只有一个平面

A

α

l
若 A ? l ,则点 A 和 l 确定平面 α

推论 2:过两条相交直线有且只有一个平面

A

l
m

α

若 m I n = A ,则 m, n 确定平面 α

推论 3:过两条平行直线有且只有一个平面
α
m n

若 m P n ,则 m, n 确定平面 α

公理 2 及其推论的作用:确定平面;判定多边形是否为平面图形的依据。 3、公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点 的公共直线。
β α
P

·

L

表示水平平面; ③画对应图形, 在已知图形平行于 X 轴的线段, 在直观图中画成平行于 X ‘轴, 且长度保持不变; 在已知图形平行于 Y 轴的线段, 在直观图中画成平行于 Y ‘轴, 且长度变为原来的一半;

P ∈ α , P ∈ β ? α I β = l且P ∈ l

公理 3 作用: (1) 判定两个平面是否相交的依据; (2) 证明点共线、 线共点等。 4、 公理 4: 也叫平行公理, 平行于同一条直线的两条直线平行. a P b, c P b ? a P c 公理 4 作用:证明两直线平行。 5、定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。
a b
1 a a' 2 b' 1 a' 2 b' b

S =2 一般地,原图的面积是其直观图面积的 2 2 倍,即 原图
4、空间几何体的表面积与体积

2 S直观

S = 2π ? r ? l ⑴圆柱侧面积; 侧面
r l r l A S侧=2πr?l AB=2πr B

a P a′, b P b′且∠1与∠2方向相同 ? ∠1=∠2

方向相同则 ∠ 1=∠ 2

方向相反则 ∠ 1+ ∠ 2= 180 °

a P a′, b P b′且∠ 1与∠2方向相反?∠ 1+∠2= 180°

作用:该定理也叫等角定理,可以用来证明空间中的两个角相等。 6、线线位置关系:平行、相交、异面。 a P b ,

⑵圆锥侧面积 : A
l V θ l h l

S 侧面 = π ? r ? l
图中:扇形的半径长为 l, 圆心角为 θ ,弧 AB 的长 L θ?l(注:扇形的弧长等于 圆心角乘以半径 .提醒圆心角 π 为弧度角,例如 60° 弧度, 3 π π 45° 弧度, 90° 弧度等等 ) 4 2

a I b = A,

a, b异面

(1)没有任何公共点的两条直线平行 (2)有一个公共点的两条直线相交 (3)不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线 7、线面位置关系: a a

a αA
b

r B 圆锥的侧面展开图是扇形, 1 扇形面积 S 扇形 弧长 半径 2

α

a
(1)

α
(2)

α

A
(3)

S = π ? r ?l +π ? R ?l ⑶圆台侧面积: 侧面
O1 r h O2 R l

(1)直线在平面内,直线与平面有无数个公共点; a ? α (2)直线和平面平行,直线与平面无任何公共点; a P α
R r d O O1

(3)直线与平面相交,直线与平面有唯一一个公共点; a I α = A 8、面面位置关系:平行、相交。

⑷体积公式:

d= R 2-r2

V柱体 = S ? h



V锥体 =

1 S ?h 3 ;
-1-

9、线面平行: (即直线与平面无任何公共点) ⑴判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平 行。 (只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行就可以)

α Pβ ? α Pβ ? ? ? a P β或 ? ? a Pα a ?α? a ? β?
11、线面垂直: ⑴定义:如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,那么就说这条直线和 这个平面垂直。 ⑵判定: 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直, 则该直线与此平面垂直。

a ?α? ? b ? α ? ? a // α a // b ? ?
证明两直线平行的主要方法是: ①三角形中位线定理:三角形中位线平行并等于底边的一半; ②平行四边形的性质:平行四边形两组对边分别平行; ③线面平行的性质:如果一条直线平行于一个平面,经过这条直线的平面与 这个平面相交,那么这条直线和它们的交线平行;

l⊥m ? ? l⊥n ? ?? l ⊥α m I n = A? m, n ? α ? ?
⑶性质Ⅰ:垂直于同一个平面的两条直线平行。

? ? a?β ??aPb α I β = b? ?
④平行线的传递性: a P b, c P b ? a P c ⑤面面平行的性质:如果一个平面与两个平行平面相交,那么它们的交线平 行;
αPβ

a Pα

a ⊥α? ?? aPb b ⊥α? α ⊥ l? ??α P β β ⊥ l?

