nbhkdz.com冰点文库

平面向量知识点总结及同步练习


沿途教育 第二章 一、向量的基本概念与基本运算
1、数量:只有大小,没有方向的量. 2、有向线段: ① 定义:带有方向的线段(规定了起点和终点的线段)叫做有向线段。 ② .表示:表示有向线段时,要将表示起点的字母写在前面,表示终点的字母写在后面。在 有向线段的终点处画上箭头表示它的方向。 ③ .有向线段包括三要素:起点、方向和长度,知道了有向线段的起点,它的终点就被方向

和长度唯一确定。 ④ 有向线段不等同于向量。二者的区别是:向量可用有向线段来表示,每一条有向线段对 应着一个向量,但每一个向量对应着无数多条有向线段。

平面向量

3、向量的概念:

? ? ? ① 向量:既有大小又有方向的量 向量一般用 a, b , c ……来表示,或用有向线段的起点与终点
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

? ? 的大写字母表示,如: AB 几何表示法 AB , a ;坐标表示法 a ? xi ? yj ? ( x, y)
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

王新敞
奎屯

新疆

? 向量的膜:向量的大小即向量的模(长度) ,记作| AB | 即向量的大小,记作| a |
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

王新敞
奎屯

新疆

注意:向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ? ? ? ? 0 与任意向量平行 零向量 a = 0 ? | ② 零向量: 长度为 0 的向量, 记为 0 , 其方向是任意的,
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

? a |=0 由于 0 的方向是任意的,且规定 0 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线)的
王新敞
奎屯 新疆

问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件. (注意与 0 的区别) ③ 单位向量:模为 1 个单位长度的向量
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

? ? 向量 a0 为单位向量 ? | a0 |=1

王新敞
奎屯

新疆

④ 平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量 任意一组平行向量都可以移到同一直 ? ? 线上 方向相同或相反的向量,称为平行向量 记作 a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量

王新敞
奎屯

新疆

数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在 必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平
1

沿途教育
行”与几何中的“平行”是不一样的.

? ? ⑤ 相等向量:长度相等且方向相同的向量 相等向量经过平移后总可以重合,记为 a ? b 大小
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

? x ? x2 相等,方向相同 ( x1 , y1 ) ? ( x2 , y 2 ) ? ? 1 ? y1 ? y 2

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

二、向量加法。
定义:求两个向量和的运算叫做向量的加法
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

? 设 AB ? a, BC ? b ,则 a + b = AB ? BC = AC

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

? ? ? ? ? (1) 0 ? a ? a ? 0 ? a ; (2)向量加法满足交换律与结合律;
向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的 始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

(2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终 点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法 则.向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加: AB ? BC ? CD ? 但这时必须“首尾相连”.

? PQ ? QR ? AR,

三、向量的减法。
? ? ? ① 相反向量:与 a 长度相等、方向相反的向量,叫做 a 的相反向量 记作 ? a ,零向量的相反
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

向量仍是零向量

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

? ? ② 关于相反向量有: (i) ? (?a ) = a ;

? ? ? ? ? (ii) a +( ? a )=( ? a )+ a = 0 ;
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

? ? ? ? ? ? ? ? ? (iii)若 a 、 b 是互为相反向量,则 a = ? b , b = ? a , a + b = 0 ? ? ? ? ③ 向量减法:向量 a 加上 b 的相反向量叫做 a 与 b 的差,

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

? ? ? ? 记作: a ? b ? a ? (?b ) 求两个向量差的运算,叫做向量的减法
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

? ? ? ? ? ? ④ 作图法: a ? b 可以表示为从 b 的终点指向 a 的终点的向量( a 、 b 有共同起点)

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

2

沿途教育 四、实数与向量的积:
? ? 1、① 实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,记作 λ a ,它的长度与方向规定如下:
? ?

(Ⅰ ) ?a ? ? ? a ;
? ? ? ? (Ⅱ )当 ? ? 0 时,λ a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时,λ a 的方向与 a 的方向相反; ? ? 当 ? ? 0 时, ?a ? 0 ,方向是任意的
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

② 数乘向量满足交换律、结合律与分配律

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

2、两个向量共线定理: ? ? ? ? 向量 b 与非零向量 a 共线 ? 有且只有一个实数 ? ,使得 b = ?a

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

五、平面向量的基本定理:
? ? ? 如果 e1 , e2 是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量 a ,有且只 ? ? ? ? ? 有一对实数 ?1 , ? 2 使: a ? ?1e1 ? ?2 e2 ,其中不共线的向量 e1 , e2 叫做表示这一平面内所有向
量的一组基底 特别注意: (1)向量的加法与减法是互逆运算
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

(2)相等向量与平行向量有区别,向量平行是向量相等的必要条件

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

(3)向量平行与直线平行有区别,直线平行不包括共线(即重合) ,而向量平行则包括共 线(重合)的情况
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

(4)向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置 有关
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

学习本章主要树立数形转化和结合的观点,以数代形,以形观数,用代数的运算处理 几何问题,特别是处理向量的相关位置关系,正确运用共线向量和平面向量的基本定理, 计算向量的模、两点的距离、向量的夹角,判断两向量是否垂直等 由于向量是一新的工具,
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查,是知识的交汇点

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

3

沿途教育
例 1 、给出下列命题: ① 若| a |=| b |,则 a = b ; ② 若 A,B,C,D 是不共线的四点,则 AB ? DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要 条件; ③ 若 a = b , b = c ,则 a = c , ④a = b 的充要条件是| a |=| b |且 a // b ; ⑤ 若 a // b , b // c ,则 a // c , 其中正确的序号是 解:
新疆 源头学子小屋
h t t:p /www.x / j k t .c yg om /w x c /

特级教师 王新敞
wxck @1 t 26 .c o m

新疆 源头学子小屋
h t t:p /www.x / j k t .c yg om /w x c /

特级教师 王新敞
wxck @1 t 26 .c o m

① 不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同. ② 正确.∵ AB ? DC ,∴ | AB |?| DC | 且 AB // DC ,又 A,B,C,D 是不共线的四

点,∴ 四边形 ABCD 为平行四边形;反之,若四边形 ABCD 为平行四边形,则, AB // DC 且 | AB |?| DC | ,因此, AB ? DC . ③ 正确.∵ a = b ,∴ a , b 的长度相等且方向相同;又 b = c ,∴ b , c 的长度相 等且方向相同,∴ a , c 的长度相等且方向相同,故 a = c . ④ 不正确. 当 a // b 且方向相反时, 即使| a |=| b |, 也不能得到 a = b , 故| a |=| b |且 a // b 不是 a = b 的充要条件,而是必要不充分条件. ⑤ 不正确.考虑 b = 0 这种特殊情况. 综上所述,正确命题的序号是② ③ .

