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陕西省西安市第一中学2016届高三上学期12月月考数学(理)试题


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高三数学试卷(理科) 考生注意: 1. 本试卷第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分。考试时间 120 分钟。 2. 请将各题答案填在试卷后面的答题卡上。 3. 本试卷主要考试内容:集合与常用逻辑用语、函数与导数

、不等式、三角函数与解三角形、平面向量, 数列。

第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 1. 设集合 A ? x | x 2 ? 5x ? 14 ? 0 , B ? ?x | x ? 1, x ? N?,则 A ? B 的元素的个数为 A.3 B. 4 C. 5 D. 6

?

?

2.下列函数中,既不是奇函数也不是偶函数的是 A. y ? ln x B. y ? x C. y ? ? x 3 D. y ? e x ? e ? x

3.设向量 a,b 均为单位向量且互相垂直,则(a+2b) ? (a+b)等于 A.2 B.0 C.1 D.-1

4.在 ?ABC 中, a ? 9, b ? 3 3, A ? 120? ,则 sin(? ? B) 等于

A.

1 2

B. ?

1 2

C.

3 2

D. ?

3 2

5.若 cos? ? ?

3 , sin 2? ? 0 ,则 tan? 的值为 3
2 2
C. ? 2 D.

A. ?

2 2

B.

2

6.设等比数列{ an }的前 n 项和为 S n ,若 a3 ? 2a4 ? 2 ,则 S 6 等于

63 31 127 C. D. 2 2 8 a 7.曲线 f ( x) ? x ? 在(1,a+1)处得切线与直线 3x+y=0 垂直,则 a 等于 x 1 5 7 5 A. ? B. C. D. 6 6 2 2
A.31 B.

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? x ? 3 ? 0, ? 8.若 x,y 满足约束条件 ? y ? 2 ? 0 ,则目标函数 z= -7x+y 的最大值为 ?y ? x ?1 ?
A.-5 B.-8 C.-17 D.-19

9.已知函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )(? ? 0,?? ? ? ? 0) 的部分图像如图 所示,则下列判断错误的是 A.函数 f(x)的最小正周期为 2 B.函数 f(x)的值域为

10 ,0) 对称 3 ? D.函数 f(x)的图像向左平移 个单位后得到 y ? A sin ?x 的图像 3
C.函数 f(x)的图像关于 (

10.已知函数 f ?x ? 1? 为奇函数,当 x>1 时, f ?x ? ? ?5x ? 3 ,则 f ?? 1? 的值为
x

A.0

B.2

C.-12

D.12

11..设 ? 为锐角,则“ tan ? ? 2 ”是“ ? A.充分不必要条件 C. 充要条件 12.若直线 y=a 与 y ? A. ?

4 ? tan 2? ? 0 ”的 3

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

ln x ? 1 的图像恰有 3 个不同的交点,则实数 a 的取值范围为 x3

?e2 ? ? ?3?

B. ? ? 0,

? ?

e2 3

? ? ? ?
第 II 卷

C. ? ?

? e2 ? , e? ? 3 ? ?

D.12 ? ,1? ? ?

?1 ? ?e ?

?e2 ? ? ?3?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在答题卡中的横线上。 13.设 3x-1, x, 4x 是等差数列{ an }的前三项,则 a4 = 。

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14.设向量 AB ? (?1,?3) , 15.设 f ?x ? ? ?

BC ? (2 sin ? ,2) ,若 A、B、C 三点共线,则 cos 2? =

.

? x ? 6, x ? a 若 f(3)=10,则实数 a 的取值范围为______. 2 ? x ? 1, x ? a

处。经测量,AB=1040m,BC=500m,则 sin ?BAC 等于_________ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 10 分) 设命题 p:存在 x0 ? (?2,??) ,使得 6 ? x0 ? 5 . 命题 q:对任意 x ? ?0,???, ?

?1 ?? 4 ? ? x ?? ? x ? ? 9 恒成立。 ?x ?? x ?

