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2015年12月江苏省南通中学高三数学考试卷及参考答案


2015 年 12 月江苏省南通中学高三数学考试卷
参考公式: 锥体的体积公式

柱体的体积公式 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答卷纸相应的位置上. )

1 Sh ,其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高. 3 V ? Sh ,其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱

体的高. V ?

1 . 设复数 z1 、 z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称 , z1 ? 2 ? i ( i 为虚数单位) ,则 z1 ? z2 ?
▲ . ?5

2.从甲、乙、丙、丁 4 位同学中随机选出 2 名代表参加学校会议,则甲被 1 选中的概率是 ▲ . 2 3.根据如图所示的伪代码,可知输出的 S 的值为 ▲ . 13 4.为了调查城市 PM 2.5 的值,按地域把长三角地区 36 个城市分成甲、乙、 12 、 18 .若用分层抽样的方法抽取 12 个城市, 丙三组, 对应的城市数分别为 6 、 则乙组中应抽取的城市数为 ▲ .4
N ? ?a 2 ? , 5. 设集合 M ? ?1, 2? 、 则 “ a ? 1” 是 “N ?M ” 的
▲ 条

i ?1 While i ? 5 i ?i?2 S ? 2i ? 3 End While Pr int S
第3题

件.充分不必要条件(从“充分不必要”、 “必要不充分”、“充分且必要”、“既不充分也不必 要”中择一填写)

6.有一段演绎推理:
大前提:整数是自然数; 小前提: ?3 是整数; 结论: ?3 是自然数.这个推理显然错误,则错误的原因是 前提” 、 “结论”中择一填写). 大前提



错误.(从“大前提” 、 “小

7.关于 x 的不等式 x2 ? 2ax ? 3a2 ? 0(a ? 0) 的解集为 ( x1 , x2 ) ,且 x2 ? x1 ? 12 ,则实数 a 的值等
于 ▲ .

?3

x2 y 2 ? 1 ( a ? 0 )的右焦点,则双曲线的右准线方程为 8.已知抛物线 y ? 8x 的焦点是双曲线 2 ? a 3
2



.

x?

1 2
▲ . ?3

?x ? y ? a ? 0 y 满足约束条件 ? 9. 设x、 , 且 z ? x ? ay 的最小值为 7 , 则实数 a ? x ? y ? 1 ? 0 ?

10 . 在 ?ABC 中 , 点 M 是 BC 的 中 点 , 角 A ? 120? , AB ? AC ? ?2 , 则 | AM | 的 最 小 值 为
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.

? ? 设 AB ? c 、 AC ? b ,由 AB ? AC ? ?1 , A ? 120 得 bc ? 4 ,倍长 AM 至 D ,则 ?ABD ? 60 , 2 2 2 由余弦定理得 AD ? b ? c ? bc ? 2bc ? bc ? bc ? 4 ,即 2 AM ? AD ? 2 , AM ? 1 即 | AM | 最小

值为 1 .

11.已知圆 C : ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 1 和两点 A(?m, 0) 、 B(m,0) ( m ? 0 ) ,若圆上存在一点 P ,
使得

?APB ? 90? ,则 m 的最小值为
?



.

显然 AB ? 2m , 因为 ?APB ? 90 , 所以 OP ? 原

1 AB ? m , 所以要求 m 的最小值即求圆 C 上点 P 到 2

点 O 的最小距离,因为 OC ? 5 ,所以 (OP)min ? OC ? r ? 4 ,即 m 的最小值为 4 .

12.如图为函数 f ( x) ?

x 的部分图像, ABCD 是矩形, A 、 B 在图像上,将此矩形( AB 边 x ?1
2

在 第 一象 限) 绕 x 轴 旋转得 到 的旋 转体 的体 积的最 大 值为 ▲ .

f / ( x) ?

1 ?( x ? 1)( x ? 1) ? 0 得 x ? 1 为极大值点,且 f (1) ? , 2 2 2 ( x ? 1)

设 A 、 B 的纵坐标为 k (0 ? k ?

x 1 ?k得 ) ,则由 2 x ?1 2

kx 2 ? x ? k ? 0 , x A ? xB ?

1 , xA ? xB ? 1 ,所以 k

AB ?| xA ? xB |?

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( xA ? xB )2 ? 4 xA ? xB ?

1 ?4 , k2

V ? ?k2 ?