性质Ⅱ:垂直于同一直线的两平面平行

? ? α I γ = a? ? a P b β I γ = b? ?
⑥ 垂 直 于 同 一 平 面 的 两 直 线 平 行 ;

12、面面垂直: ⑴定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互 相垂直。

⑵判定:一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面垂直。
l ⊥ β? l ?α?

a ⊥α? ?? aPb b ⊥α?
⑵直线与平面平行的性质:如果一条直线平行于一个平面,经过这条直线的平面 与这个平面相交,那么这条直线和它们的交线平行; (上面的③) 10、面面平行: (即两平面无任何公共点) (1)判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面 平行。

??α ⊥ β

(只需在一个平面内找到另一个平面的垂线就可证明面面

垂直) ⑶性质: 两个平面互相垂直, 则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

a ? α,b ? α ? ? aIb = A ??α P β a P β ,b P β ? ?
判定定理的推论:一个平面内的两条相交直线与另一个平面上的两条直线分 别平行,两平面平行

? α I β = m? ? ??l ⊥ β l ?α ? ? l⊥m ?
α⊥β

a, b ? α ? aIb = A ? ? ??α P β a P a′, b P b′? a′, b′ ? β ? ?
(2)两平面平行的性质: 性质Ⅰ:如果一个平面与两平行平面都相交,那么它们的交线平行;

证明两直线垂直和主要方法: ①利用勾股定理证明两相交直线垂直; ②利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直; ③利用线面垂直的定义证明(特别是证明异面直线垂直) ; ④利用三垂线定理证明两直线垂直( “三垂”指的是“线面垂” “线影垂” , “线斜 P 垂” ) 如图:PO ⊥ α ? OA是PA在平面α 上的射影 ?
斜 α A 影 O a 线

又直线a ? α , 且a ⊥ OA 即:线影垂直 ? 线斜垂直,反之也成立。

? ? a ⊥ PA ?

α Pβ

? ? α I γ = a? ? a P b β I γ = b? ?
性质Ⅱ:平行于同一平面的两平面平行;

④利用圆中直径所对的圆周角是直角,此外还有正方形、菱形对角线互相垂直等 结论。 空间角及空间距离的计算 1.异面直线所成角:使异面直线平移后相交形成的夹角,通常在在两异面直线中 的一条上取一点,过该点作另一条直线平行线,
如图:直线a与b异面,b//b′,直线a与直线b′的夹角为两异 面直线 a与b所成的角,异 面直线所成角取值范围是(0°,90°]

α Pγ ? β Pγ?

2. 斜线与平面成成的角: 斜线与它在平面上的射影成的角。 如图: PA 是平面 α 的 一条斜线,A 为斜足,O 为垂足,OA 叫斜线 PA 在平面 α 上射影, ∠PAO 为线面 角。

??α P β

性质Ⅲ:夹在两平行平面间的平行线段相等;
αPβ

? A, C ∈ α ? ? ? ? AC = BD B, D ∈ β ? AB P CD ? ?

3.二面角:从一条直线出发的两个半平面形成的图形,如图为二面角 α ? l ? β , 二面角的大小指的是二面角的平面角的大小。二面角的平面角分别在两个半平面 内且角的两边与二面角的棱垂直
如图:在二面角α - l - β 中,O棱上一点,OA ? α,OB ? β ,

性质Ⅳ:两平面平行,一平面上的任一条直线与另一个平面平行;

且OA ⊥ l , OB ⊥ l , 则∠AOB为二面角α - l - β的平面角。
用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是:
-2-