(1) 写出命题 p 的否定。 (2) 判断命题非 p,p 或 q,p 且 q 的真假,并说明理由。

18.(本小题满分 12 分) 已知 S n 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,且 a4 ? 19, S 7 ? 2a9 ? 55 。 (1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 设 ln bn ? an ln 2 ,求证:数列 ?bn ?为等比数列,并求 ?bn ?的前 n 项和 T n 。

19.(本小题满分 12 分) 在锐角 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 a cos B ? b cos A ? (1) 求 cosC; (2) 若 a=6, ?ABC 的面积为 8 5 ,求 c。

3 5 c sin C 。 5

20.(本小题满分 12 分)
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设函数 f ( x) ? 4 sin(?x ?

?
3

)(? ? 0) 的最小正周期为 ? ,

设向量 a ? (?1, f ( x)),b ? ( f (? x),1), g ( x) ? a ? b. (1) 求函数 f(x)的递增区间; (2) 求函数 g(x)在区间 [

? ?

, ] 上的最大值和最小值; 8 3

(3) 若 x ? [0,2015 ? ] ,求满足 a ? b 的实数 x 的个数。 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? k ( x ? 1) 2 ? ln(x ? 1)(k ? R) 。 (1) 当 k ?

1 时,求函数 f(x)的单调区间与极值; 2

(2) 若 x 轴是曲线 y=f(x)的一条切线,求实数 k 的值。

22.(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? e ?
x

x 。 x ?1 1 ,0 ) ; 2

(1) 求证:函数 f(x)的唯一零点 x 0 ? ( ?

(2) 求证:对任意 ? ? 0 ,存在 ? ? 0 ,使得 f(x)<0 在 (?1, ?? ) 上恒成立; (3) 设 g ( x) ? f ( x) ? x ? ( )

1 2

h ( x ) ?1

,当 x>0 时,比较 g(x)与 h(x)的大小,并加以证明。

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高三数学试卷参考答案(理科) 1. C

A ? ?x | ?2 ? x ? 7?, B ? ?x | x ? 1, x ? N ?, A ? B ={2,3,4,5,6}

2. A 3. D 4. A

A 为非奇非偶函数,B、D 均为偶函数,C 为奇函数。 因为 a ? b ? 1, a ? b ? 0, 所以 a ? 2b a ? b ? 1 ? 2 ? ?1. 由正弦定理得

?

?? ?

a b 1 ? ? sin B ? , 又 00 ? B ? 600 ,? B ? 300 . sin A sin B 2

5. D ? sin 2? ? 2 sin ? cos? ? 0, cos? ? ?

3 6 sin ? , tan? ? ? 2。 ,? sin ? ? ? 3 3 cos?

? ? 1 ?6 ? 8?1 ? ? ? ? 1 ? ? ?2? ? ? ? 63 6. C ? a3 ? 2a4 ? 2,? q ? , a1 ? 8,? S6 ? 。 1 2 4 1? 2
7. B ? f ?x ? ?
'

1 2 x

?

a 1 1 1 ,? f ' ?1? ? ? a ? ,? a ? 。 2 x 2 3 6

8. A 作出可行域可知,当直线 z ? ?7 x ? y 过点 A(1,2)时,取得最大值 - 5. 9. D 由图可知, T ? 2?

2? ? 4 1? ?1? ?? ? ? ? ? 2,?? ? ? ? ,? f ? ? ? A sin? ? ? ? ? 0 , 又 ? ? ? ? ? 0, 2 ? 3 3? ? 3? ?3 ?

?? ? ?

?

?? ? ? ?? , ? f ?x ? ? A sin? ?x ? ?, ? f ?0? ? A sin ? ? ? ? ?2 3 ? A ? 4 ,易知 A、B、C 均正确,而函 3 3? ? ? 3?
? 个单位长度后不能得到 y ? A sin ?x 的图像,故选 D。 3

数 f(x)的图像向左平移 10.C

设 g ?x ? ? f ?x ? 1?, 则 g ?? x ? ? ? g ?x?, g ?? 2? ? f ??1? ? ? g ?2? ? ? f ?3? ? ?12 .

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11.C ? tan 2? ?