例 2 、设 A、B、C、D、O 是平面上的任意五点,试化简: ①AB ? BC ? CD ,②DB ? AC ? BD 解: ③?OA ? OC ? OB ? CO

① 原式= ( AB ? BC) ? CD ? AC ? CD ? AD ② 原式= (DB ? BD) ? AC ? 0 ? AC ? AC ③ 原式= (OB ? OA) ? (?OC ? CO) ? AB ? (OC ? CO) ? AB ? 0 ? AB

4

沿途教育
例 3、设非零向量 a 、 b 不共线, c =k a + b , d = a +k b (k?R),若 c ∥d ,试求 k 解: ∵c ∥d ∴ 由向量共线的充要条件得: c =λ d (λ?R) 即 k a + b =λ( a +k b ) 又∵a 、 b 不共线 ∴ (k?λ) a + (1?λk) b = 0
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

?k ? ? ? 0 ∴ 由平面向量的基本定理 ? ? k ? ?1 ?1 ? k? ? 0

六、平面向量的坐标表示。
1、平面向量的坐标表示:在直角坐标系中,分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量

i , j 作为基底 由平面向量的基本定理知,该平面内的任一向量 a 可表示成 a ? xi ? yj ,由于
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

a 与数对(x,y)是一一对应的,因此把(x,y)叫做向量 a 的坐标,记作 a =(x,y),其中 x 叫作 a 在

x 轴上的坐标,y 叫做在 y 轴上的坐标

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

(1)相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位 置有关
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

2、平面向量的坐标运算: (1) 若 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? (2) 若 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ? ,则 AB ? ? x2 ? x1 , y2 ? y1 ? (3) 若 a =(x,y),则 ? a =( ? x, ? y) (4) 若 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a // b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 (5) 若 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 若 a ? b ,则 x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0

5

沿途教育
3、向量的运算向量的加减法,数与向量的乘积,向量的数量(内积)及其各运算的坐标表 示和性质

运算类型 向 量 的 加 法 向 量 的 减 法 向 量 的 乘 法 向 量 的 数 量 积

几何方法 1 平行四边形法则
王新敞
奎屯 新疆

坐标方法

运算性质
? ? ? ? a ?b ?b ?a

a ? b ? (x1 ? x2 , y1 ? y2 )

2 三角形法则
王新敞
奎屯 新疆

? ? ? ? ? ? (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c )

AB ? BC ? AC

三角形法则

a ? b ? (x1 ? x2 , y1 ? y2 )

? ? ? ? a ? b ? a ? (?b )
AB ? ? BA

OB ? OA ? AB

? a 是一个向量,
满足:
? ? ? >0 时, ? a 与 a 同向; ? ? ? <0 时, ? a 与 a 异向;
? ? ? =0 时, ? a = 0
王新敞
奎屯 新疆

?

?a ? (?x, ?y)

? (?a ) ? (?? )a

?

?

? ? ? (? ? ? )a ? ?a ? ?a

? (a ? b ) ? ?a ? ?b
? ? ? ? a ∥b ? a ? ?b

?

?

?

?

? ? a ? b 是一个数

a ? b ? x1x2 ? y1 y2

? ? ? ? a ?b ? b ?a
? ? ? ? ? ? (?a) ? b ? a ? (?b ) ? ?(a ? b ) ? ? ? ? ? ? ? (a ? b ) ? c ? a ? c ? b ? c
? ? ? a 2 ?| a | 2 , | a |? x 2 ? y 2

? ? ? ? a ? 0 或 b ? 0 时, ? ? a ? b =0
? ? ? ? a ? 0 且 b ? 0 时,

? ? ? ? ?? a ? b ?| a || b | cos ? a, b ?

? ? ? ? | a ? b |?| a || b |

6

沿途教育
例 1 、已知向量 a ? (1, 2), b ? ( x,1), u ? a ? 2b , v ? 2a ? b ,且 u // v ,求实数 x 的值 解: 因为 a ? (1, 2), b ? ( x,1), u ? a ? 2b , v ? 2a ? b 所以 u ? (1, 2) ? 2( x,1) ? (2x ?1, 4) , v ? 2(1, 2) ? ( x,1) ? (2 ? x,3) 又因为 u // v 所以 3(2 x ? 1) ? 4(2 ? x) ? 0 ,即 10 x ? 5 解得 x ?
1 2
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

例 2、已知点 A(4,0), B(4,4),C(2,6) ,试用向量方法求直线 AC 和 OB ( O 为坐标原点)交点 P 的 坐标 解:
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

设 P ( x, y ) ,则 OP ? ( x, y), AP ? ( x ? 4, y) 因为 P 是 AC 与 OB 的交点 所以 P 在直线 AC 上,也在直线 OB 上 即得 OP // OB, AP // AC 由点 A(4,0), B(4,4),C(2,6) 得, AC ? (?2,6), OB ? (4, 4)

?6( x ? 4) ? 2 y ? 0 得方程组 ? ?4 x ? 4 y ? 0 ?x ? 3 解之得 ? ?y ? 3
故直线 AC 与 OB 的交点 P 的坐标为 (3,3)
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

六、平面向量的数量积
1、两个向量的数量积:

b =︱ a ︱· 已知两个非零向量 a 与 b ,它们的夹角为 ? ,则 a · ︱ b ︱cos ?
叫做 a 与 b 的数量积(或内积) 规定 0 ? a ? 0
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

2、向量的投影:︱ b ︱cos ? =

a ?b ∈ R,称为向量 b 在 a 方向上的投影 投影的绝对值称为射 |a|
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

7

沿途教育

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

3、数量积的几何意义: a · b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积 4、向量的模与平方的关系: a ? a ? a 2 ?| a |2 5、乘法公式成立:
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

?a ? b ? ? ?a ? b ? ? a ? b ? a ? a ? b ? ? a ? 2a ? b ? b ? a
2 2 2 2 2

2

?b ; ? 2a ? b ? b
2

2

2

6、平面向量数量积的运算律: ① 交换律成立: a ? b ? b ? a

? ? ? ? ③ 分配律成立: ? a ? b ? ? c ? a ? c ? b ? c ? c ? ? a ? b ? 特别注意: (1)结合律不成立: a ? ? b ? c ? ? ? a ? b ? ? c ;
(3) a ? b =0 不能得到 a = 0 或 b = 0 7、两个向量的数量积的坐标运算:

② 对实数的结合律成立: ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ?b ? ? ? R ?