①明确构成二面角两个半平面和棱; ②明确二面角的平面角是哪个? 而要想明确二面角的平面角,关键是看该角的两边是否都和棱垂直。 (求空间角的三个步骤是“一找” 、 “二证” 、 “三计算” ) 4.异面直线间的距离:指夹在两异面直线之间的 公垂线段的长度。如图 PQ 是两异面直线间的距离 (异面直线的公垂线是唯一的,指与两异面直线垂直且相交的直线) 5.点到平面的距离:指该点与它在平面上的 射影的连线段的长度。 如图:O 为 P 在平面 α 上的射影, 线段 OP 的长度为点 P 到平面 α 的距离 求法通常有:定义法和等体积法 等体积法:就是将点到平面的距离看成是 三棱锥的一个高。如图在三棱锥 V ? ABC 中有:

x y + = 1(a ≠ 0, b ≠ 0) a b 。
方程中 a , b 分别表示直线的横截距和纵截距, 一般地,在直线方程中,令 y = 0 可求得横截距 a ,令 x = 0 可求得纵截距 b ⑸一般式: Ax + By + C = 0 ( A + B ≠ 0) ,所有直线方程都可化为一般式。
2 2

当 B ≠ 0 ,直线的斜率
x=?
C A

k=?

A B ,当 B = 0 时,直线斜率不存在,方程可化为

7、两直线的位置关系的判定: 当两直线倾斜角相等时,即 α = β 时,两直线平行; 当两直线倾斜角满足 | α ? β |= 90° 时,两直线垂直; 当两直线倾斜角不相当时,两直线相交。 对于直线
l1 : y = k 1 x + b1 , l 2 : y = k 2 x + b 2

VS ? ABC = VA? SBC = VB ? SAC = VC ? SAB

第三章

直线与方程

1.直线方程的概念: 一条直线 l 与一个二元一次方程 F(x, y) = Ax + By +C = 0有如下两个 对应: ①直线 l 上任意一点的坐标 ( x, y ) 都满足方程 F(x, y) = Ax + By + C = 0 ; ②以方程 F(x, y) = Ax + By + C = 0的解为坐标的点 ( x, y ) 都在直线 l 上。 则称方程 F(x, y) = Ax + By + C = 0为直线 l 的方程,直线 l 为方程的直线。 2.直线倾斜角的定义:把直线向上的方向与 x 轴的正方向形成的最小正角叫直线 的倾斜角。 3.直线倾斜角的范围: 0° ≤ α < 180° ,当直线与 x 轴平行或者是重合时,倾斜角 为 0° 4.直线斜率的定义:倾斜角不为 90° 直线,倾斜角的正切值叫直线的斜率。 记作 k = tan α (α ≠ 90°) 当倾斜角为 90° 时直线的斜率不存在。
k= y 2 ? y1 x2 ? x1 ( x1 ≠ x2 )

有:

l1 / / l 2 ?



? k1 = k 2 ? ?b1 ≠ b2 ;⑵ l 和 l 相交 ? k1 ≠ k 2 ;
1 2

⑶ 1 和 2 重合 对于直线

l

l

?

?k1 = k 2 ? ?b1 = b2 ;⑷ l

1

⊥ l 2 ? k1 k 2 = ? 1

.

l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0, l 2 : A2 x + B2 y + C 2 = 0

有:

l1 / / l 2 ?



? A1 B2 = A2 B1 ? l l ? ? B1C 2 ≠ B2 C1 ; (2) 和 相交
1 2

A1 B 2 ≠ A2 B1



⑶ 1 和 2 重合

l

l

?

? A1 B2 = A2 B1 ? ? B1C 2 = B2 C1 ;⑷ l

1

⊥ l 2 ? A1 A2 + B1 B 2 = 0

.