2 tan ? 2t 2 ? tan 2? ? ? 2 2 (设 t ? tan? , t ? 0) , 1 . 1 ? tan ? 1 ? t ?t t 4 1 1 3 若t ? 2, 则 ? t ? ? 2 ? ? ,? ? ? tan 2? ? 0. 3 t 2 2

? 1? t 2 ? 0 4 若 ? ? tan 2? ? 0. 则? 2 , 又 t >0, 则 t>2. 3 ?2t ? 3t ? 2 ? 0
12.B 由题可知方程 a ?

ln x ? 1 ln x ? 1 有 3 个不同的解,设 f ? x ? ? , 3 x3 x
2

f ' ?x ? ?

? ? ?3 ln x ? 2? , 令f ' ?x ? ? 0得x ? e 3 , 4 x

f ' ?x ? ? 0得0 ? x ? e 3 ,

?

2

f ' ?x ? ? 0得x ? e 3 ,

?

2

2 ? ? ? ? ?2 ? 3? 3 ? ? 上递减,且 ? f ?x ?在? 0,e ? 上递增, f ?x ?在? e , ?? ? ? ? ? ? ?

? ?2 ? 1 2 1 3? f? e ? ? ? 3 e ,又当 x ? e 时, f ? x ? ? 0; 当 ? ?

? e2 ? 1 0 ? x ? 时, f ? x ? ? 0. 故可作出 y ?| f ?x ? | 的图像,由图像知,则当 a ? ? ? 0, 3 ? ? 时 a ?| f ?x ? | 有 3 解。 e ? ?
7 1 4 3 7 ? 3x ? 1 ? 4 x ? 2 x,? 5 x ? 1, x ? , ? a3 ? , d ? 3x ? ,? a4 ? a3 ? d ? 。 5 5 5 5 5 7 1 7 2 14. 若 A、B、C 三点共线,则 AB//BC,? ?6 sin ? ? ?2,? sin ? ? , cos 2? ? 1 ? 2 sin ? ? 9 3 9
13. 15. (??,3] 题意. 当 a>3 时,f(3)=9 ? 10,不合题意;当 a=3 时,f(3)=10,符合题意;当 a>3 时,f(3)=10,符合 故 a ? 3.

16.

5 AB2 ? AC 2 ? BC 2 AB ? BC ? 1260 m, 则 cos?BAC ? 由题意可得: AC ? 11 13 2 AB ? AC 9

522 ? 632 ? 252 12 5 ? .? sin ?BAC ? 2 ? 52? 63 13 13
17 解: (1)命题 p 的否定为:对任意 x ? (?2,??) , 6? | x0 |? 5 。????????4 分 (2)若 x0 ? (?2,??),6? | x0 |? 6,?命题 p 为假命题。?????????????5 分 对任意 x ? (??,0), ?
2

4 ?1 ?? 4 ? ? x ?? ? x ? ? 5 ? x 2 ? 2 ? 5 ? 2 4 ? 9 , x ?x ?? x ?

当且仅当 x ? 2 时取等号,故命题 q 为真命题。???????????????7 分

? 非 p 为真命题,p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题。?????????????10 分
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解得 ?

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18.解: (1)中可知 ?

?

?S7 ? 7a4 ? 2a9 ? 55 ? 2?a1 ? 8d ? ? 55 ? 13

a1 ? 3d ? 19

?a1 ? 7 ?d ? 4

?an ? 7 ? 4?n ?1? ? 4n ? 3
......................6 分

................................................................

19.解: (1)由 a cos B ? b cos A ?

3 5 c sin C 及正弦定理得: 5 3 5 2 sin C , 5

sin A cos B ? cos A sin B ? sin ? A ? B ? ?

即 sin C ?

2 3 5 2 5 sin C ,? sin C ? 0,? sin C ? ,? C 为锐角,? cos C ? . .......................6 分 3 5 3

(2)? S ?ABC ? 由

1 ab sin C , a ? 6,? 5b ? 8 5 , 得b ? 8 , 2
余 弦 定 理

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? 36 ? 64 ? 2 ? 6 ? 8 ?

2 ? 36, 得c ? 6 .........................12 分 3

20.解: (1)? T ?

2?

? f ( x) ? 4 sin( 2 x ?

? ?
3

? ? ,? ? ? 2 。????????????????????1 分 ) ,令 2 x ?

?
3

? [2k? ?

?
2

,2k? ?

?
2

] ,得 x ? [k? ?

