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河南省2016届中考数学模拟示范题一(含解析)


河南省 2016 届中考数学模拟示范题一
一、选择题:每小题 3 分,共 24 分.下列各小题均有四个答案,其中只有一个是正确的,将正确答 案的代号字母填入题后括号内. 1. 的绝对值是( )

A. B. C. D. 2.如图,下列选项中不是正六棱柱三视图的是(



A.

B.

/>
C.

D.

3.某学习小组对 20 名男生 60 秒跳绳的成绩进行统计,其结果如下表所示:这 20 个数据的平均数 和众数分别是( ) 跳绳的成绩(个) 130 135 140 145 150 人数(人) 1 3 11 3 2 A.140,3 B.140.5,140 C.140,135 D.46.83,140

4.不等式组:

的解集用数轴表示为(



A.

B.

C.

D.

5.如图所示的是 A、B、C、D 三点,按如下步骤作图:①先分别以 A、B 两点为圆心,以大于 AB 的 长为半径作弧,两弧相交于 M、N 两点,作直线 MN;②再分别以 B、C 两点为圆心,以大于 的长 为半径作弧,两弧相交于 G、H 两点,作直线 GH,GH 与 MN 交于点 P,若∠BAC=66°,则∠BPC 等于 ( )

A.100° B.120° C.132° D.140° 6.如图,D、E 分别是 AC 和 AB 上的点,AD=DC=4,DE=3,DE∥BC,∠C=90°,将△ADE 沿着 AB 边向 右平移,当点 D 落在 BC 上时,平移的距离为( )

1

A.3 B.4 C.5 D.6 2 7.已知 y=ax +bx 的图象如图所示,则 y=ax﹣b 的图象一定过(



A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限 8.为了鼓励市民节约用电,某市对居民用电实行“阶梯收费”(总电费=第一阶梯电费+第二阶梯电 费).规定:用电量不超过 200 度按第一阶梯电价收费,超过 200 度的部分按第二阶梯电价收费.如 图是张磊家 2015 年 9 月和 10 月所交电费的收据,则该市规定的第一阶梯电价和第二阶梯电价分别 为每度( )

A.0.5 元、0.6 元

B.0.4 元、0.5 元

C.0.3 元、0.4 元

D.0.6 元、0.7 元

二、填空题:每小题 3 分,共 21 分. 9.计算:﹣2 +| ﹣4|+( ) = . ﹣2 10.某种原子直径为 1.2×10 纳米,把这个数化为小数是 纳米. 11.如图,AB 是⊙O 的直径,C、D 是⊙O 上两点,CD⊥AB,若∠DAB=65°,则∠OCD=
2 ﹣1



12.甲、乙、丙三人玩“丢飞碟”游戏,飞碟从一人传到另一人记为丢一次,若从乙开始,则丢两 次后,飞碟传到丙处的概率为 . 13.观察下列等式:

2

第一个等式是 1+2=3,第二个等式是 2+3=5, 第三个等式是 4+5=9,第四个等式是 8+9=17, ?猜想:第 n 个等式是 . 14.如图,在?ABCD 中,AD=2,AB=4,∠A=30°,以点 A 为圆心,AD 的长为半径画弧交 AB 于点 E, 连接 CE,则阴影部分的面积是 (结果保留 π ).

15. 将三角形纸片 (△ABC) 按如图所示的方式折叠, 使点 B 落在边 AC 上, 记为点 B′, 折痕为 EF. 已 知 AB=AC=6, BC=8, 若以点 B′, F, C 为顶点的三角形与△ABC 相似, 那么 BF 的长度是 .

三、解答题:本大题共 8 个小题,共 75 分.

16.先化简,再求值:

,其中 x 满足 x ﹣x﹣1=0.

2

17.如图,平行于 y 轴的直尺(一部分)与双曲线 y= (k≠0)(x>0)相交于点 A、C,与 x 轴相 交于点 B、D,连接 AC.已知点 A、B 的刻度分别为 5,2(单位:cm),直尺的宽度为 2cm,OB=2cm. (1)求 k 的值; (2)求经过 A、C 两点的直线的解析式; (3)连接 OA、OC,求△OAC 的面积.

18.“你记得父母的生日吗?”这是我校在九年级学生中开展主题为“感恩”教育时设置的一个问 题,有以下四个选项:A.父母生日都记得;B.只记得母亲生日;C.只记得父亲生日;D.父母生 日都不记得.在随机调查了(1)班和(2)班各 50 名学生后,根据相关数据绘出如图所示的统计图.