8、交点与距离公式 (1)两直线
l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0, l 2 : A2 x + B2 y + C 2 = 0

的交点坐标需将两直线方

P ( x , y ), P ( x , y ) 5、直线 l 过点 1 1 1 2 2 2 ,则直线的斜率为:

6、直线方程的表示形式: ⑴点斜式:
y ? y0 = k ( x ? x0 )

? A1 x + B1 y + C1 = 0 ? A x + B2 y + C 2 = 0 程组成方程组求解,即: ? 2 ①
当①有唯一解时,两直线相交;当①无解时,两直线平行;当①有无数个解时, 两直线重合。 (2)过两直线
l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0, l 2 : A2 x + B 2 y + C 2 = 0



当斜率不存在时,直线与 x 轴垂直,倾斜角为 90° , 此时直线方程为:
x = x0

,如右图,特别地 y 轴所在

交点的直线系方程为:

直线方程为 x = 0 。 当直线斜率 k = 0 时,直线与 x 轴平行或者是重合 直线方程为:

A1 x + B1 y + C1 + λ ( A2 x + B 2 y + C 2 ) = 0

y = y0 , x 轴所在的直线方程为 y = 0 。

将含有一个参数的直线方程化为直线系方程 的样式就可解决直线恒过定点问题。

⑵斜截式: y = kx + b ( b 为直线在 y 轴上的截距) 当直线过 y 轴上一定点 (0, b) 时,通常设直线方程为: y = kx + b ,例如直 线 l 过定点 (0, 2) ,设 l : y = kx + 2 。 ,通常设直线方程为: x = my + a ,例如 当直线过 x 轴上一定点( a , 0 )时,

(3)两点间距离公式:

P1 P2 =

(x

2

? x1 ) + ( y 2 ? y 1 )
2

2

(4)点

P0 ( x0 , y0 )

到直线 l : Ax + By + c = 0 距离公式:

d=

Ax0 + By0 + C A +B
2 2

(5)两平行线间的距离公式:对于直线
l1 : A x + B y + C1 = 0, l2 : A x + B y + C2 = 0
d = |C ?C |
2 1

直线 l 过定点 (2, 0) ,设 l : x = my + 2
y ? y1 = x ? x1 x 2 ? x1

, 1 与 2 间的距离为:

l

l

A +B
2

2

⑶两点式:

y 2 ? y1
x + y b

? x = x1 + x2 ? ? 2 ? y ? y = 1 + y2 ? 2 , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , M(x, y) 是线段 AB 的中 (6)线段中点坐标公式: ?
点。

⑷截距式: a

= 1( a ≠ 0, b ≠ 0)


-3-

一 般 地 , 问 题 中 出 现 两 个 截 距 时 , 通 常 设 直 线 方 程 为

第四章

圆与方程
P = {M ( x , y ) | MO |= r}

(1) 过圆外一点的切线:①k不存在,验证是否成立;②k 存在,设点斜式方程,
用圆心到该直线距离 = 半径,求解k,得到直线方程【一定有两解】

1、圆的第一定义:到定点的距离等于定长的点的集合.

圆的第二定义:到两个定点的距离之比等于常数(不等于 1)的点的集合。
2 2、圆的标准方程: ( x ? a ) + ( y ? b ) = r ,圆心为 ( a, b) ,半径为 r 。 2 2

( 2 ) 过圆上一点的切线方程:圆 ( x ? a ) + ( y ? b ) = r ,圆上一点为( x ,y 过此点的切线方程为 ( x ? a )( x ? a ) + ( y ? b )( y ? b ) = r
2 2 2 0 2 0 0

0

),则

注意解决直线与圆位置关系问题时, 经常需要设定直线方程, 设直线方程的技巧: ①若直线 l 过轴上的定点 ( a, 0) 则可设直线 l : x = my + a ②若直线过定点为 (0, b ) , 则一般设直线 l : y = kx + b ;③若直线过点
( x0 , y 0 )

3、圆的一般方程: x + y + Dx + Ey + F = 0( D + E ? 4 F > 0) 。
2 2 2 2

(?

D 2

,?