(2)消去律不成立 a ? b ? a ? c 不能得到 b ? c ?
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

b = x1 x2 ? y1 y2 已知两个向量 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,则 a ·

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

8、 向量的夹角: 已知两个非零向量 a 与 b , 作 OA = a , OB = b ,则∠ AOB= ? ( 0 0 ? ? ? 1800 ) 叫做向量 a 与 b 的夹角 cos ? = cos ? a , b ??
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

a ?b a?b

=

x1 x 2 ? y1 y 2 x1 ? y1 ? x 2 ? y 2
2 2 2 2

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

当且仅当两个非零向量 a 与 b 同方向时,θ=00,当且仅当 a 与 b 反方向时 θ=1800,同时 0 与 其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

9、垂直:如果 a 与 b 的夹角为 900 则称 a 与 b 垂直,记作 a ⊥b 10、两个非零向量垂直的充要条件; ? ? ? ? a ⊥b ? a · b =O ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 平面向量数量积的性质
王新敞
奎屯 新疆

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

8

沿途教育
例 1、 判断下列各命题正确与否: (1) 0 ? a ? 0 ; (2) 0 ? a ? 0 ; (3)若 a ? 0, a ? b ? a ? c ,则 b ? c ; ⑷ 若 a ? b ? a ? c ,则 b ? c 当且仅当 a ? 0 时成立; (5) (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c ) 对任意 a, b , c 向量都成立; (6)对任意向量 a ,有 a 2 ? a
2
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

解:⑴ 错; ⑵ 对; ⑶ 错; ⑷ 错; ⑸ 错;⑹ 对

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

例 2、 已知两单位向量 a 与 b 的夹角为 1200 ,若 c ? 2a ? b , d ? 3b ? a ,试求 c 与 d 的夹角 解: 由题意, a ? b ? 1 ,且 a 与 b 的夹角为 1200 ,
1 所以, a ? b ? a b cos1200 ? ? , 2
c ? c? c? ( 2 a ? b )? ( 2 a ? b? )4a 2 ? 4a ? b ? b 2 ? 7 ,
2

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

?c ? 7,
同理可得? d ? 13 而 c ? d ? (2a ? b ) ? (3b ? a ) ? 7a ? b ? 3b 2 ? 2a 2 ? ? 设 ? 为 c 与 d 的夹角, 则 cos? ?
17 , 2

17 2 7 13

??

17 91 182

17 91 ?? ? ? ? arccos 182

例 3、 已知 a ? ? 4,3? , b ? ? ?1, 2 ? , m ? a ? ?b , n ? 2a ? b ,按下列条件求实数 ? 的值 (1) m ? n ; (2) m // n ; (3) m ? n 解: m ? a ? ?b ? ? 4 ? ? ,3 ? 2? ? , n ? 2a ? b ? ? 7,8?

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

? (1) m ? n ? ?4 ? ? ? ? 7 ? ?3 ? 2? ? ? 8 ? 0 ? ? ? ?

52 ; 9 1 (2) m // n ? ?4 ? ? ? ? 8 ? ?3 ? 2? ? ? 7 ? 0 ? ? ? ? ; 2
9

沿途教育
(3) m ? n ?

?4 ? ? ?2 ? ?3 ? 2? ?2
2 ? 2 11 5
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

? 7 2 ? 8 2 ? 5?2 ? 4? ? 88 ? 0

?? ?

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

习题
2.5 平面向量应用举例

一、选择题
1.一物体受到相互垂直的两个力 f1、f2 的作用,两力大小都为 5 3N,则两个力的合 力的大小为( A.10 3N [答案] C [解析] 根据向量加法的平行四边形法则,合力 f 的大小为 2× 5 3=5 6(N). ) B.0N C.5 6N 5 6 D. 2 N

2.河水的流速为 2m/s,一艘小船想以垂直于河岸方向 10m/s 的速度驶向对岸,则小船 在静水中的速度大小为( A.10m/s [答案] [解析] B 设河水的流速为 v1,小船在静水中的速度为 v2,船的实际速度为 v,则|v1|=2, ) C.4 6m/s D.12m/s

B.2 26m/s

|v|=10,v⊥ v1. ∴ v2=v-v1,v· v1=0, ∴ |v2|= v2-2v· v1+v2 1= 100-0+4 = 104=2 26. 3.(2010· 山东日照一中)已知向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),若|a|=2,|b|=3,a· b=-6, 则 x1+y1 的值为( x2+y2 2 A.3 [答案] [解析] B 因为|a|=2,|b|=3,又 a· b=|a||b|cos〈a,b〉=2× 3× cos〈a,b〉=-6,可得 ) 2 B.-3 5 C.6 5 D.-6

cos〈a,b〉=-1.即 a,b 为共线向量且反向,又|a|=2,|b|=3,所以有 3(x1,y1)=-2(x2,
10

沿途教育
x1+y1 2 2 y2)?x1=-3x2,y1=-3y2,所以 = x2+y2 2 -3(x2+y2) 2 =-3,从而选 B. x2+y2

4.已知一物体在共点力 F1=(lg2,lg2),F2=(lg5,lg2)的作用下产生位移 S=(2lg5,1), 则共点力对物体做的功 W 为( A.lg2 [答案] [解析] 选 D. → → → → 5.在△ ABC 所在的平面内有一点 P,满足PA+PB+PC=AB,则△ PBC 与△ ABC 的面 积之比是( 1 A.3 [答案] C [解析] → +PB → +PC → =AB → ,得PA → +PB → +BA → +PC → =0,即PC → =2AP → ,所以点 P 是 CA 由PA ) 1 B.2 2 C.3 3 D.4 D W=(F1+F2)· S=(lg2+lg5,2lg2)· (2lg5,1)=(1,2lg2)· (2lg5,1)=2lg5+2lg2=2,故 B.lg5 ) C.1 D.2