? 1 1 1 ? , ? 4 ? ? k 2 ? 4k 4 ? 2? ?(k 2 ? )2 ? 2 k 8 64 4
? 2 时取“ ? ” ,此时 ? ? 0 ,故旋转体体积的最大值为 . 4 4

当且仅当 k ?

13.设数列 ?an ? 为等差数列,数列 ?bn ? 为等比数列.若 a1 ? a2 , b1 ? b2 ,且 bi ? ai2 ( i ? 1 , 2 ,
3) ,
第 2 页 共 14 页

则数列 ?bn ? 的公比为



.

a?d, 方法 1 : 设 a1 , 因为 a1 ? a2 , 所以 d ? 0 , 因为 b1 ? b2 , 所以 0 ? q ? 1 , a2 , a3 依次为 a ? d , a,
又 b2 2 ? b1b3 ,所以 a4 ? (a ? d )2 (a ? d )2 ? (a2 ? d 2 )2 ,则 a ? d ? a 或 a ? a ? d (舍) ,所以
2 2 2 2 2 2

d ? ? 2a

.
2



d ? 2a





q?

2 b2 ? 2 ?( b1 a a

?

a2 a a 1 ?d

? )

a a ? 2a

a 22
1

?

(?

? ?

2 (舍) ;若 d ? ? 2 ? ) ( a ,则 2

q?

b2 a22 a a 2 a ? 2 ? ( 2 )2 ? ( ) ?( )2 ? ( 2 ? 1)2 ? 1,所以 q ? 3 ? 2 2 . b1 a1 a1 a?d a ? 2a

方法 2 : 易知 a24 ? a12a32 ,则 a22 ? ?a1a3 ,若 a22 ? a1a3 ,则 a1 ? a2 ? a3 (舍) ,若 a2 2 ? ?a1a3 ,则

(

a1 ? a3 2 a a ) ? ? a1a3 且 a1 ? 0 , 所 以 a12 ? 6a1a3 ? a32 ? 0 , 所 以 ( 3 ) 2 ? 6 ? 3 ? 1 ? 0 , 则 2 a1 a1
, 2

a3 ? ? 3 ?2 a1
2

b3 a32 a 又q ? ? 2 ? ( 3 )2 且 0 ? q ? 1 ,所以 q ? 3 ? 2 2 . b1 a1 a1
14.已知函数 f ( x) ?
值范围是 因为 f (1 ? x) ?

a ? x ,且对任意的 x ? (0,1) ,都有 f ( x) ? f (1 ? x) ? 1恒成立,则实数 a 的取 x
.



a a ? (1 ? x)2 a ? x 2 a ? (1 ? x)2 ? (1 ? x) ? ? ?1即 ,所以对任意 x ? (0,1) ,都有 1? x 1? x x 1? x

(a ? x2 ) ?[a ? (1 ? x)2 ] ? x(1 ? x) 恒成立,整理得 x2 (1 ? x)2 ? (2a ?1) x(1 ? x) ? (a2 ? a) ? 0 ,令
x(1 ? x) ? t ,则 0 ? t ?
1 1 2 2 ,问题等价于 t ? (2a ?1)t ? (a ? a) ? 0 对 0 ? t ? 恒成立,令 4 4

? 2a ? 1 1 ? ? ? ? 2 4 2 2 2 2 或 g (t ) ? t ? (2a ?1)t ? (a ? a) ,因为 ? ? (2a ?1) ? 4(a ? a) ? 1 ? 0 ,所以 ? 1 ?g( ) ? 0 ? ? 4

第 3 页 共 14 页

1 ? 1 1 1 ? ? a? ? 2a ? 1 ? ? a ? a ? ?0 ? ?? ?a ? ? ? 4 ,即 ? 或? ,所以 ? 或? ,所 2 4 2 2 ? 1 3 ? 2 2 ? ? ? ? a ? ? ora ? ? g (0) ? 0 ?a ? 0ora ? 1 ?16a ? 8a ? 3 ? 0 ?a ? a ? 0 ? ? 4 4


1 a ? ? 或 a ?1. 4
另解 1 :由 t 2 ? (2a ?1)t ? (a2 ? a) ? 0 得 (t ? a) ? [t ? (a ? 1)] ? 0 ,所以 t ? ?a ? 1 或 t ? ? a ,由题意 得

?a ? 1 ? 0 或 ? a ?