3

(1)补全频数分布直方图; (2)据此推算,九年级共 900 名学生中,“父母生日都不记得”的学生共多少名? (3)若两个班中“只记得母亲生日”的学生占 22%,则(2)班“只记得母亲生日”的学生所占百 分比是多少? 19. 如图, 李明在大楼 27 米高 (即 PH=27 米) 的窗口 P 处进行观测, 测得山坡上 A 处的俯角∠QPA=15°, 山脚 B 处的俯角∠QPB=60°,已知该山坡的坡度 i(即 tan∠ABC)为 1: 同一个平面内.点 H、B、C 在同一条直线上,且 PH⊥HC. (1)山坡坡角(即∠ABC)的度数等于 度; (2)求 AB 的长(结果保留根号). ,点 P、H、B、C、A 在

20.如图,AB 是⊙O 的直径,AC、BC 是⊙O 的弦,AD∥BC,且∠DCA=∠B. (1)求证:DC 与⊙O 相切; (2)若 sinB= ,AB=5,求 AD 的长.

21.随着大陆惠及台胞政策措施的落实,台湾水果进入了大陆市场.一水果经销商购进了 A,B 两种 台湾水果各 10 箱,分配给他的甲、乙两个零售店(分别简称甲店、乙店)销售,预计每箱水果的盈 利情况如下表:有两种配货方案(整箱配货): A 种水果/箱 B 种水果/箱 甲店 11 元 17 元 乙店 9元 13 元 方案一:甲、乙两店各配货 10 箱,其中 A 种水果两店各 5 箱,B 种水果两店各 5 箱; 方案二:按照甲、乙两店盈利相同配货,其中 A 种水果甲店 箱,乙店 箱; B 种水果甲店 箱,乙店 箱. (1)如果按照方案一配货,请你计算出经销商能盈利多少元; (2)请你将方案二填写完整(只写一种情况即可),并根据你填写的方案二与方案一作比较,哪种

4

方案盈利较多; (3)在甲、乙两店各配货 10 箱,且保证乙店盈利不少于 100 元的条件下,请你设计出使水果经销 商盈利最大的配货方案,并求出最大盈利为多少? 22.已知如图 1、2,D 是△ABC 的 BC 边上的中点,DE⊥AB 于 E、DF⊥AC 于 F,且 BE=CF,点 M、N 分 别是 AE、DE 上的点,AN⊥FM 于 G (1)如图 1,当∠BAC=90°时; ①求证:四边形 AEDF 是正方形; ②试问 AN 与 FM 之间的数量关系与四边形 AEDF 的两对角线的数量关系相同吗?请证明你的结论; (2)如图 2,当∠BAC≠90°,且 AF:DF=2:1 时,求 AN:FM 的值; (3)根据(1)中②和(2)的结论或求解过程,在一般情况下(即除去条件:“∠BAC﹣90°,AF: DF=2:1”,其他条件不变),问 AN 与 FM 之间的数量关系有何规律?直接用文字说明或用等式表示 (不证明).

23.如图,在平面直角坐标系中,点 P 从原点 O 出发,沿 x 轴向右以每秒一个单位长度的速度运动 2 t 秒(t>0),抛物线 y=﹣x +bx+c 经过点 O 和点 P. (1)求 c、b 的值.(可以用含有 t 的代数式表示) 2 (2)抛物线 y=﹣x +bx+c 与直线 x=1 和 x=5 分别交于 M、N 两点当 t>1 时, ①在点 P 的运动过程中,你认为 sin∠MPO 的大小是否会变化?若变化,请说明理由;若不变,求出 sin∠MPO 的值. ②求△MPN 的面积 S 与 t 的函数关系式. ③是否存在这样的 t 值,使得 MP∥ON?如果存在,求出 t 的值;如果不存在,请说明理由.

2016 年河南省中考数学模拟示范卷(1) 参考答案与试题解析 一、选择题:每小题 3 分,共 24 分.下列各小题均有四个答案,其中只有一个是正确的,将正确答

5

案的代号字母填入题后括号内. 1. 的绝对值是( )

A. B. C. D. 【考点】绝对值. 【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解.第一步列出绝对值的表达式;第二步根据绝对值定 义去掉这个绝对值的符号. 【解答】解:|﹣ |= . 故选 C. 【点评】此题考查了绝对值的性质,要求掌握绝对值的性质及其定义,并能熟练运用到实际运算当 中. 绝对值规律总结:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0 的绝对值是 0. 2.如图,下列选项中不是正六棱柱三视图的是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】简单几何体的三视图. 【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看,所得到的图形. 【解答】解:正六棱柱三视图分别为:三个左右相邻的矩形,两个左右相邻的矩形,正六边形.