S 边上的三等分点,如图所示.故 S

△ PBC=PC=2.
AC 3

△ ABC
) D.(5,-10)

6. 点 P 在平面上作匀速直线运动, 速度 v=(4, -3), 设开始时点 P 的坐标为(-10,10), 则 5 秒后点 P 的坐标为(速度单位:m/s,长度单位:m)( A.(-2,4) [答案] C [解析] 5 秒后点 P 的坐标为: B.(-30,25) C.(10,-5)

(-10,10)+5(4,-3)=(10,-5). 7.已知向量 a,e 满足:a≠e,|e|=1,对任意 t∈ R,恒有|a-te|≥|a-e|,则( A.a⊥ e [答案] C [解析] 由条件可知|a-te|2≥|a-e|2 对 t∈ R 恒成立,又∵ |e|=1, B.a⊥ (a-e) C .e ⊥ (a-e) D.(a+e)⊥ (a-e) )

∴ t2-2a· e· t+2a· e-1≥0 对 t∈ R 恒成立, 即 Δ=4(a· e)2-8a· e+4≤0 恒成立.
11

沿途教育
∴ (a· e-1) ≤0 恒成立, 而(a· e-1)2≥0,∴ a· e-1=0. 即 a· e=1=e2,∴ e· (a-e)=0,即 e⊥ (a-e). → |=1,|OB → |= 3,OA →⊥ → ,点 C 在∠ → =mOA →+ 8.已知|OA OB AOB 内,∠ AOC=30° ,设OC → ,则m=( nOB n 1 A.3 [答案] B ) B.3 C.3 3 3 3 D. 2
2

→· → =m|OA → |2+nOA →· → =m, [解析] ∵ OC OA OB →· → =mOA →· → +n· → |2=3n, OC OB OB |OB → → m |OC|· |OA|· cos30° m ∴ =1,∴n =3. 3n=|OC → |· → |OB|· cos60°

二、填空题
9. 已知 a=(1,2), b=(1,1), 且 a 与 a+λb 的夹角为锐角, 则实数 λ 的取值范围是________. [答案] 5 λ>-3且 λ≠0

[解析] ∵ a 与 a+λb 均不是零向量,夹角为锐角, 5 ∴ a· (a+λb)>0,∴ 5+3λ>0,∴ λ>-3. 当 a 与 a+λb 同向时,a+λb=ma(m>0), 即(1+λ,2+λ)=(m,2m). ?1+λ=m ?λ=0 ? ∴ ,得? , ?2+λ=2m ?m=1 5 ∴ λ>- 且 λ≠0. 3 →· → 10. 已知直线 ax+by+c=0 与圆 O: x2+y2=4 相交于 A、 B 两点, 且|AB|=2 3, 则OA OB =________. [答案] -2

[解析] ∵ |AB|=2 3,|OA|=|OB|=2, ∴ ∠ AOB=120° .
12

沿途教育
→· → =|OA → |· → |· ∴ OA OB |OB cos120° =-2.

三、解答题。
11.已知△ ABC 是直角三角形,CA=CB,D 是 CB 的中点,E 是 AB 上的一点,且 AE =2EB. 求证:AD⊥ CE. [证明] 以 C 为原点,CA 所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系.

a? 2 ? ? ?1 设 AC=a,则 A(a,0),B(0,a),D?0,2?,C(0,0),E?3a,3a?. ? ? ? ? a? → ?1 2 ? → =? ?-a,2?,CE ∴ AD =?3a,3a?. ? ? ? ? 1 a2 →· → =-a· ∵ AD CE a + AD⊥ CE. 3 2· 3a=0,∴ 12.△ ABC 是等腰直角三角形,∠ B=90° ,D 是 BC 边的中点,BE⊥ AD,垂足为 E,延 长 BE 交 AC 于 F,连结 DF,求证:∠ ADB=∠ FDC. [证明] 如图,以 B 为原点,BC 所在直线为 x 轴建立直角坐标系,设 A(0,2),C(2,0),

→ =(2,-2) 则 D(1,0),AC

→ =λAC →, 设AF → =BA → +AF → =(0,2)+(2λ,-2λ)=(2λ,2-2λ), 则BF → =(-1,2) 又DA →⊥ → ,∴ →· → =0, 由题设BF DA BF DA 2 ∴ -2λ+2(2-2λ)=0,∴ λ=3. 4 2? 1 2? → =? → =BF → -BD → =? ?3,3?,∴ ?3,3?, ∴ BF DF ? ? ? ? → =(1,0), 又DC

13

沿途教育
∴ cos∠ ADB= →· → →· → DA DB 5 DF DC 5 = , cos∠ FDC= = , → |· →| 5 → |· →| 5 |DA |DB |DF |DC

又∠ ADB、∠ FDC∈ (0,π),∴ ∠ ADB=∠ FDC. 13.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1) (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长; → -tOC → )· → =0,求 t 的值. (2)设实数 t 满足(AB OC [解析] → =(3,5),AC → =(-1,1),则AB → +AC → =(2,6),AB → -AC → =(4,4). (1)由题设知AB

→ +AC → |=2 10,|AB → -AC → |=4 2. 所以|AB 故所求的两条对角线长分别为 4 2和 2 10. → =(-2,-1),AB → -tOC → =(3+2t,5+t). (2)由题设知OC 11 → -tOC → )· → =0,得(3+2t,5+t)· 由(AB OC (-2,-1)=0,从而 5t=-11,所以 t=- 5 . 14.一条宽为 3km 的河,水流速度为 2km/h,在河两岸有两个码头 A、B,已知 AB= 3km,船在水中最大航速为 4km/h,问该船从 A 码头到 B 码头怎样安排航行速度可使它最 快到达彼岸 B 码头?用时多少? [解析] → → 如图所示,设AC为水流速度,AD为航行速度,以 AC 和 AD 为邻边作? ACED

且当 AE 与 AB 重合时能最快到达彼岸.根据题意 AC⊥ AE,在 Rt△ ADE 和? ACED 中,

→ |=|AC → |=2,|AD → |=4,∠ |DE AED=90° . → |= ∴ |AE → |2-|DE → |2=2 3, |AD

1 sin∠ EAD=2,∴ ∠ EAD=30° ,用时 0.5h. 答:船实际航行速度大小为 4km/h,与水流成 120° 角时能最快到达 B 码头,用时半小 时. 1 15.在? ABCD 中,点 M 是 AB 的中点,点 N 在 BD 上,且 BN=3BD,求证:M,N, C 三点共线.