1 1 即 a ? ? 或 a ?1. 4 4

另解 2 :由 t 2 ? (2a ?1)t ? (a2 ? a) ? 0 得 (a ? t ) ? [a ? (t ? 1)] ? 0 ,所以 a ? ?t ? 1 或 a ? ?t , 因为 0 ? t ?

1 1 3 1 ,所以 ? ?(t ? 1) ? 1或 ? ? ?t ? 0 ,由题意得 a ? ? 或 a ? 1 . 4 4 4 4

?0 ? m ? 1 ?x ? m a a ? 2 2 ? (1 ? x)] ? 1,设 ? 另解 3 : ( ? x)[ ,则 ?0 ? n ? 1 ,又 m ? n ? 1 ? 2mn ,所以 x 1? x 1 ? x ? n ? ?m ? n ? 1 ?
( a a a2 n m ? m)( ? n) ? 1 即 ? ( ? )a ? mn ? 1 ? 0 ,即 a2 ? (2mn ?1)a ? mn(mn ?1) ? 0 ,即 m n mn m n
1 1 ,所以由题意得 a ? ? 4 4

(a ? mn)(a ? mn ? 1) ? 0 ,所以 a ? ? mn 或 a ? ?mn ? 1 ,因为 0 ? mn ?

或 a ?1. 二、解答题: (本大题共 6 小题,共计 90 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

15. (本题满分 14 分)如图所示, A 、 B 分别是单位圆与 x 轴、 y 轴正半轴的交点,点 P 在单位圆上,
?AOP ? ? ( 0 ? ? ? ? ) ,点 C 坐标为 (? 2, 0),平行四边形
y B P C O A Q

OAQP的面积为 S .
(Ⅰ)求 t ? OA ? OQ ? S 的最大值; (Ⅱ)若 CB ∥ OP ,求 sin(2? ?

x

?
3

).

【 解 析 】( Ⅰ ) ∵

, ) P(cos ? ,sin ? ) , ∴ OA ? ( 1 , 0

第 4 页 共 14 页

OQ ? (1 ? cos? ,sin ? ) ,
∴ OA ? OQ ? 1 ? cos? ,而 S ? 2 ? ? | OA | ? | OP | ? sin ? ? sin ? , 所以 t ? OA ? OQ ? S ? 1 ? cos ? ? sin ? ? 1 ? 2 sin(? ? ∵ 0 ? ? ? ? ,∴当 ? ?

1 2

?
4

) ,???????????? 4 分

?
4

时, t ? OA ? OQ ? S 取得最大值为 1 ? 2 ;????????? 7 分

(Ⅱ) CB ? (2,1) , OP ? (cos? ,sin ? ) ,由 CB ∥ OP 得 cos ? ? 2sin ? ,又 0 ? ? ? ? ,结合

sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 得 sin ? ?
分 所以 sin(2? ?

4 3 5 2 5 , cos ? ? , sin 2? ? , cos 2? ? ,???????? 11 5 5 5 5

?
3

) ? sin 2? ? cos

?
3

? cos 2? ? sin

?
3

?

4?3 3 . ?????????????? 14 分 10

16. (本题满分 14 分)如图,矩形 ABCD 中, AB ? 3 , BC ? 4 , E 、 F 分别在线段 BC 和 AD 上,
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EF ∥ AB , 将矩形 ABEF 沿 EF 折起, 记折起后的矩形为 MNEF , 且平面 MNEF ? 平面 ECDF .
(Ⅰ)求证: NC ∥平面 MFD ; (Ⅱ)求四面体 CDFN 体积的最大值.

A

F

D

B

E

C

(翻折前)

(翻折后)

【解析】 (Ⅰ)∵四边形 MNEF , EFDC 都是矩形,∴ MN ∥ EF ∥ CD , MN

? EF ? CD ,∴四

边形 MNCD 是平行四边形, ∴ NC ∥ MD , 又∵ NC ? 平面 MFD ,MD ? 平面 MFD , ∴ NC ∥ 平面 MFD ;
第 5 页 共 14 页

???????????????????????????????????? 7 分

C ? 4? x , (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 易证 NE ? 平面 FEC , 设 NE ? x , 则E 其中 0 ? x ? 4 . ∴四面体 CDFN
的 体 积 为 VCDFN ? VNCDF ? VNFEC ?

