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8.2.4直线与直线的位置关系(一)教学设计


数学基础模块

下册

8.2.4 直线与直线的位置关系(一)
【教学目标】 1. 会求两条直线的交点,理解两条直线的三种位置关系(平行、相交、重合)与相应的直线方程所组 成的二元一次方程组的解(无解、有唯一解、有无数个解)的关系. 2. 掌握用直线的斜率来判断两直线位置关系的方法. 3. 让学生从学习中体会到用代数方法研究几何图

形性质的思想,体会代数与几何结合的数学魅力. 【教学重点】 两条直线平行或相交的条件. 【教学难点】 求两条直线的交点. 【教学方法】 这节课主要采用讲练结合、小组合作探究的教学法.本节课首先通过问题引入本节要研究的内容,在 讨论了两条直线的位置关系与相应的直线所组成的二元一次方程组解的对应关系后,进一步研究了用直线 的斜率来判断两条直线位置关系的方法. 【教学过程】 环节 教学内容 师生互动 设计意图 回顾以前所学 知识,为新课做准 备. 1.回答下列问题: 教师投影,学生回答问题, ( 1 )直线 y = 2x + 1 的斜率 教师点评. 是 ,在 y 轴上的截距是 ; (2)直线 y=2 的斜率 , 在 y 轴上的截距是 ; (3)直线 x=2 的斜率是 , 在 y 轴上的截距 . 2.在平面内,两条不重合的直 教师提出问题,学生思考. 线要么平行, 要么相交, 要么重合. 那 么, 给定平面直角坐标系中的两条直 线, 能否借助于方程来判断它们的位 置关系? 1.两条直线的交点 (1)给定平面直角坐标系中的 两条直线 l1:y=k1x+b1, l2:y=k2x+b2. 如果一个点是 l1 与 l2 的交点,那么 它的坐标必满足方程组 新 课
?y=k1x+b1 ? ?y=k2x+b2 ?y=k1x+b1 ( 2 )方程组?y=k x+b 有一组 ?
2 2

引 入

提出问题,激 发学生求知欲.

师:如果两条直线相交,由 于点同时在这两条直线上,交点 的坐标一定是这两个方程的公共 解;反之,如果这两个二元一次 方程只有一个公共点,那么以这 个解为坐标的点必是直线 l1 与 l2 的交点. 教师引导学生完成方程组解 的情况与直线的位置的对应关 系.

使学生理解两 条直线的三种位置 关系(平行、相交、 重合)与相应的直 线方程所组成的二 元一次方程组的解 (无解、有唯一解、 有无数个解)的关 系.

解?两条直线有一个公共点 ?直线 l1 与 l2 相交;
?y=k1x+b1 方 程 组 ?y=k x+b 有 无数 组解 ?
2 2

?两条直线有无数个公共点 ?直线
1

第八章

直线和圆的方程

l1 与 l2 重合;
?y=k1x+b1 方程组 ? 无解 ? 两 条 ?y=k2x+b2

直线没有公共点?直线 l1 与 l2 平行. 2.用斜率判断直线的位置关系 将方程组
?y=k1x+b1 ? ?y=k2x+b2



新 课

中两式相减,整理得 (k1-k2)x=-(b1-b2). ② (1)当 k1≠k2 时,则②有多少 解?方程组①有多少解?l1 与 l2 有 几个交点?交点坐标是什么?l1 与 l2 是什么位置关系? (2)当 k1=k2 且 b1≠b2 时,则 ②有多少解?方程组①有多少解? l1 与 l2 有几个交点?l1 与 l2 是什么位 置关系? (3)当 k1=k2 且 b1=b2 时,则 ②有多少解?方程组①有多少解? l1 与 l2 有几个交点?l1 与 l2 是什么位 置关系? 结论: 师生共同总结. 师生共同总 如果 l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x 师:如果知道的是两直线的 结,培养学生的归 +b2,则: 一般式方程,怎么用斜率来判断 纳能力. l1 与 l2 相交? k1≠k2; 它们的位置关系? l1 与 l2 平行? k1=k2 且 b1≠b2; 学生回答, 教师引导、 点评. l1 与 l2 重合? k1=k2 且 b1=b2. 例 1 判断下列各对直线的位 置关系(相交、平行或重合) ,如果 相交,求出交点: ( 1 ) l1 : y = 3x + 4 , l2 : y = 3x-4; (2)l1:y=-3,l2:y=1; (3)l1:y=-3x+4,l2:y= x-8. 解 (1)因为两直线斜率都为 3, 而截距不相等, 所以 l1 与 l2 平行; (2) 因为两直线的斜率都为 0, 而截距不相等,所以 l1 与 l2 平行; (3)因为两直线斜率不相等, 所以 l1 与 l2 相交.联立得方程组 教师引导学生解答.

学生分组讨论教师提出的问 题,教师在学生充分讨论的基础 上,找个别学生回答,其他同学 可以补充. 教师点评.

通过讨论,将 两条直线的位置关 系问题化归为两条 直线的斜率问题.

教师演示解方程组的过程.

让学生表述, 可以锻炼学生的语 言表达能力.

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数学基础模块

下册 ?y=-3x+4 ? ?y=x-8

?x=3 解得? ?y=-5

因此, l1 与 l2 的交点为 (3, -5) . 例 2 判断下列各对直线的位 师:下面我们来研究一下, 置关系(相交、平行或重合) ,如果 如果知道的是两直线的一般式方 相交,求出交点: 程, 如何来判断它们的位置关系. (1)l1:x-1=0,l2:y+4=0; (2)l1:x-y-3=0,l2:x+ y+1=0; ( 3 ) l1 : x - 2y + 3 = 0 , l2 : 2x-4y+6=0. 解 (1)联立得方程组 师:要解这个方程组,用什 让学生复习解 么消元法?你会求解吗? 二元一次方程组的 ?x-1=0 ? y +4 = 0 ? 学生回答,教师点评. 方法.
?x=1 解得? ?y=-4

新 课

因此, l1 与 l2 相交, 且交点为 (1, -4) . (2)联立得方程组
?x-y-3=0 ? ?x+y+1=0 ?x=1 解得 ? ?y=-2

因此, l1 与 l2 相交, 且交点为 (1, -2) . (3)联立得方程组
?x-2y+3=0 ? ?2x-4y+6=0

对 (3) 的解方程组的过程学 生可能有困难,教师应引导学生 解决.

第二式减第一式的 2 倍得 0=0,所 以上述方程组有无穷多组解,即 l1 与 l2 有无穷多个交点. 因此,l1 与 l2 重合. 练习 判断下列各对直线的位置关系 (相交、平行或重合) ,如果相交, 求出交点: (1)y=2x+3,y=-2x+1; (2)3x-4=0,x=2; ( 3 ) 2x - y + 1 = 0 , x - 2y + 1=0.

学生小组合作练习,教师巡 视点评指导.

强化训练.加 深对本节内容的理 解掌握.

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第八章

直线和圆的方程

?y=k1x+b1 1 .方程组? 的解与两 ?y=k2x+b2

师 生共 同回 顾本 节所 学 内 容. 容.

总结本节内

小 结

直线位置的对应关系. 2.如果 l1:y=k1x+b1,l2:y =k2x+b2,则: l1 与 l2 相交? k1≠k2; l1 与 l2 平行? k1=k2 且 b1≠b2; l1 与 l2 重合? k1=k2 且 b1=b2. 教材 P86 练习 A 组第 1 题(2) (4),第 2 题(2). 教材 P86 练习 B 组题第 1 题 (选 做). 学生标记作业. 针对学生实 际,对课后书面作 业实施分层设置.

作 业

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