14

沿途教育

→ =BN → -BM →. [证明] MN → =1BA → ,BN → =1BD → =1(BA → +BC → ), 因为BM 2 3 3 → =1BA → +1BC → -1BA → 所以MN 3 3 2 , 1→ 1→ =3BC -6BA. → =BC → -BM → =BC → -1BA →, 由于MC 2 → =3MN → ,即MC →∥ →. 可知MC MN 又因为 MC、MN 有公共点 M,所以 M、N、C 三点共线. 16.如图所示,正方形 ABCD 中,P 为对角线 BD 上的一点,PECF 是矩形,用向量方 法证明 PA=EF.

[分析]

本题所给图形为正方形,故可考虑建立平面直角坐标系,用向量坐标来解决,

→ → 为此只要写出PA和EF的坐标,证明其模相等即可. [证明] 建立如图所示的平面直角坐标系,设正方形的边长为

? ? 2 ? 2 2 ? 2 ? → |=λ(λ>0),则 F? ? λ,0?,P? λ, λ?,E?a, λ?, a,则 A(0,a).设|DP 2 ? 2 ? ?2 ? ?2 ? 2 2 ? → ? 2 2 ? → =? ? λ-a,- λ?,PA 所以EF =?- λ,a- λ?, 2 ? 2 ? ?2 ? 2 → |2=λ2- 2aλ+a2,|PA → |2=λ2- 2aλ+a2,所以|EF → |=|PA → |, 因为|EF 即 PA=EF. 17.如图所示,在△ ABC 中,AB=AC,D 是 BC 的中点,DE⊥ AC,E 是垂足,F 是 DE 的中点,求证 AF⊥ BE.

15

沿途教育

[证明] ∵ AB=AC,且 D 是 BC 的中点, →⊥ → ,∴ →· → =0. ∴ AD BC AD BD →⊥ → ,∴ →· → =0. 又DE AC DE AE → =DC → ,F 是 DE 的中点, ∵ BD 1→ → ∴ EF=-2DE. →· → =(AE → +EF → )· → +DE →) ∴ AF BE (BD →· → + AE →· → + EF →· → + EF →· → = AE →· → + EF →· → + EF →· → = ( AD → + DE → )· →+ = AE BD DE BD DE BD BD DE BD →· → + EF →· → = AD →· → + DE →· → + EF →· → + EF →· → = DE →· → - 1 DE →· → - 1 DE →· → =1 EF BD DE BD BD BD DE DC DC DE 2 2 2 →· → -1DE →· → =1DE →· → -DE → )=1DE → EC → =0. DE DC DE ( DC 2 2 2 · →⊥ → ,∴ ∴ AF BE AF⊥ BE.

平面向量的概念及其线性运算

一、选择题
1.若 O、E、F 是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( A. EF = OF + OE C. EF =- OF + OE B. EF = OF - OE D. EF =- OF - OE )

2.在△ ABC 中,M 为边 BC 上任意一点,N 为 AM 中点,
AN =λ AB +μ AC ,则 λ+μ 的值为(

)

1 A.2

1 B.3
16

沿途教育
1 C.4 D.1 )

3.设 P 是△ AB C 所在平面内的一点, BC + BA =2 BP ,则( A.P、A、B 三点共线 C.P、B 、C 三点共线 B.P、A、C 三点共线 D.以上均不正确

4.已知点 O,N 在△ ABC 所在平面内,且| OA |=| OB |=| OC |, NA + NB + NC =0,则 点 O,N 依次是△ ABC 的( A.重心 外心 C.外心 重心 ) B.重心 D.外心 内心 内心 )

5.如图,已知 AB =a, AC =b, BD =3 DC ,用 a,b 表示 AD ,则 AD =( 3 A.a+4b 1 1 C.4a+4b 1 3 B.4a+4b 3 1 D.4a+4b

6.已知△ ABC 中,点 D 是 BC 的中点,过点 D 的直线分别交直线 AB、AC 于 E、F 两点, 1 4 若 AB =λ AE (λ>0), AC =μ AF (μ>0),则λ+μ的最小值是( A.9 C.5 7 B.2 9 D.2 )

二、 填空题
7.设向量 a,b 满足|a|=2 5,b=(2,1),且 a 与 b 的方向相反,则 a 的坐标为________. 8.设 a,b 是两个不共线的非零向量,若 8a+kb 与 ka+2b 共线,则实数 k=________. 9.如图所示,平面内的两条相交直线 OP1 和 OP2 将该平面分割成四个部分Ⅰ 、Ⅱ 、Ⅲ 、Ⅳ (不 包括边界).若 OP =a OP 1 +b OP 2 ,且点 P 落在第Ⅲ 部分,则实数 a,b 满足 a________0, b________0(用“>”,“<”或“=”填空).

17

沿途教育 三、解答题
2 10.△ ABC 中, AD =3 AB ,DE∥ BC 交 AC 于 E,BC 边上的中线 AM 交 DE 于 N.设 AB = a, AC =b,用 a、b 表示向量 AE 、 BC 、 DE 、 DN 、 AM 、 AN .

11.已知 OB =λ OA +μ OC (λ、μ 为实数),若 A、B、C 三点共线,求证 λ+μ=1.

1 2. 已知△ ABC 中,AB =a,AC =b, 对于平面 ABC 上任意一点 O, 动点 P 满足 OP = OA +λa+λb,则动点 P 的轨迹是什么?其轨迹是否过定点,并说明理由.