1 1 1 x? ( 4 ? x 2) S?EFC ? NE ? x(4 ? x) ? ? [ ] ? 2, 当 且 仅 当 3 2 2 2

x ? 4? x,
即 x ? 2 时取“ ? ” ,故四面体 CDFN 体积最大值为 2 .???????????????? 14 分

17. (本题满分

14 分)如图, P 为某湖中观光岛屿,

AB 是沿湖岸南北

10 km ,某旅游团浏览完岛屿后,乘 方向道路, Q 为停车场, PQ ? 3
游船回停车场 Q ,已知游船以 10km / h 的速度沿方位角 ? 的方向行驶,

A

Q

sin ? ?

3 .游船离开观光岛屿 3 分钟后,因事耽搁没有来得及登上游 5
P

?
?

M

船的游客甲,为了及时赶到停车地点 Q 与旅游团会合,立即决定租用 小艇先到达湖岸南北大道 M 处,然后乘景区电动出租车到停车场 Q 处

B

(假设游客甲到达湖滨大道后幸运地一点未耽搁便乘上了电动出租车) .游客甲乘小艇行驶的方位角 是 ? ,电动出租车的速度为 (Ⅰ)设 sin ? ? 时到达点 Q ; (Ⅱ )设小艇速度为 10km / h ,请你替该游客设计小艇行驶的方位角 ? ,当 角 ? 的余弦值是多少时,游客甲能按计划以最短时间到达 Q .
?
P

70 km / h . 3

A Q

4 ,问小艇的速度为多少 km / h 时,游客甲才能与游船同 5

?

M N B

3 4 N 为垂足, sin ? ? , sin ? ? , 【解析】 (Ⅰ) 方法一: 如图, 作 PN ? AB , 5 5 10 3 ? ? 2 ( km ) 在 Rt ?PNQ 中, PN ? PQ ? sin ? ? , 3 5 10 4 8 QN ? PQ ? cos? ? ? ? ( km ) .在 Rt ?PNM 中, 3 5 3 7 PN 2 3 M Q ? N M N ? ? .Q , MN ? ? ? ( km ) 6 tan ? 4 2 3 NM 5 PM ? ? ,??????????????? 4 分 cos ? 2
第 6 页 共 14 页

10 PQ 3 1 设游船从 P 到 Q 所用时间为 t1h , 游客甲从 P 经 M 到 Q 所用时间为 t2 h , 则 t1 ? , ? ? (h ) 10 10 3 5 7 1 PM MQ 2 6 5 1 ? t1 , 设小艇的速度为 v1km / h ,则 t2 ? ,由已知得 t 2 ? ? ? ? ? ? (h ) 70 v1 70 2v1 20 20 v1 3 3


75 75 5 1 1 1 km / h 时,游客甲才能与游船同时到达 Q ; ,∴小艇的速度为 ? ? ? ,∴ v1 ? 7 7 2v1 20 20 3
?????????????????? 8 分

n? ( Ⅰ ) 方 法 二 : 如 图 , ∵ s i?

3 4 4 3 s ? , cos ? ? , , sin ? ? , ∴ c o? 5 5 5 5

sin ?QPM ? sin(? ? ? ) ?
sin ? ? cos ? ? cos ? ? sin ? ?

7 7 QM QP ? ,由正弦定理得 ,所以 QM ? , 25 6 sin(? ? ? ) sin(? ? ? )

5 PM PQ ? ,所以 PM ? .下同方法一; 2 sin ? sin(? ? ? )

PN 2 PN 2 c o s ? ? ? ( km ) , MN ? ( km ) . sin ? sin ? a n t ?n i s ? 8 2 cos ? PM QM 1 4 3cos ? ∴ QM ? QN ? MN ? ? ( km ) ,所以 t ? ? ? ? ? 70 5sin ? 35 35sin ? 3 sin ? 10 3 1 7 ? 3cos ? 4 ? ? ? . ???????????????????????????11 分 35 sin ? 35
(Ⅱ )在 Rt ?PNM 中,∵ PM ? ∵t ?
/

3 3 1 3sin 2 ? ? (7 ? 3cos ? ) cos ? 3 ? 7 cos ? / ? ? ,∴令 t ? 0 得 cos ? ? .当 cos ? ? 时, 2 2 7 7 35 sin ? 35 ? sin ?

t / ? 0 ;当 cos ? ?
cos ? ?