故选 A. 【点评】本题考查了几何体的三种视图,注意所有的看到的棱都应表现在三视图中. 3.某学习小组对 20 名男生 60 秒跳绳的成绩进行统计,其结果如下表所示:这 20 个数据的平均数 和众数分别是( ) 跳绳的成绩(个) 130 135 140 145 150 人数(人) 1 3 11 3 2 A.140,3 B.140.5,140 C.140,135 D.46.83,140 【考点】众数;加权平均数. 【分析】根据众数的定义找出出现次数最多的数,再根据平均数的计算公式求出平均数即可. 【解答】解:∵140 出现了 11 次,出现的次数最多, ∴众数是 140; 这组数据的平均数是:(130+135×3+140×11+145×3+150×2)÷20=140.5; 故选:B. 【点评】此题考查了众数和平均数,众数是一组数据中出现次数最多的数,注意众数不止一个.

6

4.不等式组:

的解集用数轴表示为(



A.

B.

C



D. 【考点】解一元一次不等式组;在数轴上表示不等式的解集. 【专题】图表型. 【分析】本题应该先对不等式组进行化简,然后在数轴上分别表示出 x 的取值范围,它们相交的地 方就是不等式组的解集.

【解答】解:不等式组可化为: 在数轴上可表示为: 故选 A.



【点评】本题考查不等式组解集的表示方法.把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右 画;<,≤向左画),数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数 与不等式的个数一样, 那么这段就是不等式组的解集. 有几个就要几个. 在表示解集时“≥”, “≤” 要用实心圆点表示;“<”,“>”要用空心圆点表示.

5.如图所示的是 A、B、C、D 三点,按如下步骤作图:①先分别以 A、B 两点为圆心,以大于 AB 的 长为半径作弧,两弧相交于 M、N 两点,作直线 MN;②再分别以 B、C 两点为圆心,以大于 的长 为半径作弧,两弧相交于 G、H 两点,作直线 GH,GH 与 MN 交于点 P,若∠BAC=66°,则∠BPC 等于 ( )

A.100° B.120° C.132° D.140° 【考点】作图—复杂作图;线段垂直平分线的性质. 【专题】作图题. 【分析】根据基本作图可判断 MN 垂直平分 AB,GH 垂直平分 BC,则点 P 为△ABC 的外心,然后根据 圆周角定理可得到∠BPC=2∠BAC.

7

【解答】解:由作法得 MN 垂直平分 AB,GH 垂直平分 BC, 所以点 P 为△ABC 的外心, 所以∠BPC=2∠BAC=2×66°=132°. 故选 C. 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图:杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图,一般是结合了 几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形 的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作.也考查了线段垂直平分线的性质. 6.如图,D、E 分别是 AC 和 AB 上的点,AD=DC=4,DE=3,DE∥BC,∠C=90°,将△ADE 沿着 AB 边向 右平移,当点 D 落在 BC 上时,平移的距离为( )

A.3 B.4 C.5 【考点】平移的性质.

D.6

【分析】根据勾股定理得到 AE=

=5,由平行线等分线段定理得到 AE=BE=5,根据平移的

性质即可得到结论. 【解答】解:∵∠C=90°,AD=DC=4,DE=3, ∴AE= =5,

∵DE∥BC, ∴AE=BE=5, ∴当点 D 落在 BC 上时,平移的距离为 BE=5. 故选 C. 【点评】本题考查了平移的性质,平行线等分线段定理,熟记平移的性质是解题的关键. 7.已知 y=ax +bx 的图象如图所示,则 y=ax﹣b 的图象一定过(
2



A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限 【考点】一次函数图象与系数的关系;二次函数图象与系数的关系. 【分析】由抛物线的开口方向,判断 a 的符号,再由对称轴判定 b 的符号,最后利用一次函数的性 质解答. 【解答】解:∵抛物线的开口向下 ∴a<0

8

∵抛物线的对称轴 x=﹣ >0, ∴b>0 ∴在 y=ax﹣b 中,a<0,﹣b<0 ∴图象经过第二、三、四象限. 故选 C. 【点评】本题主要考查二次函数、一次函数的图象与性质,渗透数形结合的思想. 8.为了鼓励市民节约用电,某市对居民用电实行“阶梯收费”(总电费=第一阶梯电费+第二阶梯电 费).规定:用电量不超过 200 度按第一阶梯电价收费,超过 200 度的部分按第二阶梯电价收费.如 图是张磊家 2015 年 9 月和 10 月所交电费的收据,则该市规定的第一阶梯电价和第二阶梯电价分别 为每度( )

