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不等式选讲大题及答案


选修 4-5:不等式选讲 不等式选讲考点问题解答题: 利用基本不等式等主要不等式和绝对值不等式定理, 求解或证明有关不等式, 包括求已知不等式的解集;根据已知条件列出并求解有关参数的不等式;通过证明有关不等式,解决与不 等式有关的问题。 1.(2013 全国 I 24. )已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | 2 x ? a | , g ( x) ? x ? 3

。 (Ⅰ)当 a ? ?2 时,求不等式 f ( x) ? g ( x) 的解集; (Ⅱ)设 a ? ?1 ,且当 x ? [?

a 1 , ) 时, f ( x) ? g ( x) ,求 a 的取值范围。 2 2

2.(2014 全国 I 24)若 a ? 0, b ? 0, 且 (I)求 a ? b 的最小值;
3 3

1 1 ? ? ab a b

(II)是否存在 a , b ,使得 2a ? 3b ? 6 ?并说明理由.

3.(2015 全国 I 24. )已知函数 f ? x ? ? x ?1 ? 2 x ? a , a ? 0 . (I)当 a ? 1 时求不等式 f ? x ? ? 1 的解集; (II)若 f ? x ? 图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围.

1

4.(2013 全国 II 24. )设 a, b, c 均为正数,且 a ? b ? c ? 1 , 证明:(Ⅰ) ab ? bc ? ca ?

1 ; 3

(Ⅱ)

a 2 b2 c2 ? ? ? 1. b c a

5.(2014 全国 II 24.)设函数 f ( x) ?| x ? (1)证明: f ( x) ? 2 ; (2)若 f (3) ? 5 ,求 a 的取值范围.

1 | ? | x ? a | ( a ? 0) a

6.(2015 全国 II 24. )设 a, b, c, d 均为正数,且 a ? b ? c ? d . 证明:(I)若 ab ? cd ,则 a ? b ? c ? d ; (II) a ? b ? c ? d 是 a ? b ? c ? d 的充要条件.

2

选修 4-5:不等式选讲答案 1. 1.解: (I)当 a ? ?2时,不等式f ( x) <g(x)化为 2x ?1 ? 2x ? 2 ? x ? 3 <0.

1 ? ? ?5 x , x ? 2 ? 1 ? 设函数 y= 2x ?1 ? 2 x ? 2 ? x ? 3 ,则 y ? ? x ? 2, ? x ? 1, 2 ? ?3 x ? 6, x ? 1. ? ?
其图像如图所示 从图像可知,当且仅当 x ? (0, 2) 时,y<0,所以原不等式的解集是 x 0 ? x ? 2 (II)当 x ? ? ?

?

?;

? a 1 , ? 2 2

? , f ( x) ? 1 ? a.

不等式 f ( x ) ≤g(x)化为 1+a≤x+3.

a 4 4? ? a 1? ? , ? 都成立,故 ? ? a ? 2 ,即 a ? ,所以 a 的范围 ? ?1, ? . 2 3 3? ? 2 2? ? 1 1 2 2.解: (I)由 ab ? ? ? ,得 ab ? 2 ,且当 a ? b ? 2 时等号成立. a b ab
所以 x≥a-2 对 x ? ? ? 故 a3 ? b3 ? 2 a3b3 ? 4 2 ,且当 a ? b ? 2 时等号成立. 所以 a ? b 的最小值为 4 2 .……5 分
3 3

(II)由(I)知, 2a ? 3b ? 2 6 ab ? 4 3. 由于 4 3 ? 6 ,从而不存在 a , b ,使得 2a ? 3b ? 6 . 3. ……10 分

? x ? 1 ? 2 a , x ? ?1 ? (Ⅱ)由题设可得, f ( x ) ? ?3 x ? 1 ? 2a, ?1 ? x ? a , ? ? x ? 1 ? 2a, x ? a ?
所以函数 f ( x ) 的图像与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为

A(

2a ? 1 2 , 0) , B(2a ? 1,0) , C (a, a+1) ,所以△ABC 的面积为 ( a ? 1) 2 . 3 3 2 2 由题设得 ( a ? 1) >6,解得 a ? 2 . 所以 a 的取值范围为(2,+∞)……10 分 3

3

4.

5.解: (I) f ( x ) ? x ?

1 1 1 ? x ? a ? x ? ? ( x ? a) ? ? a ? 2 .所以 f ( x) ≥2. a a a 1 (Ⅱ) f (3) ? 3 ? ? 3 ? a . a
1 5 ? 21 ,由 f (3) <5 得 3<a< 。 a 2 1 1? 5 当 0<a≤3 时, f (3) = 6 ? a ? ,由 f (3) <5 得 <a≤3. a 2 1 ? 5 5 ? 21 综上,a 的取值范围是( , ). 2 2
当时 a>3 时, f (3) = a ?

6.解:(I)因为

?

a? b

?

2

? a ? b ? 2 ab ,

?

c? d

?

2

? c ? d ? 2 cd ,

4


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