3 ? / 时, t ? 0 .∵ y ? cos ? 在 ? ? (0, ) 上是减函数,∴当方位角 ? 满足 7 2

3 时, t 最小,即游客甲能按计划以最短时间到达 Q . ???????????? 14 分 7 1 2 2 18. (本题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? x ? a ? ln x ( a ? R ) , g ( x) ? x ? 2mx ? 4 ( m ? R ) . 2
(Ⅰ)若函数 f ( x ) 在 x ? 2 处的切线方程为 y ? x ? b ,求实数 a 与 b 的值; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调减区间;
第 7 页 共 14 页

(Ⅲ)当 a ? 1 时,若对任意的 x1 ? [1, 2] ,存在 x2 ?[1, 2] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 m 的取值范 围.
【 解 析 】( Ⅰ )

f / ( x) ? x ?

a / ) ,由 f (2? x

a 1 2 ? ? 得 1 a ? 2 , ∴ f ( x) ? x 2 ? 2 ln x , 2 2

f (2) ? 2 ? 2ln 2 ,
即切点为 (2, 2 ? 2ln 2) ,代入方程 y ? x ? b 得 b ? ?2 ln 2 ;?????????????? 5 分 (Ⅱ) f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , f ( x) ? x ?
/

a x2 ? a ? , x x

①当 a ? 0 时, f / ( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立,∴ f ( x ) 无减区间; ②当 a ? 0 时,由 f / ( x) ? 0 得 0 ? x ?

a ,此时, f ( x) 减区间为 (0, a ) ;
????????????????? 12

?????????????????????? 10 分 (Ⅲ)由题意可得 x ? [1, 2] 时, f ( x)min ? g ( x)min . 分
/ ∵ a ? 1 时 , f ( x )? x ?

1 ( x ? 1x)?( 1) ? ? 0, f ( x) 在 x ? [1, 2] 为 增 函 数 , ∴ x x

f ( x) m i ? n

1 f (? 1), 2
1 1 ,由 5 ? 2 m ? 解得 2 2

g ( x) ? x2 ? 2mx ? 4 ? ( x ? m)2 ? 4 ? m2 .
①当 m ? 1 时, g ( x) 在区间 [1, 2] 上递增,所以 g ( x) min ? g (1) ? 5 ? 2m ?

m?

9 ,舍去; 4
2

1 14 14 14 ,解得 m ? ? 或m ? ,∴ ?m?2; 2 2 2 2 1 1 ③当 m ? 2 时, g ( x) 在区间 [1, 2] 上递减,所以 g ( x) min ? g (2) ? 8 ? 4m ? ,由 8 ? 4 m ? 解得 2 2 15 m ? ,∴ m ? 2 . 8
②当 1 ? m ? 2 时, g ( x) min ? g ( m) ? 4 ? m ? 综上, m ?

14 . 2

???????????????????????????? 16 分

19. (本题满分 16 分)已知直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 经过椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的左顶点 A 和上 a 2 b2

顶点 D .椭圆 C 的右顶点为 B ,点 E 是椭圆 C 上位于 x 轴上方的动点,直线 AE 、 BE 与直线 l :
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x?

10 分别交于 M 、 N 两点. 3

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)求线段 MN 长度的最小值; (Ⅲ) 当线段 MN 的长度最小时, 椭圆 C 上是否存在这样的点 T , 使得 ?TBE 的面积为 确定点 T 的个数;若不存在,请说明理由.
【解析】 (Ⅰ)令 x

1 ?若存在, 5

? 0 得 y ? 1 ,所以 D(0,1) ,所以 b ? 1 ,令 y ? 0 得 x ? ?2 ,所以 A(?2, 0) ,所以

a ? 2, 所以椭圆 C 的标准方程为
5分

x2 ? y 2 ? 1; ??????????????????????? 4

(Ⅱ)显然直线 AE 的斜率存在且为正数,设直线 AE 的方程为 y ? k ( x ? 2) ( k ? 0 ) ,联立得

? y ? k ( x ? 2) ? y ? k ( x ? 2) 10 16k ? 2 2 2 2 ) ,由 ? 2 ,解得 M ( , 得 (1 ? 4k ) x ? 16k x ? 16k ? 4 ? 0 , ? 10 2 3 3 x? ?x ? 4 y ? 4 ? 3 ?
显然 ? ? 16 ,由求根公式得 x ? 以