平面向量基本定理及坐标表示 一、选择题
1.已知向量 a=(1, k),b=(2,2),且 a+b 与 a 共线,那么 a· b 的值为 ( A.1 C.3 ) B.2 D.4

2.如图,在平行四边形 ABCD 中,E 为 DC 边的中点,且 AB =a, AD =b,则 BE =

( 1 A.b-2a 1 C.a+2b 1 B.b+2a 1 D.a-2b
18

)

沿途教育
3.已知向量 a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若 λ 为实数,(a+λb)∥ c 则 λ=( 1 A.4 C.1 1 B.2 D.2 ) )

1 4.已知向量 a=(1,1-cos θ),b=(1+cos θ,2),且 a∥ b,则锐角 θ 等于( A.30° C.60° B.45° D.75°

5.已知 a,b 是不共线的向量, AB =λa+b, AC =a+μb,μ∈ R,那么 A、B、C 三点共 线的充要条件为( A.λ+μ=2 C.λμ=-1 ) B.λ-μ=1 D.λμ=1

6.在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,m=( 3b-c,cos C), n=(a,cos A ),m ∥ n,则 cos A 的值等于( 3 A. 6 3 C. 3 3 B. 4 3 D. 2 )

二、填空题。
1 1 7.若三点 A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线,则 a+b的值等于________. 8.在△ ABC 中, CA =a, CB =b,M 是 CB 的中点,N 是 AB 的中点,且 CN、AM 交于 点 P,则 AP =_______(用 a,b 表示). 9.已知向量 a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)∥ c,则 m=________.

三、解答题
10.已知向量 a=(1,2),b=(2,3),λ∈ R,若向量 λa+b 与向量 c=(-4,-7)共线, 求 λ.

19

沿途教育
11. 已知 P 为△ ABC 内一点, 且 3 AP +4 BP +5 CP =0.延长 AP 交 BC 于点 D, 若 AB =a,

AC =b,用 a、b 表示向量 AP 、 AD .

12.已知 O 为坐标原点,A(0,2),B(4,6), OM =t1 OA +t2 AB . (1)求点 M 在第二或第三象限的充要条件; (2)求证:当 t1=1 时,不论 t2 为何实数,A、B、M 三点都共线; (3)若 t1=a2,求当 OM ⊥AB 且△ ABM 的面积为 12 时 a 的值.

平面向量的数量积及平面向量的应用 一、选择题
1.若向量 a,b,c 满足 a∥ b 且 a⊥ c,则 c· (a+2b)=( A.4 C.2 π A.-4 π C.4 B.3 D.0 ) π B.6 3π D. 4 ) )

2.若向量 a=(1,2),b=(1,-1),则 2a+b 与 a-b 的夹角等于(

3.已知 a=(1,2),b=(x,4)且 a· b=10,则|a-b|=( A.-10 C.- 5 B.10 D. 5

4.若 a,b,c 均为单位向量,且 a· b=0,(a-c)· (b-c)≤0,则|a+b-c|的最大值为( A. 2 -1 B.1
20

)

沿途教育
C. 2 D.2

5. 已知 a 与 b 均为 单位向量,其夹角为 θ,有下列四个命题 2π p1:|a+b|>1? θ∈ [0, 3 ) π p3:|a-b|>1? θ∈ [0,3) 其中的真命题是( A.p1,p4 C.p2,p3 ) B.p1,p3 D.p2,p4 2π p2:|a+b|>1? θ∈ ( 3 ,π ] π p4:|a-b|>1? θ∈ (3,π]

1 1 6.已知|a|=2|b|≠0,且关于 x 的函数 f(x)=3x3+2|a|x2+a· bx 在 R 上有极值,则 a 与 b 的夹 角范围为( π A.(0,6) π C.(3,π] ) π B.(6,π] π 2π D.(3, 3 ]

二、填空题。
π 7.已知两个单位向量 e1,e2 的夹角为 ,若向量 b1=e1-2e2,b2=3e1+4e2,则 b1· b2= 3 ________. 8.已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量 a+b 与向量 ka-b 垂直,则 k =________. 9.已知|a|=|b|=2,(a+2b)· (a-b)=-2,则 a 与 b 的夹角为____.

三、解答题。
10.已知 a、b、c 是同一平面内的三个向量,其中 a=(1,2). (1)若|c|=2 5,且 c∥ a,求 c 的坐标; 5 (2)若|b|= 2 ,且 a+2b 与 2a-b 垂直,求 a 与 b 的夹角 θ.

21

沿途教育
11.设 a=(1+cos x,1+sin x),b=(1,0),c=(1,2). (1)求证:(a-b)⊥ (a-c); (2)求|a|的最大值,并求此时 x 的值.

AC = CA · CB =k(k∈ 12.在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c.若 AB · R).
(1)判断△ ABC 的形状; (2)若 k=2,求 b 的值.

答案 详解答案 一、选择题 1.解析:由减法的 三角形法则知 EF = OF - OE .答案:B 2.解析:∵ M 为边 BC 上任意一点,∴ 可设 AM =x AB +y AC (x+y=1) . 1 1 1 ∴ N 为 AM 中点,∴AN =2 AM =2x AB +2y AC =λ AB +μ AC . 1 1 ∴ λ+μ=2(x+y)=2.答案:A 3.解析:∵BC + BA =2 BP ,∴BC - BP = BP - BA .即 PC = AP ,∴ P、A、C 三点共 线.答案:B
22

沿途教育
4. 解析: 由| OA |=| OB |=| OC |知, O 为△ ABC 的外心;NA + NB + NC =0, 知, N 为△ ABC 的重心.答案:C 1 1 5. 解析:CB = AB - AC =a-b,又 BD =3 DC ,∴CD =4 CB =4(a-b),∴AD = AC +

CD =b+1(a-b)=1a+3b.答案:B 4 4 4
λ μ 6.解析:由题意得, AB + AC =2 AD =λ AE +μ AF ?AD =2 AE +2 AF ,又 D、E、F λ μ 1 4 λ μ 1 4 5 2λ μ 5 9 在同一条直线上, 可得2+2=1.所以λ+μ=(2+2)(λ+μ)=2+ μ +2λ≥2+2=2, 当且仅当 2λ =μ 时取等号. 答案:D 二、填空题 7.解析:设 a=(x,y),x<0,y<0,则 x -2y=0 且 x2+y2=20,解得 x=4,y=2(舍去), 或者 x=-4,y=-2,即 a=(-4,-2).答案:(-4,-2) 8.解析:因为 8a+kb 与 ka+2b 共线,所以存在实数 λ,使 8a+kb=λ(ka+2b),即(8-λk)a ?8-λk=0, +(k-2λ)b=0.又 a,b 是两个不共线的非零向量,故? 解得 k=± 4.答案:± 4 ?k-2λ=0, 9. 解析:由于点 P 落在第Ⅲ 部分,且 OP =a OP 1 +b OP 2 ,则根据实数与向量的积的定义 及平行四边形法则知 a>0,b<0.答案:> 三、解答题 <

10. 解 :

? DE ∥BC , ? AD 2 AB =3 ?