A.0.5 元、0.6 元 B.0.4 元、0.5 元 C.0.3 元、0.4 元 D.0.6 元、0.7 元 【考点】二元一次方程组的应用. 【分析】设第一阶梯电价每度 x 元,第二阶梯电价每度 y 元,分别根据 3 月份和 4 月份的电费收据, 列出方程组,求出 x 和 y 值. 【解答】解:设第一阶梯电价每度 x 元,第二阶梯电价每度 y 元,

由题意可得,



解得



即:第一阶梯电价每度 0.5 元,第二阶梯电价每度 0.6 元. 故选:A. 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用,解答本题的关键是读懂题意,设出未知数,找出合适 的等量关系,列方程组求解. 二、填空题:每小题 3 分,共 21 分. 9.计算:﹣2 +| ﹣4|+( ) = 3﹣2 . 【考点】实数的运算;负整数指数幂. 【专题】计算题;实数. 【分析】原式第一项利用乘方的意义计算,第二项利用绝对值的代数意义化简,最后一项利用负整
2 ﹣1

9

数指数幂法则计算即可得到结果. 【解答】解:原式=﹣4+4﹣2 故答案为:3﹣2 . +3=3﹣2 ,

【点评】此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 10.某种原子直径为 1.2×10 纳米,把这个数化为小数是 0.012 纳米. 【考点】科学记数法—原数. 【分析】利用科学记数法表示比较小的数将用科学记数法表示的数还原即可. ﹣2 【解答】解:∵0.012=1.2×10 , ﹣2 ∴1.2×10 =0.012, 故答案为:0.012 【点评】本题考查了科学记数法的知识,熟练掌握将一个数表示成科学记数法的形式是解题的关键. 11.如图,AB 是⊙O 的直径,C、D 是⊙O 上两点,CD⊥AB,若∠DAB=65°,则∠OCD= 40° .
﹣2

【考点】圆周角定理;垂径定理. 【分析】连接 OD,根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ODC=40°,根据垂径定理得到 答案. 【解答】解:连接 OD, ∵OD=OA,∠DAB=65°, ∴∠ODA=65°, ∵CD⊥AB,∠DAB=65°, ∴∠ADC=25°, ∴∠ODC=40°, ∵CD⊥AB, ∴OD=OC, ∴∠OCD=∠ODC=40°, 故答案为:40°.

【点评】本题考查的是圆周角定理和垂径定理的应用,掌握在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆 周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半和垂直弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条 弧是解题的关键. 12.甲、乙、丙三人玩“丢飞碟”游戏,飞碟从一人传到另一人记为丢一次,若从乙开始,则丢两

10

次后,飞碟传到丙处的概率为 . 【考点】列表法与树状图法. 【分析】先画树状图展示所有 8 种等可能的结果数,再找出丢两次后,飞碟传到丙处的结果数,然 后根据概率公式求解. 【解答】解:画树状图为:

共有 8 种等可能的结果数,其中丢两次后,飞碟传到丙处的结果数为 3, 所以丢两次后,飞碟传到丙处的概率= . 故答案为 . 【点评】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出 n,再从 中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m,求出概率. 13.观察下列等式: 第一个等式是 1+2=3,第二个等式是 2+3=5, 第三个等式是 4+5=9,第四个等式是 8+9=17, n﹣1 n﹣1 n ?猜想:第 n 个等式是 2 +(2 +1)=2 +1 . 【考点】规律型:数字的变化类. 【专题】规律型. 0 0 1 1 1 2 2 2 【分析】第一个等式是 2 +(2 +1)=2 +1,第二个等式是 2 +(2 +1)=2 +1,第三个等式是 2 +(2 +1) 3 3 3 4 n﹣1 n﹣1 n =2 +1,第四个等式是 2 +(2 +1)=2 +1,第 n 个等式是 2 +(2 +1)=2 +1. n﹣1 n﹣1 n 【解答】解:第 n 个等式是 2 +(2 +1)=2 +1. 【点评】解决此类探究性问题,关键在观察、分析已知数据,寻找它们之间的相互联系,探寻其规 律. 14.如图,在?ABCD 中,AD=2,AB=4,∠A=30°,以点 A 为圆心,AD 的长为半径画弧交 AB 于点 E, 连接 CE,则阴影部分的面积是 3﹣ π (结果保留 π ).

