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【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 1.4.3含有一个量词的命题的否定课件 新人教A版选修2-1

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1.4.3 含有一个量词的命题的否定

1.全称命题的否定是什么命题?特称命题的否 问题 引航 定是什么命题? 2.全称命题的否定与特称命题的否定有什么联

系?

1.全称命题的否定 全称命题p ?x∈M,p(x) ?p ?x0∈M, ?p(x0) _______________ 结论 特称 全称命题的否定是___

__ 命题

2.特称命题的否定

特称命题p
?x0∈M,p(x0)

?p ?x∈M, ?p(x) _____________
命题

结论
全称 特称命题的否定是_____

1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)命题?p的否定是p.( ) )

(2)?x0∈M,p(x0)与?x∈M,?p(x)的真假性相反.(

(3)从特称命题的否定看,是对“量词”和“p(x)”同时否 定.( )

【解析】(1)正确.命题p与?p互为否定.
(2)正确.特称命题p与其否定?p一真一假.

(3)错误.尽管特称命题的否定是全称命题,只是对“p(x)”进
行否定,而将“存在量词”调整为“全称量词”,不能将其理解

为“同时否定”.
答案:(1)√ (2)√ (3)×

2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)“至多有三个”的否定为 . . 命题.(填“真”

(2)已知命题p:?x∈R,sinx≤1,则?p是 (3)命题“?x0∈Q, x02=5”的否定是 或“假”)

【解析】(1)“至多有三个”的否定为“最少有四个”. 答案:最少有四个 (2)命题p是全称命题,其否定为?x0∈R,sinx0>1. 答案:?x0∈R,sinx0>1 (3)该命题的否定为?x∈Q,x2≠5,为真命题. 答案:真

【要点探究】
知识点 全称命题与特称命题的否定

1.对全称命题的否定以及特点的理解
(1)全称命题的否定实际上是对量词“所有”否定为“并非所

有”,所以全称命题的否定的等价形式就是特称命题,将全称量
词调整为存在量词,就要对p(x)进行否定,这是叙述命题的需要,

不能认为对全称命题进行“两次否定”,否则就是“双重否定
即肯定”,所以含有一个量词的命题的否定仍是一次否定.

(2)对于省去了全称量词的全称命题的否定,一般要改写为含有
全称量词的命题,再写出命题的否定命题.

2.对特称命题的否定以及特点的理解
(1)由于全称命题的否定是特称命题,而命题p与?p互为否定,所

以特称命题的否定就是全称命题.
(2)全称命题与特称命题以及否定命题都是形式化命题,叙述命

题时要结合命题的内容和特点,灵活运用自然语言、符号语言
进行描述,这样才能准确判断命题的真假.

【知识拓展】常见词语的否定 原词 等于 大于 小于 是 都是 否定词 不等于 不大于 不小于 不是 不都是 原词 至多一个 至少一个 任意 所有的 否定词 至少两个 一个也没 有 某个 某些

【微思考】 (1)用自然语言描述的全称命题的否定形式惟一吗? 提示:不惟一,如“所有的菱形都是平行四边形.”它的否定是 “并不是所有的菱形都是平行四边形.”也可以是“有些菱形 不是平行四边形.”

(2)对省略量词的命题怎样否定? 提示:一般地,省略了量词的命题是全称命题,可加上“所有 的”“任意的”等一些全称量词后再进行否定.

【即时练】 分别写出下列含有一个量词的命题的否定. (1)所有的矩形都是正方形. (2)?x0∈R, x02-2x0+1<0. 【解析】(1)将此命题中的量词“所有的”换为“存在”,然后 再否定结论,即原命题的否定为:“存在一个矩形不是正方形.” (2)此命题是特称命题,其否定为?x∈R,x2-2x+1≥0.

【题型示范】 类型一 全称命题的否定与真假判断 【典例1】 (1)(2013·四川高考)设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集. 若命题p:?x∈A,2x∈B,则( A.?p:?x0∈A,2x0∈B B.?p:?x0?A,2x0?B C.?p:?x0∈A,2x0?B D.?p:?x?A,2x?B )

(2)写出下列全称命题的否定,并判断其否定的真假.
①p:一切分数都是有理数;

②q:直线l垂直于平面α ,则对任意l′?α ,l⊥l′;
③s:?x∈Q,使得 1x2+ 1x+1是有理数.
3 2

【解题探究】1.题(1)的命题p中含有的量词是什么?命题的结 论是什么? 2.题(2)各组命题中的量词是什么?命题的结论是什么? 【探究提示】1.命题p中的量词是“?”,命题的结论是 “2x∈B”. 2.命题p含有的量词是“一切”,结论为“分数都是有理数”.

命题q含有的量词是“任意”,结论为“l⊥l′”.
命题s含有的量词是“?”,结论为“ 1x2+ 1x+1是有理数”.
3 2

【自主解答】(1)选C.根据题意可知命题p:?x∈A,2x∈B的否 定是?p:?x0∈A,2x0?B,故选C. (2)①?p:存在一个分数不是有理数,假命题. ②?q:直线l垂直于平面α,则?l′0?α,使l与l′0不垂直,假 命题.
1 2 ③?s:?x0∈Q,使得 1 x 0+ x0+1不是有理数,假命题. 3 2

【延伸探究】本例(1)中的命题p若换为“?x?A,2x∈B”,其他 条件不变,其结论又如何呢? 【解析】选B.将量词“?”换为“?”,结论否定即可,即其否 定为:?x0?A,2x0?B”.

【方法技巧】 1.对全称命题否定的两个步骤 (1)改变量词:把全称量词换为恰当的存在量词. (2)否定性质:原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不 成立”等.