E 2

)

r=

1 2

D + E ? 4F
2 2

,则设直线

l : y ? y 0 = k ( x ? x0 )



圆心为

,半径

。 7、两圆位置关系的判定:设圆心距
d = C1 C 2
(? D 2 ,? E 2

当 D + E ? 4 F = 0 时,方程 x + y + Dx + Ey + F = 0 表示点
2 2 2 2
2 2

)

几何法⑴相离: d > R + r ; ⑵外切: d = R + r ; ⑷内切: d =| R ? r | ; ⑸内含: d <| R ? r | .
外切 : 有一个公共点, 圆心距| C 1 C 2 |= r 1 +r 2

⑶相交: | R ? r |< d < R + r

当 D + E ? 4 F < 0 时,方程 x + y + Dx + Ey + F = 0 不表示任何图形。
2 2

相离 : 无共点,圆心距| C 1 C 2 | >r 1 +r 2

4、点

P (x , y )
0 0 0

(x ? a) 与圆
满足 (

2

+ (y ? b) = r
2 2

2

的位置关系的判定:
r1
2 2

相交 : 有两个公共点,圆心距 |r 1-r 2|< | C 1C 2|= r 1+r 2

C2 r2
C1

(1)当 (2)当 (3)当

P0 ( x0 , y0 ) P0 ( x0 , y0 ) P0 ( x0 , y0 )

x0 ? a ) + ( y0 ? b ) = r
2

时点 P 在圆上; 时点 P 在圆内;

C1

r1

C2 r2
C1 r1 C2 r2

满足 ( x 0 ? a )

+ ( y0 ? b ) < r
2 2

2

圆 C1 :x 2 +y2 +D 1 x+E 1 y+F 1 =0 圆 C2 :x 2 +y2 +D 2 x+E 2 y+F 2 =0

圆 C1 :x 2 +y2 +D1 x+E 1 y+F 1=0 圆 C2 :x 2 +y2 +D2 x+E 2 y+F 2=0

圆 C1:x 2+y2+D 1x+E 1y+F 1=0 圆 C2:x 2+y2+D 2x+E 2y+F 2=0

2 满足 ( x 0 ? a ) + ( y 0 ? b ) > r 时点 P 在圆外; 2

5、求圆方程的方法,主要有两种: (1)待定系数法:使用待定系数法求圆方程的一般步骤: ①根据提设,选择标准方程或一般方程; ②根据条件列出关于 a、b、r 或 D、E、F 的方程组; ③解出 a、b、r 或 D、E、F,代入标准方程或一般方程。 (2)利用三角形外心的定义及其垂径定理求圆心坐标; ①三角形外心的定义 :三角形三边垂直平分线的交点就是外心; ②垂径定理:垂直于弦的半径平分弦并平分弦所对的弧; ③弦的垂直平分线必经过圆心, 因此求出两条弦的垂直平分线方程, 联立解方 程组求 得圆心坐标, 而圆心到圆上任意一点的距离都等于半径, 最终写出圆的标准方程。 6、直线与圆的位置关系的判定: 几何法(1)相切:圆心到直线的距离 d = r ; (2)相交:圆心到直线的距离 d < r ; (3)相离:圆心到直线的距离 d > r 。
l:Ax+By+C=0 d r C(a,b) d= |Ax 0 +By0 +C|

? x 2 + y 2 + D1 x + E1 y + F1 = 0 ? 2 2 代数法;将两圆的方程组成方程组 ? x + y + D2 x + E2 y + F2 = 0
(1)若方程有一个解,两圆相切(内切或外切) ; (2)若方程有两个不同解,两圆相交; (3)若方程有无解,两圆外离或内含 特别地,方程
x + y + D1 x + E1 y + F1 + λ ( x + y + D2 x + E2 y + F ) = 0
2 2 2 2

表示 过 两圆

交点的圆系方程。

? x 2 + y 2 + D1 x + E1 y + F1 = 0 ? 2 2 在这个方程组中 ? x + y + D2 x + E2 y + F2 = 0 用①-②消去平方项后得一个直线 方
l:Ax+By+C=0 d

l:Ax+By+C=0 d r C(a,b)