2 2 ? AE = 3 AC = 3 b , BC = AC - AB = b - a. 由

2 2 1 △ ADE∽ △ ABC,得 DE =3 BC =3(b-a).又 AM 是△ ABC 的中线,DE∥ BC 得 DN =2 DE 1 1 1 = (b-a).又 AM = ( AB + AC )= (a+b). 3 2 2 △ ADN∽ △ ABM? ? 2 1 ?? AN = AM = (a+b). 2 3 3 AD = AB ? 3 ? 11.证明 :∵OB =λ OA +μ OC ∴AB = OB - OA =(λ-1) OA +μ OC CB = OB - OC = λ-1 μ λ OA +(μ-1) OC 又∵ A、B、C 三点共线∴AB =k CB 即 λ = =k∴ λ+μ=1. μ-1
23

沿途教育
12.解:依 题意,由 OP = OA +λa+λb ,得 OP - OA =λ(a+b), =λ( AB + AC ).如图,以 AB,AC 为邻边作平行四边形 ABDC, 线交于 O,则 AP =λ AD , ∴ A、P、D 三点共线,即 P 点的轨 迹是 AD 所在的直线,由图可知 P 点轨迹必过△ ABC 边 BC 的中点. 详解答案 即 AP 对 角

一、选择题 1.解析:依题意得 a+b=(3,k+2).由 a+b 与 a 共线,得 1× (k+2)-3× k=0,由此解得 k=1,a· b=2+2k=4.答案:D 1 1 2.解析: BE = BA + AD + DE =-a+b+2a=b-2a.答案:A 1 3.解析:可得 a+λb=(1+λ,2),由(a+λb)∥ c 得 (1+λ)×4-3× 2=0,∴ λ=2答案:B 1 1 2 4.解析:∵ a∥ b,∴ (1-cos θ)(1+cos θ)=2.即 sin2θ=2,又∵ θ 为锐角,∴ sin θ= 2 ,θ= 45° .答案:B 5.解析:∵AB =λa+b, AC =a+μb,且 A、B、C 三点共线.∴ 存在实数 m,使 AB = ?λ=m ? m AC ,即 λa+b=m(a+μb)∴ ,∴ λμ=1.答案:D ?1=mμ 6.解析:m∥ n?( 3b-c)cos A-acos C=0,再由正弦定理得 3sin BcosA=sin Ccos A 3 +cos Csin A? 3sin Bcos A=sin(C+A)=sin B,即 cos A= 3 .答案:C 二、填空题 7.解析: AB =(a-2,-2), AC =(-2,b-2),依题意,有(a-2)(b-2)-4=0,即 ab 1 1 1 1 -2a-2b=0,所以a +b=2.答案:2 2 2 1 CA CB 8.解析:如图所示, AP = AC + CP =- CA +3 CN =- CA +3 × + )=- CA + 2( 1 CA 1 CB 2 CA 1 CB 2 1 2 1 + =- + =- a + b. 答案:- 3 3 3 3 3 3 3a+3b 9.解析:由已知 a+b=(1,m-1),c=(-1,2), 由(a+b)∥ c 得 1× 2-(m-1)× (-1)=m+1=0,所以 m=-1.
24

沿途教育
答案:-1 三、解答题 10.解:λa+b=(λ+2,2λ+3),又向量 λa+b 与向量 c=(-4,-7)共线,所以-7(λ+2)- (-4)(2λ+3)=0,解得 λ=2. 11.解 :∵BP = AP - AB = AP -a,CP = AP - AC = AP -b,又 3 AP +4 BP +5 CP 1 5 =0,∴ 3 AP +4( AP -a)+5( AP -b)=0,化简,得 AP =3a+12b.设 AD =t AP (t∈ R), 1 5 则 AD =3ta+12tb.① 又设 BD =k BC (k∈ R),由 BC = AC - AB =b-a,得
BD =k(b-a).而 AD = AB + BD =a+ BD ,∴AD =a+k(b-a)=(1-k)a+kb.②

1 5 4 由① ② ,得3t=1-k,12t=k 解得 t=3. 4 5 代入① ,有 AD =9a+9b. 12.解:(1) OM =t1 OA +t2 AB =t1(0,2)+t2(4,4)=(4t2,2t1+4t2). 当点 M 在第二或第三象限时,有 4t2<0,2t1+4t2≠0 故所求的充要条件为 t2<0 且 t1+2t2≠0. (2)证明:当 t1=1 时,由(1)知 OM =(4t2,4t2+2). ∵AB = OB - OA =(4,4),
AM = OM - OA =(4t2,4t2)=t2(4,4)=t2 AB ,

∴ 不论 t2 为何实数,A、B、M 三点共线. (3)当 t1=a2 时, OM =(4t2,4t2+2a2). 又∵AB =(4,4), OM ⊥AB , 1 ∴ 4t2× 4+(4t2+2a2)×4=0,∴ t2=- a2. 4 ∴OM =(-a2,a2). 又∵ | AB |=4 2, 点 M 到直线 AB:x-y+2=0 的距离 d= |-a2-a2+2| = 2|a2-1|. 2
25

沿途教育
∵ S△ ABM=12, 1 1 AB |· ∴ | d = 4 2× 2|a2-1|=12,解得 a=± 2,故所求 a 的值为± 2. 2 2× 详解答案