【考点】扇形面积的计算;平行四边形的性质. 【专题】压轴题. 【分析】过 D 点作 DF⊥AB 于点 F.可求?ABCD 和△BCE 的高,观察图形可知阴影部分的面积=?ABCD

11

的面积﹣扇形 ADE 的面积﹣△BCE 的面积,计算即可求解. 【解答】解:过 D 点作 DF⊥AB 于点 F. ∵AD=2,AB=4,∠A=30°, ∴DF=AD?sin30°=1,EB=AB﹣AE=2, ∴阴影部分的面积:

4×1﹣ =4﹣ π ﹣1 =3﹣ π .

﹣2×1÷2

故答案为:3﹣ π .

【点评】考查了平行四边形的性质,扇形面积的计算,本题的关键是理解阴影部分的面积=?ABCD 的 面积﹣扇形 ADE 的面积﹣△BCE 的面积. 15. 将三角形纸片 (△ABC) 按如图所示的方式折叠, 使点 B 落在边 AC 上, 记为点 B′, 折痕为 EF. 已 知 AB=AC=6,BC=8,若以点 B′,F,C 为顶点的三角形与△ABC 相似,那么 BF 的长度是 或4 .

【考点】相似三角形的性质;翻折变换(折叠问题). 【专题】分类讨论. 【分析】由于折叠前后的图形不变,要考虑△B′FC 与△ABC 相似时的对应情况,分两种情况讨论. 【解答】解:根据△B′FC 与△ABC 相似时的对应情况,有两种情况: ①△B′FC∽△ABC 时, = , 又因为 AB=AC=6,BC=8,B′F=BF,

所以

=



解得 BF=



12

②△B′CF∽△BCA 时, = , 又因为 AB=AC=6,BC=8,B′F=CF,BF=B′F, 又 BF+FC=8,即 2BF=8, 解得 BF=4. 故 BF 的长度是 或 4.

故答案为: 或 4. 【点评】本题考查翻折变换(折叠问题)和对相似三角形性质的理解:相似三角形对应边成比例. 三、解答题:本大题共 8 个小题,共 75 分.

16.先化简,再求值:

,其中 x 满足 x ﹣x﹣1=0.

2

【考点】分式的化简求值. 【专题】计算题. 【分析】先通分,计算括号里的,再把除法转化成乘法进行约分计算.最后根据化简的结果,可由 2 2 2 x ﹣x﹣1=0,求出 x+1=x ,再把 x =x+1 的值代入计算即可.

【 解 答 】 解 : 原 式 =

×



=
2

×

=



∵x ﹣x﹣1=0, 2 ∴x =x+1,

将 x =x+1 代入化简后的式子得:

2

=

=1.

【点评】本题考查了分式的化简求值.解题的关键是注意对分式的分子、分母因式分解,除法转化 成下乘法.

17.如图,平行于 y 轴的直尺(一部分)与双曲线 y= (k≠0)(x>0)相交于点 A、C,与 x 轴相 交于点 B、D,连接 AC.已知点 A、B 的刻度分别为 5,2(单位:cm),直尺的宽度为 2cm,OB=2cm. (1)求 k 的值; (2)求经过 A、C 两点的直线的解析式; (3)连接 OA、OC,求△OAC 的面积.

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【考点】反比例函数综合题. 【分析】(1)首先求得 A 的坐标,然后利用待定系数法求得函数的解析式; (2)首先求得 C 的坐标,然后利用待定系数法求得直线的解析式; (3)根据 S△OAC=S△AOB+S 梯形 ABDC﹣S△OCD 利用直角三角形和梯形的面积公式求解. 【解答】解:(1)∵AB=5﹣2=3cm,OB=2cm, ∴A 的坐标是(2,3), 代入 y= 得 3= , 解得:k=6; (2)OD=2+2=4, 在 y= 中令 x=4,解得 y= . 则 C 的坐标是(4, ). 设 AC 的解析式是 y=mx+n,

根据题意得:



解得:



则直线 AC 的解析式是 y=﹣ x+ ; (3)直角△AOB 中,OB=2,AB=3,则 S△AOB= OB?AB= ×2×3=3; 直角△ODC 中,OD=4,CD= ,则 S△OCD= OD?CD= ×4× =3. 在直角梯形 ABDC 中,BD=2,AB=3,CD= ,则 S 梯形 ABDC= (AB+DC)?BD= (3+ )×2= . 则 S△OAC=S△AOB+S 梯形 ABDC﹣S△OCD=3+ ﹣3= . 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式,理解 S△OAC=S△AOB+S 是解决本题的关键.

梯形 ABDC

﹣S△OCD

14

18.“你记得父母的生日吗?”这是我校在九年级学生中开展主题为“感恩”教育时设置的一个问 题,有以下四个选项:A.父母生日都记得;B.只记得母亲生日;C.只记得父亲生日;D.父母生 日都不记得.在随机调查了(1)班和(2)班各 50 名学生后,根据相关数据绘出如图所示的统计图.

