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高等代数(1)课程教学大纲

时间:2016-02-25


高等代数(1)课程教学大纲
第一部分 一、课程基本信息 1.课程类别:专业基础课 2.开课单位:数学与财经系 3.适用专业:数学与应用数学专业 4.备选教材: 《高等代数(第三版) 》 ,北京大学数学系几何与代数教研室前代数组编.高等教育出版社,2003. 二、课程性质和目标 高等代数是数学与应用数学专业的一门重要基础课程。本课程的主要内容是多项式理论和线性代数理论。通过 本课程的教学,使学生掌握代数基本理论和基本方法,培养学生代数方面的科学的思维、抽象的思维,逻辑推理、提 高运算以及解决实际应用的能力,为进一步学习专业后续课程奠定坚实的代数基础。 本课程的教学目的是使学生获得一元多项式,行列式,线性方程组,矩阵等方面的系统知识,为进一步学习近世代 数,复变函数、等后续课程打下坚实的基础,也为深入理解初等数学、指导中学数学教学提供了高等的专业知识与重 要的方法论。 通过本门课程系统的学习与严格的训练,全面掌握高等代数的基本理论知识;培养抽象的逻辑思维能力与推理论 证能力;具备熟练的运算能力与技巧;提高建立数学模型,并应用代数学的理论知识解决实际应用问题的能力。 三、课程学时与学分 教学时数: 96 学时,其中理论教学 81 学时,实践教学 15 学时 学分数: 6 学分 前言

教学时数具体分配: 教 学 内 容 第一章 多项式 理论教学 (学时) 26 实践教学 (学时) 6 合 计 (学时) 32

第二章 行列式 第三章 线性方程组 第四章 矩阵 合 计

16 22 17 81

3 3 3 15

19 25 20 96

第二部分 第一章 多项式 1.教学目标:

教学内容及其要求

要求学生理解数域的概念;掌握一元多项式的概念、运算及基本性质;掌握带余除法与整除性的关系,会进 行相关运算;会求多项式的最大公因式;理解不可约多项式的概念,掌握求重因式的方法;理解多项式在不同的 数域的因式分解形式;掌握 Eisenstein 判别法,会求有理系数多项式的根。 2.教学重点:整除概念,带余除法及整除的性质,最大公因式、互素、辗转相除法、不可约多项式概念、性质, k 重因式与 k 重根的关系。 3.教学难点:因式分解及唯一性定理,多项式根的理论,复(实)系数多项式分解定理,本原多项式,Eisenstein 判别法。 4.教学时数 学 内 容 第一节 数域 第二节 一元多项式 第三节 整除概念 第四节 最大公因式 第五节 因式分解定理 第六节 重因式 第七节 多项式函数 第八节 复系数与实系数多项式的因式分解 第九节 有理系数多项式 合 计 理论教学 (学时) 2 2 3 4 3 3 3 2 4 26 1 6 1 2 1 1 实践教学 (学时) 合计 (学时) 2 2 4 6 4 4 3 2 5 32

5.教学内容纲要: 第一节 数域 一、代数研究的基本问题。 二、数域的定义。 第二节 一元多项式 一、基本知识。 二、多项式的运算规律。 三、一元多项式环。 第三节 整除概念 一、例解多项式竖式除法,普通除法。 二、定理(带余除法) 。 三、整除,余式,因式,倍式。 四、多项式整除的充要条件。 五、整除的几个性质。 第四节 最大公因式 一、公因式,最大公因式的定义。 二、引理。 三、求最大公因式的方法。 四、辗转相除法。 五、例解求最大公因式。 六、互素及特性。 第五节 因式分解定理