程,该直线方程过两圆的交点,因此该直线方程也叫两圆的公共弦所在的直线方 程。

A 2+B 2 圆 C:( x-a)2 +(y-b)2 =r2 相切: d=r

A 2 +B 2 圆 C:( x-a)2+(y-b)2=r2 相切: d<r

d=

|Ax 0+By0+C|

r |Ax 0+By0+C| C(a,b) d= A 2+B 2 圆 C:( x-a)2+(y-b)2=r2 相离: d>r

? y = kx + b ? 2 2 x + y + Dx + Ey + F = 0 代数法:将直线方程与圆的方程联立组成方程组 ? ①
(1)若方程①有唯一一个解,直与圆相切; (2)若方程①有唯两个不等实数个解,直线与圆相交; (3) )若方程①有无解,直线与圆相离。 特别地,当直线 l 与圆 C 相离时, P 为圆上 的动点, | PH | 为点 P 到直线 l 的距离,设 d 为圆心到直线 l 的距离,则
| PH | max = d + r , | PH | min = d ? r.

若圆心

C1

到公共弦的距离等于半径 1 ,或者是圆心

r

C2

到公共弦的距离等于半径

r2 ,则两圆相切(外切或者内切) ;
若圆心
C1

到公共弦的距离等于小于 1 ,或者是圆心

r

C2

到公共弦的距离小于半径

r2 ,则两圆相交;
8、坐标法是解决几何问题的重要方法,其步骤是: 第一步: 建立适当的平面直角坐标系, 用坐标和方程表示问题中的几何元素, 将平面几何问题转化为代数问题; 第二步:通过代数运算,解决代数问题; 第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论. 9、 空间直角坐标系 确定空间直角坐标系中点的坐标的知识要点: 1.空间直角坐标系:从空间某一个定点 O 引三条互相垂直且有相同单位长度
-4-

直线与圆相切,求圆的切线方程:一般用圆心到直线的距离等于半径来求解

的数轴 Ox , Oy , Oz ,这样的坐标系叫做空间直角坐标系 O ? xyz ,点 O 叫做坐标原 点, x 轴、 y 轴、 z 轴叫做坐标轴. 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别 称为 xOy 平面、 yOz 平面、 xOz 平面.
如图:边长为 2 的正方体各顶点坐标分别 为:

D ( 0, 0, 0 )

A ( 2, 0 , 0 )

B ( 2, 2, 0 )

请注意:在写空间中点的坐标遇到困难时,通常先写出该点在 xOy 平面上的 射影点的的坐标,然后加上相应的竖坐标即可。 2.右手直角坐标系:在空间直角坐标系中,让右手拇指指向 x 轴的正方向, 食指指向 y 轴的正方向,若中指指向 z 轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角 坐标系. 3.空间直角坐标系中的坐标:对于空间任一点 M,作出 M 点在三条坐标轴 Ox 轴、 Oy 轴、 Oz 轴上的射影,若射影在相应数轴上的坐标依次为 x、y、z,则把 有序实数组(x, y, z)叫做 M 点在此空间直角坐标系中的坐标,记作 M(x, y, z), 其中 x 叫做点 M 的横坐标,y 叫做点 M 的纵坐标,z 叫做点 M 的竖坐标. 4.坐标轴上的点与坐标平面上的点的坐标的特点:
x 轴上的点的坐标的特点: P ( a , 0, 0) ,纵坐标和竖坐标都为零. y

C ( 0, 2, 0 )

A ( 2, 0, 2 ) 1

B ( 2, 2, 2 ) 1

C ( 0, 2, 2 ) D ( 0, 0, 2 ) 1 1

轴上的点的坐标的特点: P (0, a, 0) ,横坐标和竖坐标都为零.

z 轴上的点的坐标的特点: P (0, 0, a ) ,横坐标和纵坐标都为零. xOy 坐标平面内的点的特点: P ( a , b, 0) ) ,竖坐标为零.

xOz 坐标平面内的点的特点: P ( a, 0, b) ,纵坐标为零.
yOz 坐标平面内的点的特点: P (0, a , b ) ,横坐标为零.
x + x2 y1 + y2 z1 + z 2 5. 中点坐标公式 :设A (x1 , y1 , z1) , B( x2 , y2 , z2 )则线段AB的中点坐标为( 1 , , ) 2 2 2

6、空间中两点间距离公式:
P1 P2 =

(x

2

? x1 ) + ( y 2 ? y1 ) + ( z 2 ? z1 )
2 2

2

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