?16k 2 ? 16 2 ? 8k 2 ?16k 2 ? 16 ?2 ? 8k 2 或 (舍) ,所 ? x ? ? 2(1 ? 4k 2 ) 1 ? 4k 2 2(1 ? 4k 2 ) 1 ? 4k 2

1 ? y ? ? ( x ? 2) ? 1 2 ? 8k 4k ? 4 k E( , ) ,从而直线 BE 的方程为 y ? ? ( x ? 2) ,联立得 ? ,解得 10 4k 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ?x ? ? 3 ?
2

N(

1 10 1 16k 1 16k 1 8 , ? ) ,所以 MN ? ,因此,线段 ? ?2 ? ? ,当且仅当 k ? 时取“ ? ” 4 3 3k 3 3k 3 3k 3

8 MN 长度的最小值为 ;??????????????????????????? 10 分 3
(Ⅲ)由(Ⅱ)知, k ? 积 为S ?

1 6 4 4 2 时线段 MN 的长度最小,此时 E ( , ) , BE ? ,因为 ?TBE 的面 4 5 5 5

2S 2 1 ? ,所以点 T 到直线 BE 的距离为 d ? ,因为直线 BE 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 ,设 BE 4 5
第 9 页 共 14 页

过点 T 且与直线 BE 平行的直线 m 的方程为 x ? y ? t ? 0 (t ? ?2) ,由两平行线之间距离为

2 4



3 3 5 3 |t ?2| 2 ,解得 t ? ? 或 t ? ? ,当 t ? ? 时,直线 m 的方程为 x ? y ? ? 0 ,联立得 ? 2 2 2 2 4 2

3 ? 5 ?x ? y ? ? 0 2 ,消去 y 得 5x ? 12 x ? 5 ? 0 ,显然判别式 ? ? 0 ,故点 T 有 2 个;当 t ? ? 时,直 2 ? 2 ? x2 ? 4 y 2 ? 4 ?
线

5 ? 5 ?x ? y ? ? 0 2 联立得 ? , 消去 y 得 5x ? 20 x ? 21 ? 0 , 显然判别式 ? ? 0 , m 的方程为 x ? y ? ? 0 , 2 2 ? x2 ? 4 y 2 ? 4 ?
故点 T 不存在. 所以,椭圆 C 上存在两个点 T ,使得 ?TBE 的面积为

1 .????????????????16 分 5

20. (本题满分 16 分)已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S4 ? 3S2 , a2 n ? 2an ? 1 .
(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ )对任意的 m ? N ,将数列 ?an ? 中落入区间 (2m , 22 m ) 内的项的个数记为 ?bm ? .
?

①求数列 ?bm ? 的通项公式; ②记 cm ?

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2

2 m ?1

T ?t 2 1 ,数列 ?cm ? 前 m 项的和为 Tm ,求出所有使得等式 m 成立的 ? ? bm Tm?1 ? t ct ? 1

正整数 m , t .

4 ? (4 ? 1) 2 ? (2 ? 1) ? d ? 3[2a1 ? ?d], 2 2 2 2 即 d ? a1 ;由 a2 n ? 2an ? 1 得 an ? nd ? 2an ?1 ,∴ an ? nd ? 1,将 d ? a1 代入 3 3 2n a1 ? 1 ,令 n ? 1 得 a1 ? 3 ,从而 d ? 2 ,故 an ? 2n ? 1;???? 4 分 an ? nd ? 1得 an ? 3 1 1 m ?1 2 m ?1 m 2m ? ,即 2m?1 ? n ? 22 m?1 ? 1 , (Ⅱ )①令 2 ? 2n ? 1 ? 2 ,则 2 ? ? n ? 2 2 2
【解析】 (Ⅰ)设公差为 d ,首项为 a1 ,则由 S4

? 3S2 得 4a1 ?

∴ bm ? 2

2 m?1

? 2m?1 ;?????????????????????????????? 8 分

第 10 页 共 14 页

② cm ?