2.全称命题否定后的真假判断方法
全称命题的否定是特称命题,其真假性与全称命题相反;要说明

一个全称命题是假命题,只需举一个反例即可.

【变式训练】(2014·安徽高考)命题“?x∈R,|x|+x2≥0” 的否定是 ( ) B.?x∈R,|x|+x2≤0 D.?x0∈R,|x0|+x02≥0

A.?x∈R,|x|+x2<0 C.?x0∈R,|x0|+x02<0

【解析】选C.条件?x∈R的否定是?x0∈R,结论“|x|+x2≥0” 的否定是“|x0|+x02<0”.

【补偿训练】命题“?x∈R,x>sinx”的否定是( A.?x0∈R,x0<sinx0 C.?x0∈R,x0≤sinx0 B.?x∈R,x≤sinx D.?x∈R,x<sinx

)

【解析】选C.命题中“?”与“?”相对,所以命题的否定 是:?x0∈R,x0≤sinx0,故选C.

类型二 特称命题的否定与真假判断 【典例2】 (1)(2014·长沙高二检测)命题p:“?x0∈R, x02-x0+1=0”的否 定是 .

(2)写出下列特称命题的否定,并判断其否定的真假: ①有些实数的绝对值是正数; ②某些平行四边形是菱形; ③?x0∈R, x02+1<0; ④?x0,y0∈Z,使得 x0+y0=3. 2

【解题探究】1.题(1)中命题p中含有的量词是什么?命题p的结 论是什么? 2.题(2)中各命题中含有的量词是什么?各命题的结论分别是什 么?

【探究提示】1.命题p中含有的量词是“?”,命题的结论是 “x02-x0+1=0”. 2.命题①,②含有的量词是“有些”,“某些”,其结论分别 为:“实数的绝对值是正数”与“平行四边形是菱形”,命 题③④含有的量词是“?”,其结论分别为:“x02+1<0”与 “ 2 x0+y0=3”.

【自主解答】(1)将量词“?”换为“?”,然后否定结论即可.

答案:?x∈R,x2-x+1≠0
(2)①命题的否定是:“不存在一个实数,它的绝对值是正数”,

也即“所有实数的绝对值都不是正数”.由于|-2|=2,因此命题
的否定为假命题.

②命题的否定是:“没有一个平行四边形是菱形”,也即“每一
个平行四边形都不是菱形”.由于菱形是平行四边形,因此命题 的否定是假命题.

③命题的否定是:“不存在x0∈R, x02+1<0”,也即“?x∈R, x2+1≥0”.由于x2+1≥1>0,因此命题的否定是真命题. ④命题的否定是:“?x,y∈Z, 因为当x=0,y=3时, 2 x+y=3, 因此命题的否定是假命题.
2x+y≠3”.

【方法技巧】 1.对特称命题否定的两个步骤 (1)改变量词:把存在量词换为恰当的全称量词. (2)否定性质:原命题中的“有”“存在”等更改为“没有” “不存在”等. 2.特称命题否定后的真假判断 特称命题的否定是全称命题,其真假性与特称命题相反;要说明 一个特称命题是真命题,只需要找到一个实例即可.

【变式训练】写出下列特称命题的否定,并判断其真假. (1)存在x0>1,使x02-2x0-3=0. (2)若an=-2n+1,则存在n0∈N,使 Sn <0.
0

(3)存在x0∈R,x0>2. (4)存在x0∈R, x02<0.

【解析】(1)任意x>1,x2-2x-3≠0,假命题. (2)若an=-2n+1,则任意n∈N,Sn≥0,假命题. (3)任意x∈R有x≤2,假命题. (4)任意x∈R,x2≥0,真命题.

【补偿训练】写出下列特称命题p的否定?p,并判断?p的真假: (1)p:?x0<0, x02<0. (2)p:?α 0,β 0∈R,cos(α 0+β 0)=cosα 0+cosβ 0. (3)p:有些数列既是等差数列又是等比数列.

【解析】(1)?p:?x<0,x2≥0.真命题. (2)?p:?α,β∈R,cos(α+β)≠cosα+cosβ. 由于当α= ? ,β= ?? 时,cos(α+β)=cosα+cosβ= 2 ,
2 4

2

所以?p为假命题. (3)?p:任何数列都不能既是等差数列又是等比数列 . 由于非零常数列既是等差数列又是等比数列,所以?p为假命题.

【易错误区】混淆命题的否定与否命题而致误

【典例】(2014·临沂高二检测)命题“任意x∈R,若y>0,则
x2+y>0”的否定是 .

【解析】已知命题是一个全称命题,其否定为特称命题,先将
“任意”换成“存在”再否定结论,

即命题的否定是:
存在x0∈R, 若y>0,则x02+y≤0. 答案:存在x0∈R,若y>0,则x02+y≤0

【常见误区】 错解 错因剖析 混淆了命题的否定与否命题两个 概念,在阴影处对条件与结论均 作了否定而导致了错解

存在x0∈R,若y≤0,
则 x0
2+y≤0

【防范措施】 命题的否定与否命题 命题的否定只否定结论.否命题是条件和结论都要否定,如 本例中命题的否定,否定结论没有否定条件.

【类题试解】命题p:任意x,y∈R,若x>y,则x2>y2,则命题p的否
定为 ,否命题为 .

【解析】命题p的否定为:存在x0,y0∈R,若x0>y0,则 x 02 ? y02 .
否命题为:任意x,y∈R,若x≤y,则x2≤y2.

答案:存在x0,y0∈R,若x0>y0,则 x02 ? y02
任意x,y∈R,若x≤y,则x2≤y2


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