一、选择题 1.解析:由 a∥ b 及 a⊥ c ,得 b⊥ c, 则 c· (a+2b)=c· a+2c· b=0. 答案:D 2.解析:2a+b=(3,3),a-b=(0,3),则 cos〈2a+b,a-b〉= π 故夹角为4. 答案:C 3.解析:因为 a· b=10,所以 x+8=10,x=2,所以 a-b=(-1,-2),故|a-b|= 5. 答案:D 4.解析:由已知条件,向量 a,b,c 都是单位向量可以求出,a2=1,b2=1,c2=1, 由 a· b=0,及(a-c)(b-c)≤0,可以知道,(a+b)·c≥c2=1,因为|a+b-c|2= a2+b2+c2+2a· b-2a· c-2b· c, 所以有|a+b-c|2=3-2(a· c+b·c)≤1, 故|a+b-c|≤1. 答案:B 5.解析:由|a+b|>1 可得:a2+2a· b+b2>1,∵ |a|= 1, 1 2π 2π 1 |b|=1,∴ a· b>-2.故 θ∈ [0, 3 ).当 θ∈ [0, 3 )时,a· b>- 2,|a+b|2=a2+2a· b+b2>1,即|a +b|>1;由|a-b|>1 可得:a2-2a· b+b2>1,∵ |a|=1,|b|=1, 1 π ∴ a· b<2.故 θ∈ (3,π],反之也成立. 答案:A 1 1 6.解析:f( x)=3x3+2|a|x2+a· bx 在 R 上有极值,即 f′(x)=x2+|a|x+a· b=0 有两个不同的 实数解, 1 故 Δ=|a|2-4a· b>0?cos〈a,b〉<2,又〈a,b 〉∈ [0,π],
26

+ - 9 2 = =2, |2a+b|· |a-b| 3 2× 3

沿途教育
π 所以〈a,b〉∈ (3,π]. 答案:C 二、填空题 1 7. 解析: 由题设知|e1|=|e2|=1, 且 e1· e2=2, 所以 b1· b2=(e1-2e2)· (3e1+4e2)=3e2 1-2e1· e2 1 -8e2 2=3-2× 2-8=-6 答案:-6 8.解析:∵ a+b 与 ka-b 垂直, ∴ (a+b)· (ka-b)=0, 化简得(k-1)(a· b+1)=0,根据 a、b 向量不共线,且均为单位向量得 a· b+1≠0,得 k -1= 0,即 k=1. 答案:1 a· b 2 1 9.解析:由|a|=|b|=2,(a+2b)(a-b)=-2,得 a· b=2,cos〈a,b〉=|a||b|=2× = 2 2,所 以〈a,b〉=60° . π 答案:3 三、解答题 10.解:(1)设 c=(x,y),由 c∥ a 和|c|= 2 5可得 y-2· x=0 ?1· ?x=2 ?x=-2 ? ? ,∴ 或? , ?x2+y2=20 ?y=4 ?y=-4 ∴ c=(2,4)或 c=(-2,- 4). (2)∵ (a+2b)⊥ (2a-b),∴ (a+2b)· (2a-b)=0, 即 2a2+3a· b-2b2=0. ∴ 2|a|2+3a· b-2|b|2=0. 5 5 ∴ 2× 5+3a· b-2× a· b=-2. 4=0,∴ a· b ∴ cos θ=|a||b|= 5 -2 5 5·2 =-1.

∵ θ∈ [0,π],∴ θ=π. 11. 解:(1)证明:a-b=(cos x,1+sin x),
27

沿途教育
a-c=(cos x,sin x-1), (a-b)· (a-c)=(cos x,1+sin x)· (cos x,sin x-1)=cos2x+sin2x-1=0. ∴ (a-b)⊥ (a-c). (2)|a|= = = 3+ + + π +4≤ 3+2 2= 2+1. + +

3+2 2s

π π 当 sin(x+4)=1,即 x=4+2kπ(k∈ Z)时,|a|有最大值 2+1.

AC =cbcos A, CA · CB =bacos C, 12.解:(1)∵AB ·
∴bccos A=abcos C, 根据正弦定理,得 sin Ccos A=sin A cos C, 即 sin Acos C-cos Asin C=0,sin(A-C)=0, ∴ ∠ A=∠ C,即 a=c. 则△ ABC 为等腰三角形. (2)由(1)知 a=c,由余弦定理,得 b2+c2-a2 b2 AC =bccos A=bc· AB · =2. 2bc AC =k=2,即b2=2,解得 b=2. AB · 2

28


第二章平面向量知识点总结与单元复习题

第二章平面向量知识点总结与单元复习题_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修4第二章平面向量知识点总结与单元复习题 (有答案,题目比较简单,适合基础较差的学生)第...

平面向量知识点总结及练习

平面向量知识点总结及练习_数学_高中教育_教育专区。平面向量一.向量有关概念: 1.向量的概念:既有大小又有方向的量,注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来...

2013年高考——平面向量知识点总结及训练题

2013年高考——平面向量知识点总结及训练题_高考_高中教育_教育专区。2013年高考——平面向量知识点总结及训练题温州中学数学教研组 2013 年高考总复习—— 平面向量...

平面向量知识点总结与训练

平面向量知识点总结训练_高二数学_数学_高中教育_教育专区。好 第二章 平面向量知识点归纳 一. 向量的基本概念与基本运算新疆源头学子 小屋 http://www.xjkt...

平面向量知识点归纳与练习(内含答案)

平面向量知识点归纳练习(内含答案)_管理学_高等教育_教育专区。平面向量一:知识框架图; 二、详细知识要点讲解; 重点知识回顾 1.向量的概念:既有大小又有方向的...

平面向量复习基本知识点及结论总结

平面向量复习基本知识点及结论总结_数学_高中教育_教育专区。平面向量复习 1、向量有关概念: (1)向量的概念:既有大小又有方向的量,注意向量和数量的区别。 不能...

高中数学平面向量知识点总结及常见题型

高中数学平面向量知识点总结及常见题型_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档高中数学平面向量知识点总结及常见题型_数学_高中教育_教育专区。...

平面向量知识点总结

平面向量知识点总结_数学_高中教育_教育专区。平面向量基础知识复习 平面向量知识点小结一、向量的基本概念 1.向量的概念: 既有大小又有方向的量, 注意向量和数量...

平面向量知识点归纳与练习(内含答案) (2)

平面向量知识点归纳练习(内含答案) (2) 隐藏>> 平面向量一:知识框架图; 详细知识要点讲解; 重点知识回顾 1.向量的概念:既有大小又有方向的量叫向量,有二个...

平面向量知识点总结及习题

平面向量知识点总结及习题_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 平面向量知识点总结及习题_数学_高中教育_教育专区。高中数学平面向量知识点...