(1)补全频数分布直方图; (2)据此推算,九年级共 900 名学生中,“父母生日都不记得”的学生共多少名? (3)若两个班中“只记得母亲生日”的学生占 22%,则(2)班“只记得母亲生日”的学生所占百 分比是多少? 【考点】条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图. 【专题】压轴题. 【分析】(1)利用总人数 50 减去其它各组的人数即可求解; (2)利用总人数 900 乘以对应的比值即可求解; (3) 设 (2) 班“只记得母亲生日”的学生有 x 人, 根据两个班中“只记得母亲生日”的学生占 22%, 即可列方程求得 x,进而求得对应的百分比. 【解答】解:(1)一班中 A 类的人数是:50﹣9﹣3﹣20=18(人). 如图所示.

(2)

(名);

(3)设(2)班“只记得母亲生日”的学生有 x 名,依题意得: , 解得 x=13, ∴ , 即(2)班“只记得母亲生日”的学生所占百分比是 26%. 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到 必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映 部分占总体的百分比大小.

15

19. 如图, 李明在大楼 27 米高 (即 PH=27 米) 的窗口 P 处进行观测, 测得山坡上 A 处的俯角∠QPA=15°, 山脚 B 处的俯角∠QPB=60°,已知该山坡的坡度 i(即 tan∠ABC)为 1: 同一个平面内.点 H、B、C 在同一条直线上,且 PH⊥HC. (1)山坡坡角(即∠ABC)的度数等于 30 度; (2)求 AB 的长(结果保留根号). ,点 P、H、B、C、A 在

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题;解直角三角形的应用-坡度坡角问题. 【分析】(1)根据 tan∠ABC= ,即可直接求出∠ABC=30°; (2) 先求出∠PBH=∠QPB=60°, ∠APB=45°, 再根据∠ABC=30°, 求出∠ABP=90°, 根据∠PAB=45°, 得出 AB=PB,最后根据 PB= 求出 PB 即可.

【解答】解:(1)∵tan∠ABC= = , ∴∠ABC=30°, 故答案为:30; (2)由题意知过点 P 的水平线为 PQ,∠QPA=15°,∠QPB=60°, ∴∠PBH=∠QPB=60°,∠APB=∠QPB﹣∠QPA=45°, ∵∠ABC=30°, ∴∠ABP=90°, ∴∠PAB=45°, ∴AB=PB, ∵在 Rt△PBH 中,PB= ∴AB=PB= , 米. = =18 ,

答:AB 的长为 18

【点评】此题考查了解直角三角形的应用,用到的知识点是平行线的性质、特殊角的三角函数值、 等腰三角形的性质、俯角、坡度的概念. 20.如图,AB 是⊙O 的直径,AC、BC 是⊙O 的弦,AD∥BC,且∠DCA=∠B. (1)求证:DC 与⊙O 相切; (2)若 sinB= ,AB=5,求 AD 的长.

16

【考点】切线的判定. 【分析】(1)直接利用圆周角定理得出∠ACB=90°,再利用已知得出 DCA+∠ACO=90°,进而求出 答案; (2)利用锐角三角函数关系得出 AC 的长,再利用勾股定理得出 BC 的长,再结合相似三角形的判定 与性质得出△DAC∽△ACB,则 = ,进而求出答案. 【解答】(1)证明:连接 CO, ∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ACB=90°,即∠ACO+∠OCB=90°, ∵CO=OB, ∴∠OCB=∠B, ∵∠DCA=∠B, ∴∠DCA=∠BCO, ∴DCA+∠ACO=90°, 即∠DCO=90°, ∴DC 与⊙O 相切;

(2)解:∵sinB= ,AB=5, ∴ = , = =3,

∴AC=4,则 BC= ∵AD∥BC, ∴∠DAC=∠ACB, 又∵∠DCA=∠B, ∴△DAC∽△ACB, ∴ 即 = ,

= , .