2

2 m ?1

1 2 2 1 ? m?1 ? ( )m?2 ,显然数列 ?cm ? 是首项为 2 ,公比为 的等比数列,前 m 项 2 ? bm 2 2

的和为 Tm ? 4 ? (1 ? 即

1 T ?t T ? cm?1 ? t c 1 ) ,由 m 取倒数得 m ? ? ct ? 1 ,即 1 ? m?1 ? 1 ? ct , m 2 Tm?1 ? t ct ? 1 Tm ? t Tm ? t

1 ( ) m ?1 1 2 ? ( )t ? 2 化 简 得 1 2 (4 ? t ) ? ( ) m ? 2 2

2 1 ? t ?2 m (4 ? t ) ? 2 ? 4 2



(4 ? t ) ? 2m ? 4 ? 2t ?1 , 即

( ? 4t ? m) ? 2 ?
∵2
t ?1

t ?1

, 4

2

? 4 ? 0 ,∴ (4 ? t ) ? 2m ? 0 ,∴ t ? 4 ,又 t ? N ? ,∴ t ? 1 或 t ? 2 或 t ? 3 .?????12 分

m 当 t ? 1 时,由 (4 ? t ) ? 2m ? 4 ? 2t ?1 得 3 ? 2 ? 5 ,显然无正整数解; m m 当 t ? 2 时,由 (4 ? t ) ? 2m ? 4 ? 2t ?1 得 2 ? 2 ? 6 ,即 2 ? 3 ,显然无正整数解; m m t ?1 当 t ? 3 时,由 (4 ? t ) ? 2 ? 4 ? 2 得 2 ? 8 ,显然 m ? 3 为正整数解.

综上,存在符合条件的正整数 t ? 3 , m ? 3 . ????????????????????????????????????? 16 分

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Ⅱ 附加题部分
21. 【选做题】
B. (选修 4—2:矩阵与变换) (本题满分 10 分)

?1 ? 0? ?1 0 ? ? 已知 M ? ? , 设曲线 y ? sin x 在矩阵 MN 对应的变换作用下得到曲线 F , 求F ? ,N ? ? 2 ? ?0 2 ? ? 0 1?
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方程.

?1 ? ?1 ? 0? ? 0? ?1 0 ? ? ? 2 【解析】 由题设得 MN ? ? ,设所求曲线 F 上任意一点的坐标为 ( x, y ) , ? ?2 ? ? ? 0 2 ? ? 0 1 ? ? ? 0 2?
y ? sin x
上任意一点的坐标为 ( x?, y?) ,则 MN ? ? = ? y ?? 入

? x? ?

? 2x ?1 ? ? x?? ? x ? ? x? ? 2 x ? ? x ?1 1 ? 2 0? ? ? ? ? ? ,解得 ? ,把 ? y? ? y ? y? ? y 代 ? 0 2? ? y?? ? y ? ? ? 2 2 ? ? ? ?

y? ? sin x? ,化简得 y ? 2 sin 2 x ,所以,曲线 F 的方程为 y ? 2 sin 2 x .
C. (选修 4-4:坐标系与参数方程) (本题满分 10 分)

? 2 t ? x ? ?1 ? sin ? ? 2 已知直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,曲线 C 的极坐标方程是 ? ? ,以极 2 1 ? sin ? 2 ?y ? t ? ? 2
点 为原点,极轴为 x 轴正方向建立直角坐标系,点 M (?1, 0) ,直线 l 与曲线 C 交于 A 、 B 两点. (Ⅰ)写出直线 l 的极坐标方程与曲线 C 的普通方程; (Ⅱ)求线段 MA 、 MB 长度之积 MA ? MB 的值.
【解析】 (Ⅰ)直线 l 的极坐标方程为

2 ? cos(? ? ) ? ?1 ,曲线 C 的普通方程为 y ? x2 ; 4

?

? 2 t ? x ? ?1 ? ? 2 2 2 (Ⅱ)将 ? 代入 y ? x 得 t ? 3 2t ? 2 ? 0 , MA ? MB ?| t1t2 |? 2 . ?y ? 2 t ? ? 2
另解: 显然直线 l : x ? y ? 1 ? 0 , 联立得 ?

?x ? y ?1 ? 0 ?y ? x
2

, 消去 y 得 x ? x ? 1 ? 0 , 所以 x1 ?
2

1 5 ? 、 2 2

x2 ?

1 5 1 5 3 5 1 5 3 5 3 5 ? , ? ) , B( ? , ? ) ,则 MA ? 2( ? )、 ,不妨设 A( ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 5 3 5 3 5 MB ? 2( ? ) ,所以 MA ? MB ? 2( ? ) ? 2( ? ) ? 2. 2 2 2 2 2 2
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【选做题】

22. (本题满分
长都

10 分)如图,在空间直角坐标系 O ? xyz 中,正四棱锥 P ?