一、不可约多项式。 二、不可约多项式的性质。 三、因式分解唯一性定理。 四、标准分解式。 第六节 重因式 一、 k 重因式。 二、重因式的性质。 三、求重因式的方法。 第七节 多项式函数 一、定义。 二、余数定理。 三、多项式函数与多项式的根。 第八节 复系数与实系数多项式的因式分解 一、复系数多项式的因式分解定理与标准分解式。 二、代数基本定理。 三、实系数多项式因式分解定理。 第九节 有理系数多项式 一、有理数域上一元多项式多项式的因式分解问题。 二、高斯引理 三、根与系数的关系。 四、Eisenstein 判别法。 五、一元多项式根的求法。 六、例题讲解。

6.课程资源 (1)http://xgb.sasu.cn/jingpin/gdds/.四川文理学院高等代数精品课程网址. (2《高等代数》 (第三版) ,北京大学数学学院几何与代数教研室代数小组编,高等教育出版社。(指定教材) (3) 《高等代数》 (第四版),张禾瑞、郝鈵新编,高等教育出版社。 (4) 《高等代数》 ,郭卫舵、何聪等编,成都科技大学出版社。 (5) 《高等代数》 ,徐德余、何聪等编,四川大学出版社。 (6) 《高等代数习题课讲义》 ,季世栋、何聪等编,电子科技大学出版社。 (7) 《高等代数研讨》 ,何聪、薛有才等编,知识出版社。 (8) 《高等代数评估与测试》 ,徐德余,晏能中等,四川科学技术出版社。 (9) 《高等代数题解精粹》 ,钱吉林编,中央民族大学出版社。 (10) 《高等代数与解析几何》 ,陈志杰编,科学出版社。 7.实践教学环节 安排学生应用数学软件解决相关计算问题;安排课后习题讨论以及章节结束后指导学生总结本章教学内容。 8.教学策略及教学方法建议 本章内容以课堂讲授为主,充分利用现代教育技术,结合计算机软件与多媒体辅助教学。 第二章 行列式 1.教学目标: 理解和掌握行列式的概念;掌握 n 级行列式的性质和计算;掌握行列式按行(列)展开计算的法则;掌握克 拉默法则,了解拉普拉斯定理及行列式的乘法规则。 2.教学重点: n 阶行列式的性质和计算。 3.教学难点: n 阶行列式的计算方法和技巧。 4.教学时数 教 学 内 容 理论教学 (学时) 实践教学 (学时) 合计 (学时)

第一节 引言 第二节 排列 第三节 n 级行列式 第四节 n 级行列的性质 第五节 行列式的计算 第六节行列式按一行(列)展开 第七节 克拉默法则 第八节 拉普拉斯定理及行列式的乘法规则 合 计

0.5 1.5 2 3 2 3 2 2 16 3 1 1 1

0.5 1.5 2 4 3 4 3 2 19

5.教学内容: 第一节 引言 一、解二元线性方程组 二、引入行列式符号。 第二节 排列 一、排列的逆序数,奇、偶排列。 二 、性质。 第三节

n 级行列式

一、 n 级行列式的定义。 二、几类特殊的行列式。 三、行列式计算中不同行不同列元素乘积项的符号。 第四节

n 级行列的性质

一、性质。 二、应用。 第五节 行列式的计算 一、计算行列式的方法。

二、初等变换。 第六节 行列式按一行(列)展开 一、余子式。 二、代数余子式。 三、行列式按一行(列)展开法则。 四、范德蒙行列式。 第七节 克拉默法则 一、克拉默法则。 二、用克拉默法则解线性方程组。 第八节 拉普拉斯定理及行列式的乘法规则 一、 k 级子式。 二、拉普拉斯定理。 三、行列式的乘积定理。 6.课程资源 (1)http://xgb.sasu.cn/jingpin/gdds/.四川文理学院高等代数精品课程网址. (2《高等代数》 (第三版) ,北京大学数学学院几何与代数教研室代数小组编,高等教育出版社。(指定教材) (3) 《高等代数》 (第四版),张禾瑞、郝鈵新编,高等教育出版社。 (4) 《高等代数》 ,郭卫舵、何聪等编,成都科技大学出版社。 (5) 《高等代数》 ,徐德余、何聪等编,四川大学出版社。 (6) 《高等代数习题课讲义》 ,季世栋、何聪等编,电子科技大学出版社。 (7) 《高等代数研讨》 ,何聪、薛有才等编,知识出版社。 (8) 《高等代数评估与测试》 ,徐德余,晏能中等,四川科学技术出版社。 (9) 《高等代数题解精粹》 ,钱吉林编,中央民族大学出版社。