解得:AD=

【点评】此题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定与性质以及勾股定理、锐角三角函数关

17

系等知识,正确得出△DAC∽△ACB 是解题关键. 21.随着大陆惠及台胞政策措施的落实,台湾水果进入了大陆市场.一水果经销商购进了 A,B 两种 台湾水果各 10 箱,分配给他的甲、乙两个零售店(分别简称甲店、乙店)销售,预计每箱水果的盈 利情况如下表:有两种配货方案(整箱配货): A 种水果/箱 B 种水果/箱 甲店 11 元 17 元 乙店 9元 13 元 方案一:甲、乙两店各配货 10 箱,其中 A 种水果两店各 5 箱,B 种水果两店各 5 箱; 方案二: 按照甲、 乙两店盈利相同配货, 其中 A 种水果甲店 箱, 乙店 箱; B 种水果甲店 箱, 乙店 箱. (1)如果按照方案一配货,请你计算出经销商能盈利多少元; (2)请你将方案二填写完整(只写一种情况即可),并根据你填写的方案二与方案一作比较,哪种 方案盈利较多; (3)在甲、乙两店各配货 10 箱,且保证乙店盈利不少于 100 元的条件下,请你设计出使水果经销 商盈利最大的配货方案,并求出最大盈利为多少? 【考点】一次函数的应用. 【专题】压轴题;阅读型;方案型. 【分析】本题涉及配货方案问题,要根据题意,逐层分析.把每一种的数量和相应的利润对应好, 列出一次函数关系式,求自变量取值范围,从而确定一次函数的最大值. 【解答】解:(1)按照方案一配货,经销商盈利: 5×11+5×9+5×17+5×13=250(元) (2)只要求学生填写一种情况.设 A 种水果给甲 x 箱,B 种水果给甲 y 箱,则给乙店分别是(10﹣ x)箱,(10﹣y)箱,根据题意得:11x+17y=9(10﹣x)+13(10﹣y), 即 2x+3y=22,

则非负整数解是:







则第一种情况:2,8,6,4;第二种情况:5,5,4,6;第三种情况:8,2,2,8. 按第一种情况计算:(2×11+17×6)×2=248(元); 按第二种情况计算:(5×11+4×17)×2=246(元); 按第三种情况计算:(8×11+2×17)×2=244(元). 方案一比方案二盈利较多. (3)设甲店配 A 种水果 x 箱,则甲店配 B 种水果(10﹣x)箱, 乙店配 A 种水果(10﹣x)箱,乙店配 B 种水果 10﹣(10﹣x)=x 箱. ∵9×(10﹣x)+13x≥100, ∴x≥ 经销商盈利为 w=11x+17?(10﹣x)+9?(10﹣x)+13x=﹣2x+260. ∵﹣2<0,∴w 随 x 增大而减小, ∴当 x=3 时,w 值最大. 方案:甲店配 A 种水果 3 箱,B 种水果 7 箱.乙店配 A 种水果 7 箱,B 种水果 3 箱.最大盈利:﹣

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2×3+260=254(元). 【点评】弄清题意,根据题目的不同要求,由易到难解答题目的问题,学会由一次函数表达式及自 变量取值范围,求最大值. 22.已知如图 1、2,D 是△ABC 的 BC 边上的中点,DE⊥AB 于 E、DF⊥AC 于 F,且 BE=CF,点 M、N 分 别是 AE、DE 上的点,AN⊥FM 于 G (1)如图 1,当∠BAC=90°时; ①求证:四边形 AEDF 是正方形; ②试问 AN 与 FM 之间的数量关系与四边形 AEDF 的两对角线的数量关系相同吗?请证明你的结论; (2)如图 2,当∠BAC≠90°,且 AF:DF=2:1 时,求 AN:FM 的值; (3)根据(1)中②和(2)的结论或求解过程,在一般情况下(即除去条件:“∠BAC﹣90°,AF: DF=2:1”,其他条件不变),问 AN 与 FM 之间的数量关系有何规律?直接用文字说明或用等式表示 (不证明).

【考点】相似形综合题. 【分析】(1)①证明 Rt△BED≌Rt△CFD,得到 DE=DF,证明结论; ②根据已知和正方形的性质证明 Rt△AEN≌Rt△FAM,得到答案; (2)根据已知设 AF=2k,DF=k,求出 AD:EF,证明△FME∽△AND,求出 AN:FM 的值; (3)根据(1)中②和(2)的结论,可以得到 AN 与 FM 之间的数量关系与四边形 AEDF 的两条对角 线之间的关系. 【解答】(1)①证明:∵∠BAC=90°,∠AED=∠AFD=90°, ∴四边形 AEDF 是矩形, 以上 BD=DC,∠DEB=∠DFC=90°,BE=CF, ∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL), ∴DE=DF, ∴矩形 AEDF 是正方形. ②答:AN 与 FM 之间的数量关系与四边形 AEDF 的两条对角线的数量关系相同; 理由:在正方形 AEDF 中,AF=AE, 又∵AN⊥FM 于 G,∠AMF=∠ANE, ∠AEN=∠MAF=90°, ∴Rt△AEN≌Rt△FAM(AAS), ∴AN=FM, 又∵正方形 AEDF 的对角线相等, ∴AN 与 FM 之间的数量关系与四边形 AEDF 的两对角线的数量关系相同. (2)连接 AD、EF, 设 AF=2k,DF=k,在 Rt△ADF 中,AD= = k,

