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磁场练习


一:(24 届预赛) (20 分)如图所示,Ml M2 和 M3 M4 都是由无限多根无限长的外表面绝缘 的细直导线紧密排列成的导线排横截面,两导线排相交成 120° ,O O’为其角平分线.每根 细导线中都通有电流 I,两导线排中电流的方向相反,其中 Ml M2 中电流的方向垂直纸面向 里.导线排中单位长度上细导线的根数为 λ.图中的矩形 abcd 是用 N 型半导体材料做成

的长直半导体片的横截面, ( 《 ) ,长直半导体片与导线排中的细导线平行,并在片中 通有均匀电流 I0,电流方向垂直纸面向外.已知 ab 边与 O O’垂直, =l,该半导体材料 内载流子密度为 n, 每个载流子所带电荷量的大小为 q. 求此半导体片的左右两个侧面之间 的电势差. 已知当细的无限长的直导线中通有电流 I 时,电流产生的磁场离直导线的距离为 r 处的磁 感应强度的大小为 B=k ,式中 k 为已知常量.

二: (24 复 5) (25 分)地球赤道表面附近处的重力加速度为 g 0 ? 9.8m / s 2 ,磁场的磁感应 强度的大小 B0 ? 3.0 ?10?5 T , 方向沿经线向北。 赤道上空的磁感应强度的大小与 r 成反比
3

(r 为考察点到地心的距离) ,方向与赤道附近的磁场方向平行。假设在赤道上空离地心的 距离 r ? 5Re ( Re 为地球半径)处,存在厚度为 10km 的由等数量的质子和电子的等离子层 (层内磁场可视为匀强磁场) ,每种粒子的数密度非常低,带电粒子的相互作用可以忽略不 计。已知电子的质量 me ? 9.1?10?31 kg ,质子的质量 m p ? 1.7 ?10
?27

kg ,电子电荷量为

? 1.6 ? 10?19 C ,地球的半径 Re ? 6.4 ?106 m 。
1.所考察的等离子层中的电子和质子一方面作无规则运动, 另一方面因受地球引力和磁 场的共同作用会形成位于赤道平面内的绕地心的环行电流,试求此环行电流的电流密度。 2.现设想等离子层中所有电子和质子,它们初速度的方向都指向地心,电子初速度的大 小 ue ? 1.4 ?10 m / s ,质子初速度的大小 u P ? 3.4 ?10 m / s 。试通过计算说明这些电子
4
2

和质子都不可能到到达地球表面。

三: (25 复 3) (5 分)电子感应加速器(betatron)的基本原理如下:一个圆环真空室处于分 布在圆柱形体积内的磁场中, 磁场方向沿圆柱的轴线, 圆柱的轴线过圆环的圆心并与环面垂 直。 圆中两个同心的实线圆代表圆环的边界, 与实线圆同心的虚线圆为电子在加速过程中运 行的轨道。已知磁场的磁感应强度 B 随时间 t 的变化规律为 B ? B0 cos(2? t / T ) ,其中 T 为磁场变化的周期。B0 为大于 0 的常量。当 B 为正时,磁场的方向垂直于纸面指向纸外。 若持续地将初速度为 v0 的电子沿虚线圆的切线方向注入到环内(如图) ,则电子在该磁场变 化的一个周期内可能被加速的时间是从 t= 到 t= 。

四: (27 复 4) ( 12 分)如图所示,一质量为 m、电荷量为 q ( q > 0 )的粒子作角速度 为ω 、半径为 R 的匀速圆周运动.一长直细导线位于圆周所在的平面内,离圆心的距离为 d ( d > R ) ,在导线上通有随时间变化的电流 I, t= 0 时刻,粒子速度的方向与导线平行, 离导线的距离为 d+ R .若粒子做圆周运动的向心力等于电流 i ,的磁场对粒子的作用力, 试求出电流 i 随时间的变化规律.不考虑变化的磁场产生的感生电场及重力的影响.长直 导线电流产生的磁感应强度表示式中的比例系数 k 已知.

五: (28 复 4) (20 分)空间某区域存在匀强电场和匀强磁场,在此区域建立直角坐标系 O-xyz,如图所示。
? ? ? ? ? 匀强电场沿 x 方向,电场强度 E1 ? E0i ,匀强磁场沿 z 方向,磁感应强度 B ? B0 k ,E0、B0 为已知常量, i 、
? k 分别为 x 方向和 z 方向的单位矢量。

(1)有一束带电量都为正 q、质量都为 m 的粒子,同时从 Oyz 平面内的某点射出,它们的初速度均在 Oyz 平面内,速度的大小和方向各不相同。问经过多少时间这些粒子又能同时回到 Oyz 平面内。

? ? qB0 (2)现在该区域内再增加一个沿 z 方向随时间变化的匀强电场,电场强度 E2 ? ( E0 cos ?t )k ,式中 ω= . m
? 若有一电荷量为正 q、质量为 m 的粒子,在 t=0 时刻从坐标原点 O 射出,初速度 v 0 在 Oyz 平面内,试求以