(10) 《高等代数与解析几何》 ,陈志杰编,科学出版社。. 7.实践教学环节 安排学生应用数学软件计算行列式;安排课后习题讨论以及章节结束后指导学生总结本章教学内容。 8.教学策略及教学方法建议 本章内容以课堂讲授为主,充分利用现代教育技术,结合计算机软件与多媒体辅助教学。 第三章 线性方程组 1.教学目标: 掌握线性方程组的概念,会用消元法求解线性方程组;掌握 n 维向量空间的概念,会证明向量的线性相关性;会 计算矩阵的秩,了解矩阵的秩与行列式之间的关系;掌握线性方程组解的判定定理,会解线性方程组且掌握其解的结 构,特别是齐次线性方程组基础解系的确定。 2.教学重点:线性相关性,线性方程组的解的结构。 3.教学难点:线性相关性,含有参数的线性方程组的解的讨论。 4.教学时数 教 学 内 容 第一节 消元法 第二节 n 维向量空间 第三节 线性相关性 第四节 矩阵的秩 第五节 线性方程组有解判别定理 第六节 线性方程组解的结构 合 计 理论教学 (学时) 2 2 4 5 3 6 22 1 3 1 1 实践教学 (学时) 合计 (学时) 2 2 5 6 3 7 25

5.教学内容: 第一节 消元法 一、一般线性方程组。

二、线性方程组的初等变换。 三、用消元法解线性方程组。 第二节

n 维向量空间

一、 n 维向量空间。 二、向量的运算律。 三、 n 维向量空间。 第三节 线性相关性 一、向量的线性组合。 二、向量的等价关系。 三、线性相关性。 四、线性无关性。 五、线性相关的性质。 六、极大无关组。 第四节 矩阵的秩 一、矩阵的秩。 二、引理的证明。 三、证明矩阵的行秩等于列秩。 四、矩阵的秩与行列式的内在联系。 五、矩阵的 k 级子式。 六、怎样计算矩阵的秩。 第五节 线性方程组有解判别定理 一、判别定理。 二、讲解例子。

第六节 线性方程组解的结构 一、线性方程组解的集合的性质。 二、基础解系。 三、齐次线性方程组的基础解系的特征。 四、一般线性方程组解的结构。 五、例题。 6.课程资源 (1)http://xgb.sasu.cn/jingpin/gdds/.四川文理学院高等代数精品课程网址. (2《高等代数》 (第三版) ,北京大学数学学院几何与代数教研室代数小组编,高等教育出版社。(指定教材) (3) 《高等代数》 (第四版),张禾瑞、郝鈵新编,高等教育出版社。 (4) 《高等代数》 ,郭卫舵、何聪等编,成都科技大学出版社。 (5) 《高等代数》 ,徐德余、何聪等编,四川大学出版社。 (6) 《高等代数习题课讲义》 ,季世栋、何聪等编,电子科技大学出版社。 (7) 《高等代数研讨》 ,何聪、薛有才等编,知识出版社。 (8) 《高等代数评估与测试》 ,徐德余,晏能中等,四川科学技术出版社。 (9) 《高等代数题解精粹》 ,钱吉林编,中央民族大学出版社。 (10) 《高等代数与解析几何》 ,陈志杰编,科学出版社。 7.实践教学环节 安排学生应用数学软件求解线性方程组;安排课后习题讨论以及章节结束后指导学生总结本章教学内容。 8.教学策略及教学方法建议 本章内容以课堂讲授为主,充分利用现代教育技术,结合计算机软件与多媒体辅助教学。 第四章 矩阵 1.教学目标:

