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高中数学必修5:2.5.2等比数列的前n项和

时间:2014-12-27


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2.5.2 等比数列的前 n 项和
教学目的: 1.会用等比数列的通项公式和前 n 项和公式解决有关等比数列的

S n , an , a1 , n, q 中知道三个数求另外两个数的一些简单问题
2.提高分析、解决问题能力. 教学重点:进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前 n 项和公式. 教学难点:灵活使用公式解决问题 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 首先回忆一下前几节课所学主要内容: 1.等比数列:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母 q 表示(q≠ 0) ,即:

an =q(q≠0) a n ?1

2.等比数列的通项公式:

an ? a1 ? q n?1 (a1 ? q ? 0) , an ? am ? q m?1 (a1 ? q ? 0)
3. { an }成等比数列 ?

a n ?1 ? =q( n ? N ,q≠0) an

“ an ≠0”是数列{ an }成等比数列的必要非充分条件

4.既是等差又是等比数列的数列:非零常数列. 5.等比中项:G 为 a 与 b 的等比中项. 即 G=± ab (a,b 同号). 6.性质:若 m+n=p+q, am ? an ? a p ? aq 7.判断等比数列的方法:定义法,中项法,通项公式法
8. 等比数列的增减性: 当 q>1, a1 >0 或 0<q<1, a1 <0 时, { an }是递增数列;当 q>1, a1 <0, 或 0<q<1, a1 >0 时, { an }是递减数列;当 q=1 时, { an }是常数列;当 q<0 时, { an }是摆动 数列; 9.等比数列的前 n 项和公式:

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∴当 q ? 1 时, S n ?

a1 (1 ? q n ) ① 1? q

或 Sn ?

a1 ? a n q 1? q



当 q=1 时, S n ? na1 当已知 a1 , q, n 时用公式①;当已知 a1 , q, an 时,用公式②. 10. S n 是等比数列 ?an ? 的前 n 项和, ①当 q=-1 且 k 为偶数时, S k , S 2k ? S k , S 3k ? S 2k 不是等比数列. ②当 q≠-1 或 k 为奇数时, S k , S 2k ? S k , S3k ? S 2k 仍成等比数列 二、例题讲解 例 1 已知等差数列{ an }的第二项为 8,前十项的和为 185,从数列{ an }中,依次取出 第 2 项、第 4 项、第 8 项、??、第 2 项按原来的顺序排成一个新数列{ bn },求数列{ bn } 的通项公式和前项和公式 S n 解:∵ ?
n
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? a1 ? d ? 8 , 解得 a1 =5, d=3, ?10a1 ? 45d ? 185
n

∴ an =3n+2, bn = a 2n =3× 2 +2,

S n =(3×2+2)+ (3× 2 2 +2)+ (3× 2 3 +2)+??+(3× 2 n +2)
=3·

2(2 n ? 1) n +2n=7· 2 -6.(分组求和法) 2 ?1
2 3 n?1

例 2 设数列 ?an ? 为 1,2x,3x ,4x ??nx 解: (用错项相消法)

? ?x ? 0? 求此数列前 n 项的和

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S n ? 1 ? 2x ? 3x 2 ? 4x 3 ? ?? ? nxn?1 xSn ? x ? 2x2 ? 3x3 ? ??? ?n ?1?xn?1 ? nxn
①?② ?1 ? x?S n ? 1 ? x ? x ? ?? ? x
2 n?1

① ②

? nxn ,

当 x ? 1 时,

?1 ? x ?S n

?

1? xn 1 ? x n ? nxn ? nxn?1 1 ? ?1 ? n ?x n ? nxn?1 ? nxn ? ? 1? x 1? x 1? x

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Sn ?

1 ? ?1 ? n?x n ? nxn?1

?1 ? x?2

当 x ? 1 时, S n ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ?? n ?

n?1 ? n ? 2
?1? ' ? 的前 n 项和为 S , ? an ?

例 3 等比数列 ?an ? 前 n 项和与积分别为 S 和 T,数列 ?