5? ? , k? ? ]( k ? Z ) ,此即为 12 12

f(x)的递增区间。??????????4 分 (2) g ( x) ? ? f (? x) ? f ( x) ? 4 sin( 2 x ?

?
3

) ? 4 sin( ?2 x ?

?
3

)

? 4 sin( 2 x ?

?
3

) ? 4 sin( 2 x ?

?
3

) ? 8 sin 2 x ? cos

?
3

? 4 sin 2 x 。????6 分

? ? ? 2? 2 ? x ? [ , ],? 2 x ? [ , ],? sin 2 x ? [ ,1] , 8 3 4 3 2
? g ( x) max ? 4, g( x) min ? 2 2 。????????????????????8 分
(3)若 a ? b, 则a ? b ? 0,? g ? x ? ? 4 sin 2 x ? 0,? 2 x ? k? , x ?

k? , 2
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又 x ? ?0,2015? ?,? 即 个。 ............12 分 21.解: (1)当 k ?
'

k? ? ?0,2015? ? ,即 k ? ?0,4030 ?, k ? Z ,?k的值有4031 个, 2
x 有 4031

.......................................................................

1 1 2 时, f ?x ? ? ? x ? 1? ? ln? x ? 1?, 2 2

1 x2 ? 2x ?x ? ?1? , f ?x ? ? x ? 1 ? ? x ?1 x ?1
,增区间 令f ' ?x? ? 0, 得x ? 0;令f ' ?x? ? 0, 得 -1 ? x ? 0; 令f ' ?x? ? 0, 得x ? 0.? f ?x ? 的减区间为(-1,0) 为 ?0,??? .? 当 x=0 时,函数 f ?x ? 取得极小值,且极小值为 (2)设切点为 ? x0 ,0?,? f ? x ? ? 2k ? x ? 1? ?
'

1 。...............................6 分 2

1 , x ?1

1 ? ' ?0 ? f ?x0 ? ? 2k ?x0 ? 1? ? ?? x0 ? 1 ? f ' ?x ? ? k ?x ?1?2 ? ln?x ? 1? ? 0 0 0 0 ?

? 2k ?x0 ? 1? ? 1 ?? 2 ?k ?x0 ?1? ? ln?x0 ? 1?

1 ? 1 ? x0 ? 1 ? e 2 ? x0 ? ?1,? ? 1 ? 2ke ? 1,? k ? 2e 。. 2 ?k ? x0 ? 1? ? 2 ?

........................................

............12 分

x 1 ? ex ?1? , x ?1 x ?1 1 x ? 0,? f ?x ? ? 0; 当 x ? ?1时, e ? 0,? x ?1
22.解: (1) f ? x ? ? e ?
x

当 x ? ?1时,f ?x ? ? e ?
' x

1 ? 0,? f ?x ? 为增函数。 ?x ? 1?2
......................4 分

? 1? 1 ? 1 ? ? f ?? ? ? ? 1 ? 0, f ?0? ? 1?函数 f ?x ? 的唯一零点 x0 ? ? ? ,0 ?. e ? 2? ? 2 ?
(2)由(1)知,函数 f ?x ? 的唯一零点 x0 ? ? ?

? 1 ? ,0 ?. ? f ?x0 ? ? 0 。 ? 2 ?

又当 x ? ?1 时, f ?x ? 为增函数,?当 ?1 ? x ? x0 , f ?x ? ? 0 恒成立, 故对任意 ? ? 0, 存在 ? ?

x0

?

? 0, 使得 f ?x ? ? 0在?- 1,?? ? 上恒成立。 .......................8 分 1 ?x ? 0? , x ?1
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(3)? g ? x ? ? f ? x ? ? x ? e ? x ? 1 ?
x

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? g ' ?x ? ? e x ? 1 ?

1 1 ? e0 ? 1 ? ? 0 ,? g ?x ?在?0,??? 上递增, 2 ?x ? 1? ?x ? 1?2
h ? x ??1

?1? ? g ?x ? ? g ?0? ? 1, g ?x ? ? ? ? ?2?
? h?x? ? 1,? g ?x? ? h?x?.

,? h?x ? ? 1 ? log1 g ?x ? ? log1 1 ? 0,
2 2

......................................................

...........................12 分

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