掌握矩阵的线性运算,矩阵的乘法规则,理解几类特殊矩阵,会求伴随矩阵,逆矩阵,理解初等矩阵的性质,了 解分块矩阵及运算。 2.教学重点:矩阵的运算。 3.教学难点:用初等变换的方法求逆矩阵、分块矩阵的逆。 4.教学时数 教 学 内 容 理论教学 (学时) 第一节 矩阵概念的一些背景 第二节 矩阵的运算 第三节 矩阵乘积的秩与行列式 第四节 矩阵的逆 第五节 矩阵的分块 第六节 初等矩阵 第七节 分块乘法的初等变换及应用举例 合 计 5.教学内容: 第一节 矩阵概念的一些背景 一、介绍提出矩阵概念的问题。 二、矩阵的记法。 第二节 矩阵的运算 一、加法。 二、乘法。 三、数量乘法。 第三节 矩阵乘积的秩与行列式 一、矩阵乘积的行列式定理。 1 3 2 4 2 3 2 17 3 1 1 1 实践教学 (学时) 合计 (学时) 1 3 3 5 2 4 2 20

二、定义非退化矩阵与退化矩阵。 三、矩阵乘积的秩。 第四节 矩阵的逆 一、逆矩阵。 二、伴随矩阵。 三、矩阵可逆的充分必要条件。 四、逆矩阵的性质。 第五节 矩阵的分块 一、矩阵的分块。 二、矩阵分块的运算。 三、用分块方法求矩阵的逆。 第六节 初等矩阵 一、初等矩阵。 二、引理。 三、用初等变换求矩阵的逆矩阵。 四、例题。 第七节 分块乘法的初等变换及应用举例

一、对单位矩阵的分块。 二、应用举例。 6.课程资源 (1)http://xgb.sasu.cn/jingpin/gdds/.四川文理学院高等代数精品课程网址. (2《高等代数》 (第三版) ,北京大学数学学院几何与代数教研室代数小组编,高等教育出版社。(指定教材) (3) 《高等代数》 (第四版),张禾瑞、郝鈵新编,高等教育出版社。

(4) 《高等代数》 ,郭卫舵、何聪等编,成都科技大学出版社。 (5) 《高等代数》 ,徐德余、何聪等编,四川大学出版社。 (6) 《高等代数习题课讲义》 ,季世栋、何聪等编,电子科技大学出版社。 (7) 《高等代数研讨》 ,何聪、薛有才等编,知识出版社。 (8) 《高等代数评估与测试》 ,徐德余,晏能中等,四川科学技术出版社。 (9) 《高等代数题解精粹》 ,钱吉林编,中央民族大学出版社。 (10) 《高等代数与解析几何》 ,陈志杰编,科学出版社。 7.实践教学环节 安排学生应用数学软件进行矩阵运算;安排课后习题讨论以及章节结束后指导学生总结本章教学内容。 8.教学策略及教学方法建议 本章内容以课堂讲授为主,充分利用现代教育技术,结合计算机软件与多媒体辅助教学。

第三部分

课程的考核方式及要求

课程成绩以百分制呈现。课程实行严格的考勤制度,累计缺课达到本门课程的三分之一者,本门课程重修,不得参 加期末考试。 平时作业、实践、课堂教学情况和考勤占本门课程成绩的 30%,期末考核采用闭卷方式进行,考试成绩占课程总 评成绩的 70%,总评成绩 60 分及以上为合格。考试时应着重考查本门课程的基本概念、基本方法、基本技能,注意数 学应用能力的考核,特别注重与中学数学有密切联系的相关内容考核。

撰稿人:罗肖强 审稿人:余跃玉

审核人:何 聪


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