?S? 求证: T ? ? ' ? ?S ?
2

n

证:当 q ? 1 时, S ? na1 , T ? a1 , S ?
'

n

n , a1

?S? ∴? ?S ? ? ? 1?

n

? ? ? ? na1 ? 2n ? (成立) ? ? a1 ? T 2 , ? n ? ? ? ? a1 ?

n

当 q ? 1 时, ∵S ?
?n?1?n a1 1 ? q n a 1 ? q ?n qn ?1 , , T ? a1q 2 ,S' ? 1 ? 1? q 1 ? q ?1 a1q n?1 ?q ? 1?
1
n

?

?

?1

?

?

?S? 2 n ?1 ∴ ? ' ? ? a1 q ?S ?

?

?

n

n ? n ?1? ? ? n 1 2 (成立) ? ?a1 q 2 ? ?T , ? ?

2

综上所述:命题成立 例 4 设首项为正数的等比数列,它的前 n 项之和为 80,前 2 n 项之和为 6560,且前 n 项中 数值最大的项为 54,求此数列
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? a1 1 ? q n ? 80 ?1? ? ? 1? q 解:由题意 ? ? 1 ? q n ? 82 ? q n ? 81 2n a 1 ? q ? 1 ? 6560 ?2? ? ? 1? q

?

?

?

?

代入(1) , a1 1 ? q

?

n

? ? 80?1 ? q? ,得: a

1

? q ? 1 ? 0 ,从而 q ? 1 ,
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∴ ?an ? 递增,∴前 n 项中数值最大的项应为第 n 项 ∴ a1q ∴q
n ?1

? ?q ? 1?q n?1 ? q n ? q n?1 ? 81? q n?1 ? 54,
qn ?3, q n?1

n ?1

? 81? 54 ? 27, q ?

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∴ a1 ? q ? 1 ? 3 ? 1 ? 2 , ∴此数列为 2,6,18,54,162??

1 1 1 2 n 例 5 求和: (x+ ) ? ( x ? 2 ) ? ? ? ( x ? n ) (其中 x≠0,x≠1,y≠1) y y y
分析: 上面各个括号内的式子均由两项组成, 其中各括号内的前一项与后一项分别组成 等比数列,分别求出这两个等比数列的和,就能得到所求式子的和. 解:当 x≠0,x≠1,y≠1 时, (x+

1 1 1 ) ? (x 2 ? 2 ) ? ? ? (x n ? n ) y y y

1 1 1 ? (x ? x 2 ? ? ? x n ) ? ( ? 2 ? ? ? n ) y y y
1 1 (1 ? n ) x(1 ? x ) y y x ? x n?1 y n ?1 ? ? ? ? n?1 1 1? x 1? x y ? yn 1? y
n

三、练习: 设数列 ?an ? 前 n 项之和为 S n , 若 S1 ? 1, S 2 ? 2 且 S n?1 ? 3S n ? 2S n?1 ? 0?n ? 2? , 问: 数列 ?an ? 成等比数列吗? 解:∵ S n?1 ? 3S n ? 2S n?1 ? 0 , ∴ ?S n?1 ? S n ? ? 2?S n ? S n?1 ? ? 0 ,即 an?1 ? 2an ? 0 即:

a n ?1 ? 2 ?n ? 2? ,∴ ?an ? 成等比数列 ?n ? 2? an
a2 ? 2, a1

又: a1 ? S1 ? 1, a2 ? S 2 ? S1 ? 1,

∴ ?an ? 不成等比数列,但当 ?n ? 2? 时成 ?n ? 2? , 即: a n ? ?

? 1 ?n ? 1? n ?1 ?n ? 2? ?2

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四、小结 本节课学习了以下内容:

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等比数列前n项和的性质

1.S n ? S m ? q m ? S n ? m
2. 若等比数列?an ? 有2n项, 则 :

S偶 S奇

? q.

3.若等比数列 ?an ?的前 n和为 S n , 且 S n ? 0. 则 : S k , S 2 k ? k , S 3 k ? 2 k , 成等比数列, 且公比为 q k .
熟练求和公式的应用 五、课后作业:课后作业:课本第 70 页 B 组 1---3

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