ABCD 的侧棱长与底面边
z

为3 2 , 点 M 、N 分别在线段 PA 、BD 上, 且 (Ⅰ)求证: MN ? AD ; (Ⅱ)求 MN 与平面 PAD 所成角的正弦值.
【解析】 (Ⅰ) ∵正四棱锥 P ?

PM BN 1 ? ? . PA BD 3
M

P

C D x A

ABCD 的侧棱长与底边长都为 3 2 ,

O N

B

y

∴ OA ? 3 , OP ? 3 ,则 A(3, 0, 0) , B(0,3, 0) 、 D(0, ?3, 0) ,

P(0, 0,3) ,所以 M (1,0, 2) , N (0,1, 0) , MN ? (?1,1, ?2) ? 0 ,

AD ? (?3, ?3,0) ? 0 ,∴ MN ? AD ? (?1) ? (?3) ?1? (?3) ? (?2) ? 0 ? 0 ,所以 MN ? AD ;
(Ⅱ) 设平面 PAD 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) ,AP ? (?3,0,3) , 由?

? D ? 0 ??3x ? 3 y ? 0 ?n ?A 得? , ? 3 x ? 3 z ? 0 n ? A P ? 0 ? ? ?

取 z ? 1, 则 x ? 1 ,y ? ?1 , 即 n ?1 , (1 ) ,?

, 则c o s

? , n MN ??

n ? MN ?1? 11 ? (? 1 ) ? (2 )1 ? ? ? ? | n| | ? MN | 3? 6

??


2 2 2 2 ,设 MN 与平面 PAD 所成角为 ? , sin ? ?| cos ? n, MN ?|? , MN 与平面 PAD 所 3 3

角的正弦值为

2 2 . 3
10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 M (2, 2) , P 是动点,且 ?POM 的三边所

23. (本题满分
在直线

的斜率满足 kOM ? kOP ? kPM . (Ⅰ)求点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)点 N 在直线 y ? 4 x ? 1 上,过 N 作(Ⅰ)中轨迹 C 的两切线,切点分别为 A 、 B ,若 ?ABN 是直角三角形,求点 N 的坐标.

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【解析】 (Ⅰ)设 P ( x, y ) ,由 kOM

? kOP ? k PM 得 1 ?

y y?2 ? ,即 x2 ? 2 y ,所以 P 点的轨迹 C 的 x x?2

方程 是 x2 ? 2 y ( x ? 0 且 x ? 2) ; (Ⅱ)因为 y ?

1 1 2 1 2 ) ( x1 ? x2 ) x ,所以 y ' ? x ,设 A( x1 , x12 ) , B( x2 , x2 (, ) , Nab 2 2 2

,则 k AN ? x1 ,

kBN

1 2 x1 ? b ? x1 , 即 x12 ? 2ax1 ? 2b ? 0 , 同 理 ? x2 , 由 于 AN 是 曲 线 的 切 线 , 所 以 2 x1 ? a

2 x2 ? 2ax2 ? 2b ? 0 ,

两式相减得 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 2a( x1 ? x2 ) ? 0 ,又 x1 ? x2 ,故 x1 ? x2 ? 2a .
2 ? x1 ? 2ax1 ? 2b ? 0 ? 2 ? 2ax2 ? 2b ? 0 得 ? ?1,所以 x1 x2 ? ?1 ,由 ? x2 ? x x ? ?1 ? 1 2

1? 若 AN ? BN ,则 k AN kBN

( x12 ? x22 ) ? 2a( x1 ? x2 ) ? 4b ? 0 即 [( x1 ? x2 )2 ? 2x1x2 ] ? 2a( x1 ? x2 ) ? 4b ? 0 即
1 1 1 1 (2a)2 ? 2 ? 2a ? 2a ? 4b ? 0 ,所以 b ? ? ,又 b ? 4a ? 1 ,所以 a ? ,此时 N ( , ? ) ; 2 8 8 2
2? 若 AN ? AB ,则 k AN k AB

1 2 1 2 x2 ? x1 2 2 ? x ? ?1 ,化简得 ( x ? x ) x ? 2 ? 0 ,即 ? ?1 ,即 1 1 2 1 x2 ? x1

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