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∵Rt△BED≌Rt△CFD(HL), ∴∠B=∠C,DE=DF, ∴AB=AC,AE=AF, ∴AD 的垂直平分 EF,则 OF= EF,DF⊥AC 与 F, =2k×k× , ∴PF= ,

∴EF= , 又∵∠NEM=∠MGN=90°, ∠GME+∠ENG=∠DNG+∠ENG=180°, ∠EMF=∠DNA,∠AEO=∠NDA, ∴△FME∽△AND, ∴ = = ; (3)根据(1)中②和(2)的结论或求解过程可知, ∵∠NEM=∠MGN=90°, ∠GME+∠ENG=∠DNG+∠ENG=180°, ∠EMF=∠DNA,∠AEO=∠NDA, ∴△FME∽△AND, ∴ = , AN、FM 与四边形 AEDF 的两条对角线对应成比例.

【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质,灵活运用判定定理和 性质定理是解题的关键,注意方程思想在解题中的运用. 23.如图,在平面直角坐标系中,点 P 从原点 O 出发,沿 x 轴向右以每秒一个单位长度的速度运动 2 t 秒(t>0),抛物线 y=﹣x +bx+c 经过点 O 和点 P. (1)求 c、b 的值.(可以用含有 t 的代数式表示) 2 (2)抛物线 y=﹣x +bx+c 与直线 x=1 和 x=5 分别交于 M、N 两点当 t>1 时, ①在点 P 的运动过程中,你认为 sin∠MPO 的大小是否会变化?若变化,请说明理由;若不变,求出 sin∠MPO 的值. ②求△MPN 的面积 S 与 t 的函数关系式. ③是否存在这样的 t 值,使得 MP∥ON?如果存在,求出 t 的值;如果不存在,请说明理由.

20

【考点】二次函数综合题. 【分析】(1)把点 O 和点 P 的横纵坐标分别代入抛物线解析式,即可求出 b,c; (2)①根据解析式及 M 的横坐标,求出点 M 的坐标,求出 AM,AP 的长度,根据三角函数即可解答; ②求出点 N 的坐标,分两种情况分别求解:当 1<t≤5 时,根据 S△MPN=S△APM+S 梯形 ABNP﹣S△APM,求出 S 和 t 的关系式;当 t>5 时,根据 S△MPN=S 梯形 MABN+S△NBP﹣S△APM,求出 S 和 t 的关系式; ③根据平行线的判定方法,内错角相等,两直线平行,即可求出 t 的值. 【解答】解:(1)由题意可知,点 O(0,0),点 P(t,0), 2 ∵抛物线 y=﹣x +bx+c 经过点 O 和点 P,

∴ ∴y=﹣x +tx;
2

,解得:



(2)当 t>1 时, ①sin∠MPO 的大小不会变化; 当 x=1 时,y=t﹣1,即 M(1,t﹣1), 即 AM=t﹣1,AP=t﹣1, 即 AM=AP,∠PAM=45°, ∴sin∠MPO=sin45°= ,是定值. ②点 x=5 时,y=5t﹣25,即 N(5,5t﹣25), 当 1<t≤5 时,如图 1, 过点 N 作 NB⊥MA 于点 B, S△MPN=S△APM+S 梯形 ABNP﹣S△APM = (t﹣1) + (t﹣1+4)×(5t﹣25)﹣ (t﹣1﹣5t+25)×4, 2 =﹣2t +12t﹣10, 当 t>5 时,如图 2, S△MPN=S 梯形 MABN+S△NBP﹣S△APM = (t﹣1+5t﹣25)×4+ (5t﹣25)(t﹣5)﹣ (t﹣1) ,
2 2

21

=2t ﹣12t+10,

2

即:S=10



③存在; 理由:如图 3, 当∠OPM=45°时,要使 MP∥ON,需满足∠PON=45°, 2 即 N(5,﹣5),代入 y=﹣x +tx 得﹣25+5t=﹣5. 解得 t=4.

22

【点评】本题主要考查二次函数的综合应用,解决第(1)小题的关键是能熟练掌握待定系数法;解 决第 (2) 小题的关键是熟练掌握三角函数、 根据整体减部分的方法求三角形的面积、 平行线的判定.

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