后此粒子的坐标随时间变化的规律。 (不计粒子所受重力以及各带电粒子之间的相互作用,也不考虑变化的电场产生的磁场) y O

z

x

六: (23 决 5)如图所示,坐标系 Oxyz 的 x 轴和 z 轴 都位于纸面内,y 轴垂直纸面向里.两无限大金属极 板 P 和 Q 分别位于 x = -d 和 x = d 处.磁感应强度 大小为 B 的匀强磁场的方向平行于 Oxz 坐标平面, 与 z 轴的夹角为 α . 在坐标原点 O 处, 有一电荷为 q (>0) 、质量为 m 的带电粒子,以沿 y 轴正方向的 初速度 v0 开始运动.不计重力作用. 1.若两极板间未加电场,欲使该粒子在空间上 恰好能到达极板(但与板不接触) ,则初速度 v0 应为多大?所需最短时间 t0 是多少? 2.若在两极板间沿 x 轴正方向加上一场强为 E 的匀强电场,使该粒子能在第 1 问中所 求得的时间 t0 到达极板,则该粒子的初速度 v0 应为多大?若 α = 子的坐标. π ,求粒子到达极板时粒 4 O x α z P B Q

2d

七: (25 决 7 (2) ) .右图是某种粒子穿过云室留下的径迹的照片.径迹在纸面内,图 的中间是一块与纸面垂直的铅板, 外加恒定匀强磁场的方向垂直纸面向里. 假设粒子电荷的 大小是一个基本电荷量 e :e = 1.60 × 10
-19

C ,铅板下部径迹的曲率半径 rd = 210 mm ,

铅板上部径迹的曲率半径 ru = 76.0 mm , 铅板内的径迹与铅板法线成 θ = 15.0° , 铅板厚度 d = 6.00 mm ,磁感应强度 B = 1.00 T ,粒子质量 m = 9.11 × 10
-31

kg = 0.511 MeV / c2.不

考虑云室中气体对粒子的阻力. (I)写出粒子运动的方向和电荷的正负. (II)试问铅板在粒子穿过期间所受的力平均为多少牛? (III)假设射向铅板的不是一个粒子,而是从加速器引出的流量为 j = 5.00 × 1018 / s 的 脉冲粒子束,一个脉冲持续时间为 ? =2.50 ns .试问铅板在此脉冲粒子束穿过期间所受的力 平均为多少牛?铅板在此期间吸收的热量又是多少焦?

.

八(26 决 5)磁场会影响电子的运动,从而使存在磁场时的电流与电压之间的关系偏离我们 熟悉的欧姆定律,本题研究的问题即为一例。 设 xoy 平面内有密度(单位体积内的电子数)为 n 的二维电子气。平面内沿 x 轴方向 存在均匀电场 E ? Ei ( i 为轴正方向的单位矢量) ,垂直于平面的 z 轴方向存在匀强磁场, 磁感应强度为 B ? Bk( k 为 z 轴正方向的单位矢量) 。 已知平面内的电子运动受到的散射阻 力与速度 v 成正比,可等效地用一时间参量 ? 描述为 ?

??

?

?

? ?

?

?

mv

?

,m 为电子质量,试求在稳态沿

x 和 y 方向的电流密度(大小为垂直于电流方向单位长度的电流) jx 和 jy ,将结果用电子 电荷量绝对值 e、n、m、E、 ? 及?表示出,

??

eB 。 m

九: (27 决 7)七、 (20 分)如图 ? a ? 所示,十二根均匀的导线杆联成一边长为 l 的刚性正方 体,每根导线杆的电阻均为 R 。该正方体在匀强磁场中绕通过其中心且与 abcd 面垂直的转 动轴作匀速转动,角速度为 ? ,已知磁感应强度大小为 B ,方向与转动轴垂直。忽略电路 的自感。当正方体转动到如图 ? b ? 所示位置(对角线 bd 与磁场方向夹角为 ? )时,求 1.通过导线 ba 、 ad 、 bc 和 cd 的电流强度。 2.为维持正方体作匀速转动所需的外力矩。

d 2 的平面内,电容器起初未被充电. 整个装置处于均匀磁场中, 磁感应强度大小为 B ,方向沿 x 轴负方向,如图所示. 1. 在电容器参考系 S 中只存在磁场;而在以沿y轴正方向的
十: (30 复 5) (25 分)平行板电容器两极板分别位于 z ? ? 恒定速度 (0, v, 0) (这里 (0, v, 0) 表示为沿x、y、z轴正方向的 速度分量分别为0、 v 、0,以下类似)相对于电容器运动的

? , Ey ? , Ez ? ) 又有磁场 ( Bx ? , By ? , Bz ?) . 参考系 S ? 中,可能既有电场 ( Ex ? , Ey ? , Ez ? ) 和磁场 试在非相对论情形下,从伽利略速度变换,求出在参考系 S ? 中电场 ( Ex ? , By ? , Bz ? )的表达式. 已知电荷量和作用在物体上的合力在伽利略变换下不变. ( Bx
2. 现在让介电常数为 ? 的电中性液体(绝缘体)在平行板电容器两极板之间匀速流动,流 速大小为 v , 方向沿 y 轴正方向. 在相对液体静止的参考系 (即相对于电容器运动的参考系)

? , Ey ? , Ez ? ) 中,其正负电荷会因电场力作用而发生相 S ? 中,由于液体处在第1问所述的电场 ( Ex
对移动(即所谓极化效应),使得液体中出现附加的静电感应电场,因而液体中总电场强度

? , Ey ? , Ez ? ) ,而是 不再是 ( Ex

?0 ( E? , E? , E? ) ,这里 ? 0 是真空的介电常数. 这将导致在电容器参考 ? x y z

系 S 中电场不再为零. 试求电容器参考系 S 中电场的强度以及电容器上、下极板之间的电势 差. (结果用 ? 0 、 ? 、 v 、 B 或(和) d 表出. )


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